مقدمه

در جبرهاي C* مفهومي به نام -C*محدب و -C*فرين وجود دارد که تعريف -C* محدب را در قسمت تعاريف اصلي خواهيم آورد و تعريف نقاط C^*- فرين را از مقاله ي لوئبل و پالسن (1981) مياوريم. اين نقاط براي زير مجموعههاي K از جبر C*، R=M_n?M_n (C) ،همان نقاط فرين در مقاله ي لوئبل و پالسن(1981)هستند که عکس آن طبق مقالههاي هاپنواسر و مور (1981)و فارنيک و مورنز (1993)بر قرار نمي باشد. طبق مقاله ي لوئبل و پالسن(1981)حالت ديگري از قضيه کراين ميلمان براي مجموعههاي فشرده – C^*محدب برقرار است و در واقع اخيراً براي زير مجموعههاي Mn اين چنين قضيهاي توسط مورنز (1994) ثابت شده بود که از بعضي کارهاي قبلي فارنيک (1992) و فارنيک و مورنز استفاده شده.
درفصل 3 اين پايان نامه قضيه 3-2-2 را در حالت کلي براي عاملهاي ابرمتناهي بيان کرده و اثبات آن را به کمک قضيه هاي زيرنشان خواهيم داد.
قضيه: فرض کنيد R يک عامل دلخواه باشد و وجود داشته باشد به طوري که يک زير عامل (شامل هماني R) ايزوموف با Mn باشد. آنگاه براي هر به طوري که Wn(x)به عنوان زير مجموعهاي از A در نظر گرفته ميشود و A توسط Mn مشخص ميشود (با استفاده از يک C*-ايزومورفيسم دلخواه) به علاوه?(K)?K براي هر نگاشت کاملاً مثبت يکاني و هر زير مجموعه محدب C* فشرده ي ضعيف ستاره ي K از R.
قضيه: فرض کنيد R يک جبرC* يکاني و A يک زير جبر C* شامل هماني R باشد به طوري که براي هر يک اميد شرطي وجود داشته باشد که . اگر K زيرمجموعه محدب C* از R باشد که?(K)?K براي هر نگاشت کاملاً مثبت يکاني ، آن گاه ?ext?_A (K?A)??ext?_R (K).
هم چنين درفصل 3 لم زير را براي اثبات قضيه3-1-3 استفاده کرده و لم 3-2-2 را نيز اثبات خواهيم کرد.
قضيه: فرض کنيد A يک جبرC* يکاني باشد و am,…,a1 عناصر A و p يک حالت روي A در بستار ضعيف ستاره حالتهاي محض باشد. آن گاه براي هر وجود دارد عنصر به طوري که و براي i=1,…,m.
پس از آن در فصل 4، قضيه 3-1-3 را در حالت R=Mn توسط نتايجي از مقالات فارنيک (1992) و مورنز (1994) يا مقاله ي وبستر و وينکلر(1999 ) اثبات خواهيم کرد.
خاطر نشان ميشويم که وجود نقاطC^* _ فرين از زيرمجموعههايC^* _محدب فشرده ي ضعيف ستاره ي K از يک جبر دلخواه فون نويمان در مقاله ماگاجنا اثبات شده اما نقاط فرين بدست آمده از مقاله ماگاجنا دلخواه است و براي توليد کردن K مناسب نيست.
بنابراين براي جبرهاي دلخواه فون نويمان اين مسئله که هر زير مجموعه -C*محدب فشرده ي ضعيف ستاره توسط نقاط -C*فرينش توليد ميشود، هنوز حل نشده است.
فصل دوم
قضايا و تعاريف اوليه
1-1: تصوير و تصوير متعامد؛ زير فضاي پايا و تحويل‌پذير:
قضيه 1-1-1: فرض كنيم يك فضاي هيلبرت باشد، h?H و .M?Hهم چنين يك نقطه منحصر به فرد در باشد به طوري كه . آن‌گاه:
1) روي يك تبديل خطي است.
2).? h?H ، ?Ph???h?
3) .
4) .
اثبات: [16] قضيه 7-2-1.
تابع كه در قضيه فوق تعريف شده را تصوير متعامد بر روي گوييم.
تعريف 1-1-2: اگر يك عملگر خطي كراندر روي باشد به طوري كه آن‌گاه گوييم يك تصوير است هرگاه .
گزاره 1-1-3: اگر يك عملگر خطي كراندار روي باشد به طوري كه آن‌گاه جملات زير هم ارز هستند:
1) تصوير است.
2) E يك تصوير متعامد از به روي است.
3) .
4) خود الحاق است.
5) نرمال است.
6) .
اثبات: [16] گزارة 3-3-2.
تعريف 1-1-4: نگاشت خطي و مثبت U:H?K بين دو فضاي هيلبرت H و K را يک طولپاي جزيي گوييم هر گاه U روي ?Ker U?^? طولپا و در بقيه نقاط H صفر باشد. در واقع:
{?(?U(x)?=?x? ? x??Ker U?^?@U=0 ? x??Ker U?^? )?
گزاره 1-1-5: عملگرV را كه روي فضاي هيلبرت H عمل مي‌كند طولپاي جزئي گوييم اگر و فقط اگر E=V^* V يك تصوير باشد. در اين حالت E تصوير ابتداييVو F=VV^*تصوير انتهاييV است و V^* يك طولپاي جزئي با تصوير ابتداييF و تصوير انتهايي E است.
اثبات: [9]، گزاره 1-1-6.
تعريف 1-1-6: اگر M?H,T?H (Mزير فضاي بستهH است) گوييم M يك زيرفضاي پايا براي است اگر Th?M براي هر. به عبارت ديگر اگرTM?M.
تعريف 1-1-7: گوييم M يك زير فضاي تحويل‌پذير براي T است هرگاه M و M^? تحت T پايا باشند يعني. TM?M و TM^??M^?
يادآوري مي‌كنيم كه اگر M?H آن‌گاه H=M?M^?. اگر T?B(H) آن‌گاه مي‌توان T را به عنوان يك ماتريس كه درايه‌هايش عملگر هستند به صورت زير بازنويسي كرد.
T=(?(W&X@Y&Z))
به طوري که :
W?B(M) , X?B(M^?,M) , Y?B(M,M^? ) , Z?B(M^?)
قضيه 1-1-8: اگر P=P_M و M?H و T?B(H) يك تصوير متعامد به روي M باشد آن‌گاه (1) تا (4) هم‌ارز هستند.
(1) M زيرفضاي تحويل پذير T است.
(2) PT=TP .
(3) در نمايش .X=Y=0 , T=(?(W&X@Y&Z))
(4) M براي A وA^* پاياست.
اثبات: [16] گزاره 7-3-2.
تعريف 1-1-9: خانواده F از عملگرهاي كراندار روي فضاي هيلبرت H، به طور تحويل ناپذير توپولوژيك عمل مي‌كند هرگاه {0} و H تنها زير فضاهاي بسته ي پايا تحت F باشند.
تعريف 1-1-10: فرض كنيم ?:A?B(H) يك نمايش از جبر A باشد. گوييم ? يك نمايش تحويل‌ناپذير است اگر {0} و H تنها زير فضاهاي بسته از H باشند كه تحت هر عملگر از ?(A) پايا هستند.
1-2: جبر :
جبر A روي C، فضاي برداري A همراه با يك ضرب است به طوري كه A با اين ضرب يك حلقه است و اگر ??Cو a,b?A آن‌گاه ?(ab)=(?a)b=a(?b).
حال اگر يك نرم روي جبر A باشد آن‌گاه (A,?.?) را يك جبر نرم دار گوييم.
تعريف 1-2-1: جبر باناخ A، جبر A روي C همراه با يك نرم است كه نسبت به آن A فضاي باناخ است و براي هر a,b?A، ?ab???a??b?.
اگر عنصر هماني A باشد آن‌گاه فرض مي‌كنيم . عنصر هماني را با 1 نشان مي‌دهيم. در صورتي كه A يكدار نباشد با تعريف يك ساختار جبر باناخ مناسب روي جمع مستقيم A_1?A?C و نشاندن A در A_1، يك ريختي طولپا بين A و جبر باناخ يكدار A_1 با عنصر هماني برقرار مي‌شود. تحت اين يكساني A ايده‌آل A_1 است و با اين‌كار تعريف معكوس و طيف براي عناصر جبرهاي باناخ غيريكدار ممكن خواهد شد. اگر A يك جبر نرم‌دار با عنصر يكه 1 باشد و ، گوييم A يك جبر نرم‌دار يكاني است.
تعريف 1-2-2 : نگاشتA?A:* را كه هر عنصر a از جبر باناخ مختلط A را به عنصر a^* از A مي‌برد، يک اينولوشن گوييم هر گاه :
1) ??,??C و ?a,b?A ?(?a+?b)?^*=? ?a^*+? ?b^*.
2) ?a,b?A ?(ab)?^*=b^* a^* .
3) ?a?A ?(a^*)?^*=a .
به طوري که ? ? و( ?) ?، مزدوج ?و? در C هستند. جفت (A , *) را *-جبر مي ناميم.
تعريف 1-2-3: اگر S زير مجموعه اي از A باشد و S^*={ a^* : a?A } و اگر S^*=S، گوييم S يک مجموعه ي خود الحاق است.
تعريف 1-2-4: يک زير جبر خود الحاق B از A را يک *_زير جبر از A گوييم.
تعريف 1-2-5: يکجبر C^*، يك جبر باناخ مختلط با اينولوشن * است كه علاوه بر شرايط (1) تا (3) در تعريف قبل، داراي شرط اضافي زير نيز باشد:
(4) ?a?A ?a^* a?=??a??^2.
شرط (4) نشان مي دهد که اينولوشن * در C^*-جبر A، نرم را حفظ مي کند بنا بر اين پيوسته است چون :
??a??^2=?a^* a???a^*? ?a? ? ?a???a^*?
و با قرار دادن a^* به جاي a نتيجه مي شود که :
?a^*???a? ? ?a?=?a^*?
تعريف 1-2-6: اگر A يك جبر باشد آن‌گاه M_n (A) جبر همه ماتريس‌هاي با درايه‌هاي در A را مشخص مي‌كند. اگر A يك *_جبر باشد (يعني A يك جبر با * است كه براي هرa^*?A , a?A)، M_n (A) با تعريف ?(a_ij)?_(i,j)^*=?(a_ji^*)?_(i,j) نيز *- جبر است.
طبق تعريف بالا به راحتي قابل ديدن است كه اگر ?:A?B يك *- همومورفيسم بين *-جبرهايوباشد.آن‌گاه طبق تعريف * روي M_n (A)، تقويت ? يعني :
?^’:M_n (A)?M_n (B) : ?^’ ?(a_ij)?_(i,j)=?(?(a_ij))?_(i,j)
و اگر u?M_n (B(H)) آن‌گاه ?(u)?B(H^n) را به صورت زير تعريف مي كنيم :
?(u)(x_1… x_n )=(?_(j=1)^n??u_1j (x_j ),…,?_(j=1)^n??u_nj (x_j ) ??) ?(x_1,…,x_n)?H^n
كه طبق اين تعريف ?:M_n (B(H))?B(H^n) يك *- ايزومورفيسم مي‌شود.
حال طبق قضيه 2-4-3 از [17]، اگر A يك جبر باشد آن‌گاه يك نرم منحصر به فرد روي M_n (A) موجود است (?a?M_n (A) , ?a?=??(a)?) كه باعث مي‌شود M_n (A) به جبر تبديل شود.
قابل ذکر است که طبق] 13[، صفحه 2، در H^n نرم و ضرب داخلي به صورت زير تعريف
مي شود :
?(h_1,…,h_n ) , (k_1,…,k_n )?H^n ?? ?(h_1@?@h_n ) ??^2=??h_1??^2+…+??h_n??^2 و
?< ?(h_1@?@h_n ) , ?(k_1@?@k_n ) >?_(H^n )=?<h_1 , k_1>?_H+…+?<h_n , k_n>?_H
همچنين طبق قضيه ي 6 از] 13[، ضرب دو عنصر از جبر M_n?A (Aيک جبر است) به صورت زير مي باشد :
?(a_1?b_1 ) , (a_2?b_2 )?M_n?A (a_1?b_1 ).(a_2?b_2 )=(a_1 b_1)?(a_2 b_2)
1-3: جبرهاي فون نويمان و عامل‌ها:
از ابتداي اين بخش قرار داد مي کنيم که I يک عملگر هماني روي فضاي هيلبرت H است.
تعريف 1-3-1: اگر H يك فضاي هيلبرت باشد توپولوژي عملگر ضعيف روي B(H)(مجموعه ي همه عملگرهاي خطي کراندار از H به H )، توپولوژي موضعاً محدب تعريف شده توسط خانواده اي از نيم‌نرم‌هاي {P_(h,k) : h,k?H} است به طوري كه، P_(h,k) (A)=|<Ah,k>| و براي هر عملگر A از B(H) توپولوژي عملگر قوي روي B(H)، توپولوژي تعريف شده توسط خانواده ي نيم نرم‌هاي {P_h : h?H} است که P_h (A)=?Ah?. توپولوژي عملگرضعيف را با (WOT) و توپولوژي عملگر قوي را با (SOT) نمايش مي دهند.
قابل ذکر است که توپولوژي موضعاً محدب يک توپولوژي روي فضاي برداري چون V است به طوري كه توسط اين توپولوژي V يك فضاي موضعاً محدب باشد يعني اين توپولوژي داراي پايه‌اي شامل مجموعه‌هاي محدب باشد.
گزاره 1-3-2: فرض كنيم H يك فضاي هيلبرت و {A_i } يك نت در B(H) باشد آن‌گاه :
1) A?(??((WOT)) ) A_i اگر و تنها اگر <A,h,k>?<Ah,k> براي هر h,k درH.
2) A_i ?(??((SOT)) ) A اگر و تنها اگر براي همه h هاي در H، ?A_i h-Ah??0.
اثبات: [16]، گزارة 5-1-3.
تعريف 1-3-3: اگر A يك *-زيرجبر قوياً (ضعيفاً) بسته ي B(H) باشد. آن‌گاه A يك جبر فون- نويمان است. به عبارتي اگر A يك جبرC^* باشد كه روي فضاي هيلبرت H عمل مي‌كند به طوري كه در توپولوژي عملگر قوي (ضعيف) بسته و شامل هماني I نيز باشد گوييم A يك جبر فون- نويمان است.
تعريف 1-3-4: اگر C يک زير مجموعه از جبر A باشد، جابجاگر C^’ را مجموعه ي همه ي عناصر C جابجا شود تعريف مي کنيم. C^’ يک زير جبر A نيز است.
تعريف 1-3-5: يك عامل روي فضاي هيلبرت H، يك جبر فون نويمان A رويH است به طوري كه A?A^’=C_I‌كه A^’={a?A : ab=ba ?b?A} جابجاگر A است.
ياد اوري مي کنيم که اگر H يک فضاي هيلبرت باشد، B(H) يک عامل است.
تعريف 1-3-6:C^*-جبر يكاني A را يك جبر ابر متناهي يكنواخت گوييم هرگاه A داراي دنباله صعودي ?(A_n)?_(n=1)^? از – زيرجبرهاي ساده متناهي البعدي باشد كه هر كدام شامل يكه A هستند به طوري كه ?_(n=1)^??A_n در A چگال و يكه آن I باشد.
تعريف 1-3-7: جبر فون نويمان R روي فضاي هيلبرت H را ابرمتناهي گوييم اگر داراي – زيرجبر ضعيفاً چگال و ابر متناهي يكنواخت باشد.
تعريف 1-3-8: اگر a يك عملگر در جبر فون‌نويمان A باشد محمل مركزي C_a از عملگر a، تصويرI-P است به طوري که P اجتماع همه تصوير‌هاي مركزي P_? از A است و P_? a=0(تصوير مركزي P_? تصويري است كه در مركز A يعني قرارگرفته باشد). بنابراين C_a در مركز A قرار دارد و C_a a=a. پس مي‌توان گفت C_a=?Q كه Q يك تصوير مركزي است به طوري كهQa=a.
گزاره 1-3-9: اگر E و F به ترتيب تصاويري از H به روي زير فضاهاي بسته ي Y و Z باشند، شرايط زير هم ارز هستند :
1( Y?Z .
2( FE=E .
3) EF=E .
4) ? x?H ?Ex?=?Fx? .
5)E?F .
اثبات: ] 9 [، گزاره 2-5-2.
تعريف 1-3-10: هر گاه يکي از 5 شرط گزاره ي 1-3-9 بر قرار باشد گوييم E يک زير تصوير F است.
تعريف 1-3-11: فرض کنيم E و F دو تصوير باشند. گوييم E و F نسبت به جبر فون نويمان R هم ارز هستند و مي نويسيم E?F (R)، هر گاه V?R موجود باشد که E=V^* V و F=VV^*.
تعريف 1-3-12: اگر E و F دو تصوير در جبر فون نويمان A باشند گوييم E از F ضعيف‌تر است و مي‌نويسيمE?F هر گاه E با يك زير تصوير ازF هم ارزباشد.
حال اگر E?F و F?E گوييمE?F.
تعريف 1-3-13: تصويرE در جبر فون نويمان A را نا متناهي گوييم(نسبت بهA) هر گاه تصوير E_0 در A موجود باشد به طوري كه E?E_0<E، در غير اين صورت E را نسبت به A متناهي گوييم. اگرE نامتناهي باشد و براي هر تصوير مركزي P، PE=0 يا نامتناهي باشد، E را نامتناهي محض گوييم. A را جبر فون نويمان متناهي يا نامتناهي محض گوييم هر گاه I به ترتيب متناهي يا نامتناهي محض باشد.
يادآوري مي‌كنيم كه منظور از E<F اين است که E?Fو E?F.
تعريف 1-3-14: تصوير E را يک تصوير مينيمال در B(H) گوييم هر گاه برد E داراي بعد يک باشد و شامل هيچ تصوير غير صفري در B(H) نباشد.
تعريف 1-3-15: تصويرE در جبر فون‌نويمان A را يك تصوير آبلي گوييم هر گاه EAE آبلي باشد. به عبارتي طبق قضيه 2-4-6 از [1]، تصويرE در جبر فون‌نويمان A آبلي است اگر و فقط اگر E در كلاس تصوير‌هايي در A با محمل مركزي يكسان، مينمال باشد.
نكته 1-3-16: هر تصوير آبلي در جبر فون‌نويمان A، متناهي است.
تعريف 1-3-17: گوييم جبر فون نويمان A از نوع I است اگر A داراي يك تصوير آبلي با محمل مركزي I باشد. از نوع است اگر I مجموع تصوير آبلي هم‌ارز باشد. اگرA هيچ تصوير آبلي غيرصفري نداشته باشد اما داراي يك تصوير متناهي با محمل مركزي I باشد، آن‌گاه گوييم A از نوع است- از نوع است اگر I متناهي باشد- از نوع است اگر I نامتناهي محض باشد. اگر A هيچ تصوير متناهي غيرصفري نداشت باشد، گوييم A از نوع III است.
تعريف 1-3-18: طبق نکته 1-3-11 هر جايي يك تصوير آبلي با محمل مركزي I داشتيم يعني تصوير مينيمال است لذا همانند تعريف 1-3-12 مي‌توان انواع عامل‌هاي و I و و و را نيز تعريف كرد و به جاي تصوير آبلي با محمل مركزي I، از تصوير مينيمال استفاده كرد.
1-4: نگاشت‌هاي كاملاً مثبت:
تعريف 1-4-1: فرض كنيم ?:A?B يك نگاشت خطي از C^*- جبر A به C^*- جبر B باشد.
– ? را مثبت گوييم هرگاه براي ?(a)?B^+ , a?A^+.
– ? را يكاني گوييم هرگاه – جبرهاي A و B يكدار باشند و ?(1)=1 .
تعريف 1-4-2: فرض كنيم ?id?_n:M_n?M_n نگاشت هماني و?:A?B نگاشت خطي باشد نگاشت ?id?_n??:M_n?A?M_n?B را كه هر عنصر را به a??(b) مي‌‌نگارد، با ?^((n)) نشان داده و ? ‌را كاملاً مثبت گوييم هرگاه براي هر ?^((n)), n?1 مثبت باشد.
اگر ? يك نگاشت *-همومورفيسم باشد آن‌گاه مثبت است. زيرا اگرa?A^+ طبق قضيه 6-2-4 از [9]، t?A وجود دارد كه a=t^* t پس :
?(a)=?(t^* t)=?(t^*)?(t)=(?(t))^* ?(t)?0
لذا ? كاملاً مثبت است چون براي هر?^((n)), n?1يك نگاشت *-همومورفيسم است و مثبت.
گزاره 1-4-3 (قضيه نمايش اشتاين اسپرينگ1): فرض كنيم A يك -C^*جبر يكاني باشد و ?:A?B(H) يك نگاشت كاملاً مثبت،آن‌گاه فضاي هيلبرتK و *- همومورفيسم يكاني ?:A?B(K) و عملگر كراندار V:H?K موجودند به طوري كه :
?(a)=V^* ?(a)V , ??(1)?=??V??^2
اثبات: قضيه 1-4 از [13] .عکس اين قضيه در ] 22 [اثبات شده و در ] 10[ قضيه 2 نيز بيان شده است.
اگر ? يكاني باشد، آن‌گاهV، طولپا است. سه تايي (? , V , K) را نمايش اشتاين اسپرينگ براي ? گوييم.
تعريف 1-4-4: اگر (? , V , K) يک نمايش اشتاين اسپرينگ براي ? باشد و K_1 فضاي خطي بسته ي توليد شده توسط ?(A)VH باشد. چون K_1 تحت ?(A) پاياست پس تحديد ? به K_1 ، *-همومورفيسم ? را به صورت ?_1:A?B(K_1) تعريف مي کند به طوري که VH?K_1 و ?(a)=V^* ?_1 (a)V. لذا (?_1 , V , K_1) يک نمايش اشتاين اسپرينگ است به طوري که داراي اين شرط اضافي است که K_1 فضاي خطي بسته ي توليد شده توسط ?_1 (A)VH مي باشد. بنابر اين اگر يک نمايش اين شرط اضافي را داشته باشد که سه تايي (?_1 , V , K_1) را يک نمايش اشتاين اسپرينگ مينيمال گوييم.
گزاره 1-4-5: فرض كنيم A يك -C^*جبر و?:A?B(H) يك نگاشت كاملاً مثبت باشد و (i=1,2), (?_i,V_i,K_i) دو نمايش اشتاين اسپرينگ مينيمال براي? باشند. آن‌گاه عملگر يكاني U:K_1?K_2 موجود است به طوري كهU?_1 U^*=?_2 , UV_1=V_2.
اين گزاره در واقع منحصر به فردي اين نمايش را نشان مي‌دهد.
اثبات: [13]، قضيه 2-4.
قضيه 1-4-6:فرض كنيم ?:M_n?M_n يك نگاشت خطي باشد آن‌گاه ? كاملاً مثبت است اگر براي هر a?M_n، نگاشت ? به شكل ?(a)=?_i??V_i^* aV_i ? باشد در حالي‌كه V_i?M_(n×m) .
اثبات: ]19 [، قضيه 1.
در]19[، يکتايي نمايش ?(a)=?_i??V_i^* aV_i ? نيز نشان داده شده است.
تعريف 1-4-7: فرض کنيم T:E_1?E_2 يک عملگر خطي کراندار باشد که E_1 و? E?_2 دو فضاي توپولوژيک هستند و X يک فضاي برداري است. همچنين ?_1:X?E_1 , ?_2:X?E_2 دو نگاشت باشند به طوري که ? x?X , T?_1 (x)=?_2 (x)T. در اين صورت گوييم T يک عملگر پيچشي است. هم چنين اين مفهوم وقتي که X يک گروه يا يک جبر باشد و ?_1 , ?_2 نمايش هايي از X باشند، بر قرار است.
1-5 : حالت، حالت محض و حوزة عددي و ماتريسي يك عملگر :
تعريف 1-5-1: فرض كنيم M يك زير فضاي خودالحاق از جبر A و شامل هماني I باشد(I?A). تابعك خطي P:M?C را يك حالت M گوييم هرگاه P مثبت بوده و P(I)=1.
تعريف 1-5-2 :فرض كنيم P يك حالت A باشد. اگر P يك نقطه فرين از مجموعه محدب S(A) باشد كه S(A) مجموعه همه حالت‌هاي A است، گوييم P يك حالت محض A است.
در تعاريف زير فرض كنيم H يک فضاي هيلبرت وT يك عملگر خطي كراندار رويH باشد.
تعريف 1-5-3: حوزه عددي عملگر T به صورت، W(T)={<Tf,f> : ?f?=1, f?H} تعريف مي‌شود و شعاع عددي آن عبارتست از:
w(T)=Sup{|?| : ??W(T)}.
طبق قضيه 17-2 از [8]، براي فضاهاي متناهي البعد، W(T) مجموعه همه تصاويرT تحت همة‌ نگاشت‌هاي يكاني مثبت از B(H) به اعداد مختلط است.
تعريف 1-5-4:‌ فرض كنيمA يك جبرC^* و x?A باشد. برد ماتريسي x را که با W_n (x) نشان مي‌دهيم به صورت زير تعريف مي‌شود:

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

?:A?M_n }يك نگاشت كاملاً مثبت يكاني است: W_n (x)={?(x)
تعريف 1-5-6: فرض كنيم يك حالت روي – جبر A باشد آن‌گاه:
1) يك حالت محض است اگر و فقط اگر نمايش 2(GNS)،?_?:A?B(H_?) تحويل‌ناپذير است.
2) اگر A آبلي باشد آن‌گاه يك حالت محض است اگر و فقط اگر يك مشخصه روي A باشد.
اثبات: قضيه 6-1-5از [17].
خاطر نشان مي‌كنيم كه طبق [17] اگر يك حالت روي – جبر A باشد ، نمايش يك به يك ?_?:A?B(H_?) و بردار يكه ? موجود هستند که به طوري که :
?(a)=<?_? (a)?,?>
در واقع N_?={a?A : ?(a^* a)=0} و H_? كامل شده A/N_? است. نمايش ?_?:A?B(H_? ) را نمايش (GNS) گوييم. البته <a+N_? , b+N_?> =?(b^* a)يك ضرب داخلي روي A/N_? تعريف مي‌كند و اگر ?:A?B(A/N_? ) يك نمايش باشد و (a+N_?)(b+N_? )=ab+N_? آن‌گاه ?(a) يك بسط منحصر به فرد ?_? (a) روي H_? دارد.
فصل سوم
ساختار مجموعه‌هاي محدب C* (C*- محدب)
2-1: مجموعه‌هاي محدب :
تعريف 2-1-1: زيرمجموعه K از -C^*جبر يكاني A را A-محدب (يا محدب) گوييم هرگاه، ?_(j=1)^n??a_j^* x_j a_j ??K جايي كه a_j?A وx_j?K و ?_(j=1)^n??a_j^* a_j ?=1 براي همه ها.
تعريف 2-1-2: مجموع‌ متناهي ?_(j=1)^n??a_j^* x_j a_j ? را تركيب محدب و a_i را ضرايب محدب مي‌ناميم.
تعريف 2-1-3: فرض كنيم K زير مجموعه جبر يكاني A باشد، غلاف- محدب K را كوچكترين مجموعه محدب شامل K تعريف مي‌كنيم و با C^*-Conv(K) نشان مي‌دهيم. در واقع :
C^*-Conv(K)=?{B : K?B ومحدب استC^*، B}
حال اگر x?A غلاف-محدب x را با ?CO?_R (x) نشان مي‌دهيم كه به صورت :
?CO?_R (x)={ ?_(i=1)^n??a_i^* x_i a_i ? : a_i?A , ?_(i=1)^n??a_i^* a_i ?=1 , n?N}
است.
تعريف 2-1-4: فرض كنيم A يك جبر يكاني باشد و x,y?A. دو عملگر x,y را هم‌ارز يكاني گوييم هرگاه يكاني u موجود باشد به طوري كهy=uxu^* و آن را با x?y(x?y) نشان مي‌دهيم.
تعريف 2-1-5: تركيب محدب ?_i??a_i^* x_i a_i ? , C^* را يك تركيب محدب محض گوييم هرگاه ضرايب- محدب a_i، معكوس پذير باشند.
تبصره 2-1-6: اگر K يك مجموعه محدب باشد آن‌گاه K محدب نيز است.
اثبات:
فرض كنيم x?K و x=?_(i=1)^n??a_i x_i ? كه x_i?K و a_i?R^+ , ?_(i=1)^n?a_i^ =1. چون a_i?0 بنابراين a_i^*=a_i پس :
x=?_(i=1)^n??a_i x_i ?=?_(i=1)^n???(a_i ) x_i ?(a_i )?=?_(i=1)^n????(a_i )?^* x_i ?(a_i )?
كه x_i?K و ?_(i=1)^n????(a_i )?^* ?(a_i )?=?_(i=1)^n?a_i =1. چون K محدب است لذا :
?_(i=1)^n??a_i x_i ?=?_(i=1)^n????(a_i )?^* x_i ?(a_i )??K.?
تبصره 2-1-7: اگر K محدب باشد و x?K به طوري كه x?y آن‌‌گاهy?K.
اثبات:
فرض كنيم x=?_(i=1)^n??a_i^* x_i a_i ? به طوري كه x_i?K و a_i?A و ?_(i=1)^n??a_i^* a_i ?=1 اگر x?y پس يكاني u?A موجود است كه y=u^* xu يعني y=u(?_(i=1)^n??a_i^* x_i a_i ?)u^* در نتيجه :
y=?_(i=1)^n??ua_i^* x_i a_i u^* ?=?_(i=1)^n???(a_i u^*)?^* x_i (a_i u^*)?
و
?_(i=1)^n???(a_i u^*)?^* (a_i u^*)?=?_(i=1)^n??ua_i^* a_i u^* ?=u(?_(i=1)^n??a_i^* a_i ?) u^*=uu^*=1 , a_i u^*?A
حال چون K، محدب است پس y?K.?
تبصره قبل نشان مي‌دهد كه مجموعه‌هاي محدب تحت هم‌ارزي يكاني، بسته هستند.
تعريف 2-1-8: فرض كنيم A يك جبر يكاني باشد وx?A، مدار يكاني x را به صورت زير تعريف مي‌كنيم.
O(x)={uxu^*=z (z?x) : z?A}
تعريف 2-1-9: اگر A يك جبر باشد گوييم u?A يكاني است هر گاهu^* u=uu^*=I. حال اگر u^* u=1 گوييم u طولپاست و اگر uu^*=1 گوييم u، هم‌طولپا است.
2-2: نقاط (-فرين) و – فرين:
تعريف 2-2-1: نقطه x عضوK يك نقطه فرين براي K است اگر شرط ؛
x=?_(i=1)^n??a_i^* x_i a_i ? , ?_(i=1)^n??a_i^* a_i ?=1
به طوري که n?N و a_i?A معکوسپذير است، نتيجه دهد كه همة x_i ها با x در A هم ‌ارز يكاني هستند.
طبق [10] اگرK يك زير مجموعه A=M_n?M_n (C) باشد، نقاط فرين آن، نقاط فرين نيز هستند. اما عكس آن طبق مثال‌هايي از [6] و [8] درست نيست.
فرض كنيم x?K , K?M_n يك نقطه فرين باشد. پس طبق تعريف اگر،
?_(i=1)^n??a_i^* a_i ?=1 , x_i?K , مثبت و پذير معکوس a_i?A))x=?_(i=1)^n??a_i^* x_i a_i ?
x_i ها و x هم‌ارز يكاني هستند. حال اگر فرض كنيم n=2 نتيجه مي‌شود كه عناصر يكاني u_1 , u_2 در A موجودند به طوري كه :
x=u_2 x_2 u_2^*=u_2 u_2^* x_2=Ix_2=x_2 , x=u_1 x_1 u_1^*=u_1 u_1^* x_1=Ix_1=x_1
و b_1+b_2=a_1^* a_1+a_2^* a_2=1 پس x يك نقطه فرين است ولي همان‌طور كه گفته شد عكس اين مطلب برقرار نيست. چرا كه طبق قضيه 17-2 از [8]، T يک نقطه فرين از W_1 مي باشد كه فرين نيست. به طوري که W_1 محدب و محدب خطي است و به صورت :
W_1={ T :W(T)?1}
تعريف مي شود. اين قضيه به صورت زير مي با شد.
قضيه 2-2-2: فرض كنيم T يك نقطه فرين خطي غيراسكالر از W_1 باشد و W(T)، دايره يكه را در دقيقاً يك نقطه قطع كند به طوري كه در كوچكترين قطر W(T) قرار گرفته و دايره يكه، دايره بوسان W(T) در اين نقطه است. آن‌گاه T يك نقطه فرين در W_1 نيست.
تعريف 2-2-3: فرض كنيم x?K و K يك زير مجموعه محدب در- جبر A باشد. گوييم x يك نقطه A-فرين برايK است هرگاه شرط :
(2-2 )a_i?Aدر A معكوس‌پذير و مثبت‌اند و x_i?K و x=?_(i=1)^n??a_i x_i a_i ? : ?_(i=1)^n?a_i^2 =1
نتيجه دهد كه ?i a_i x=xa_i , x_i=x.
قبل از اينكه نكات و مثال هايي از نقاطفرين و -A فرين را مطرح كنيم، تجزيه قطري و طولپاي جزئي را از بيان خواهيم كرد.

قضيه 2-2-4: يك طولپاي جزئي يك عملگر چون w است به طوري كه براي هر h عضو?Ker w?^?، به طوري كه فضاي?(Ker w)?^? را فضاي ابتدايي w و فضاي(ran w) را فضاي پاياني w مي‌ناميم.
قضيه 2-2-5: اگر T يك عملگر خطي كراندار روي فضاي هيلبرت H باشد. طولپاي جزئي V با فضاي ابتدايي ((ran T^*)) ?(=?(Ker V)?^?) و فضاي پاياني (ran T) موجود است به طوري كه T=V?(TT^*)?^(1/2)=?(TT^*)?^(1/2) V . اگر T=WS كه S مثبت و W يك طولپاي جزئي با فضاي ابتدايي (ran S) باشد آن گاه ?(T^* T)?^(1/2)=S و W=V. اگر نه T و نه T^* بردارهاي غير صفر را صفر نكنند آن گاه V يك عملگر يكاني است.
اثبات: ]9[ قضيه 2-1-6.
قابل ذكر است كه ,|T|=?(TT^*)?^(1/2) V^* T=|T| Ker T=Ker V.
نكته 2-2-6: فرض كنيم T=V|T| معكوس پذير باشد در اين صورتV يكاني است. زيرا وقتي T معكوس پذير باشد T^* نيز معكوس پذير است (?(T^*)?^(-1)=?(T^(-1))?^*) لذا نه T و نه T^* هيچ بردار غير صفر را صفر نمي‌كنند پس بنا به قضيه 2-2-5، V يك عملگر يكاني است.
تبصره 2-2-7: در شرط (2-2) از تعريف نقاط A- فرين، كافي است تنها حالت n=2 را بررسي كنيم. چون اگر در حالت n=2 بر قراري شرط (2-2)، -A فرين بودن يك نقطه را نتيجه دهد آن‌گاه در حالت كلي n نيز چنين است. براي نشان دادن اين مطلب فرض كنيم در حالت n=2 شرط (2-2) برقرار است و نتيجه ميدهد ،a_2 x=xa_2 , a_1 x=xa_1 , x=x_1=x_2. قرار مي‌دهيم، a=?(a_2 , …, a_n)?^T , y=?_(j=2)^n x_j. فرض كنيمa=u|a| يك تجزيه قطري براي ستون a باشد لذا :
a^*=?(u|a|)?^*=?(u?(a^* a)?^(1/2))?^*=?(?(a^* a)?^(1/2))?^* u^*=?(a^* a)?^(1/2) u^*=|a|u^*
چون طبق قضيه 6-2-4 از ، و ريشه دوم آن مثبت هستند پس خود الحاق مي‌باشند بنابراين در شرط (2-2) به دليل مثبت بودن ها و در نتيجه a نتيجه مي شود که :
x=a_1 x_1 a_1+…+a_2 x_2 a_2=a_1 x_1 a_1+…[a_2^* x_2 a_2+…+a_n^* x_n a_n]
=a_1 x_1 a_1+[(a_2^* … a_n^* )+?_(i=2)^n x_(i ) ?(a_2@?@a_n ) ]=a_1 x_1 a_1 [ ?(a_2@?@a_n )^( *) y ?(a_2@?@a_n ) ]
=a_1 x_1 a_1+[((a_2 … a_n )^T )^* y (a_2 … a_n )^T ]=a_1 x_1 a_1+[a^* ya]
=a_1 x_1 a_1+|a| u^* yu|a|=a_1 x_1 a_1+|a|(u^* yu)|a|
از طرفي :
?|a|?^2=?(?(a^* a)?^(1/2))?^2=a^* a=(a_2^* … a_n^* ) ?(a_2@?@a_n )
پس :
?|a|?^2=a_2^* a_2+…+a_n^* a_n
همچنين |a|=?(1-a_1^* a_1 ). چون a_1 معكوس پذير است a_1^* a_1 وa_1^* نيز معكوس پذيرند و در نتيجه |a| نيز معکوس پذير است. بنا بر اين اگر u^* yu?Kچون،
?|a|?^2+a_1^2=a_1^2+a_2^* a_2+…+a_n^* a_n=a_1^2+…+a_n^2=1
و a_1 و |a| مثبت و معكوس پذيرند لذا طبق فرض چون برقراري شرط (2-2)، -A فرين بودن x را نتيجه مي‌دهد پسa_1 x=xa_1 , x=x_1. اکنون اگر همين روش را براي i=1,…,n ادامه دهيم خواهيم داشت :
x=x_1=…=x_n a_1 x=xa_1 ,…, a_n x=xa_n
(در اين حالت قرار مي‌دهيم ((a=(a_1,a_2,…,a_n )^T ) , y=x_1+(?_(i=3)^n x_i ).
اما دليل اينكه u^* yu?K به اين ترتيب است كه :
a=u|a|=u(?(1-a_1^* a_1 ))
?u=a(?(?(1-a_1^* a_1 ))?^(-1) ) ? u=?(a_2 ?(?(1-a_1^* a_1 ))?^(-1) , …. , a_n ??(1-a_1^* a_1 )?^(-1))?^T
?u^*=(a_2^* ?(?(1-a_1^* a_1 ))?^(-1) ,…, a_n^* ?(?(1-a_1^* a_1 ))?^(-1))
?u^* yu=?(1-a_1^* a_1)?^(-1) (a_2^* x_2 a_2+…+a_n^* x_n a_n)?K
چونK، محدب است و
x_1,…,x_n?K , ?_(i=2)^n???(1-a_1^* a_1)?^(-1) (a_i^* a_i)?=?(1-a_1^* a_1)?^(-1) (1-a_1^* a_1 )=1
و a_iها (i=1,…,n) معكوس پذير و مثبت اند در نتيجه :
?(1-a_1^* a_1)?^(-1) (a_2^* x_2 a_2+…+a_n^* x_n a_n)?K?
تبصره 2-2-8: هر نقطه -A فرين يك نقطه فرين است.
اثبات:
فرض كنيم x?K و A-فرين باشد طبق تبصره 2-2-7 كافي است شرط (2-2) درحالت n=2 برقرار باشد لذا :
x=a_1^* x_1 a_1+a_2^* x_2 a_2 , a_1^* a_1+a_2^* a_2=1 , هستند پذير معکوس a_1,a_2
در شرط (2-2) a_1,a_2 مثبت هستند و a_1^*=a_1 , a_2^*=a_2 پس شرط (2-1) برقرار است و طبق -Rفرين بودن x، a_1 x=xa_1 , a_2 x=xa_2 , x=x_1=x_2. اکنون با در نظر گرفتن u_1=u_2=I به عنوان عملگرهاي يكاني نتيجه مي شود که :
x=x_1=I^* x_1 I=u_1^* x_1 u_1 ? x?x_1
x=x_2=I^* x_2 I=u_2^* x_2 u_2 ? x?x_2
پس x يك نقطه فرينC^* است.?
تبصره 2-2-9: اگر A يك جبر جابجايي باشد، هر نقطة -A فرين (و هر نقطه فرين ) يك نقطه فرين است ولي در حالت كلي تنها نقاط -A فرين، فرين هستند و نقاط فرين لزوماً فرين نيستند.
اثبات:
طبق تبصره 2-2-8 هر نقطه -A فرين، فرين است پس كافي است نشان دهيم در صورت جابجاييA، هر نقطه ي فرين، فرين است.
فرض كنيم x?K?A يك نقطه ي فرين باشد و x=b_1 x_1+b_2 x_2 به طوري كه :
x=b_1+b_1=1 (b_1,b_2?R^+ )
چونx فرين است شرط (2-1) نتيجه مي‌دهد كه :
?u_1,u_2?A , هستند هماني u_1,u_2 و x=u_1^* x_1 u_1 , x=u_2^* x_2 u_2

هم چنين?A u_1,u_2,x_1,x_2 A وجابجايي است بنابراين :
x=u_2^* u_2 x_2 , x=u_1^* u_1 x_1
پس :
x=u_1^* u_1 x_1=Ix_1=x_1 , x=u_2^* u_2 x_2=Ix_2=x_2
لذا x، فرين است (توجه داريم كه به دليل جابجايي A برقراري شرط (2-1) برقراري شرط b_1+b_2=1 , x=b_1 x_1+b_2 x_2 را نتيجه مي‌دهد چون :
x=a_1^* x_1 a_1+a_2^* x_2 a_2=a_1^* a_1 x_1+a_2^* a_2 x_2=b_1 x_1+b_2 x_2
به طوري كه .b_1+b_1=a_1^* a_1+a_1^* a_1=1 اکنون نشان مي‌دهيم كه در حالت كلي هر نقطه ي-A فرين، فرين است.
فرض كنيم x?K?A يك نقطه ي -Aفرين باشد لذا شرط (2-2) براي
x=a_1 x_1 a_1+a_2 x_2 a_2
نتيجه مي‌دهد كه a_1 x=xa_1 , a_2 x=xa_2 , x=x_1=x_2. اکنون شرط (2-2) به شرط زير تبديل مي شود :
x=a_1 x_1 a_1+a_2 x_2 a_2=a_1 a_1 x_1+a_2 a_2 x_2=a_1^* x_1+a_1^* x_1
=b_1 x_1+b_1 x_1 : b_1+b_2=a_1^*+a_2^*=1
كه اين شرط نتيجه مي‌دهد x=x_1=x_2 پسx، فرين است.?
اكنون چند مثال از نقاط فرين را كه در مطرح شده و در و اثبات آنها آورده شده را بيان مي‌كنيم.
مثال2-2-10: فرض كنيم S={T?M_n : ?T??1} مجموعه دايره يكه در M_n باشد آن‌گاه نقاط فرينC^*، دقيقاً همان طول پاها هستند.
طبق قضيه ي 1-1 از ]?[، اگر x?S طول پا يا هم طولپا باشد آن‌گاه x، فرينC^* است. از طرفي طبق نتيجه 2-1 از اگر x، فرينباشد (x?S) آن‌گاه x طولپا و هم طولپاست. اما طبق تعريف 2-1-9، x يكاني است و در فضاهاي متناهي‌البعد يكاني ها و طولپاها يكي هستند. چون طبق قضيه 4-5-1 از هر دو فضاي هيلبرت داراي بعد يكسان، ايزومورفيك هستند پس اگرU:M_n?M_n يك طولپا باشد چون dim??M_n=dim??M_n ? ? لذاU پوشا است و در نتيجه يكاني. بنابراين x?S?M_n يك نقطه ي فرين است اگر و فقط اگر طولپا باشد.?
قضيه 2-2-11: اگر A={T : -1?T?1}?B(H) ان گاه S، C^*-محدب است و نقاط C^*-فرين A متعلق به مجموعه ي {2E-1 : E?0 و است تصوير E} هستند .
اثبات: ]10[، قضيه 27 .


پاسخ دهید