همانطور که بيان گرديد هدف از اين رساله، بررسي مسئله طراحي کنترل کننده فازي استاتيکي خروجي براي رسيدن به خطاي کم درتعقيب يک سيگنال مبنا در مسئله تعقيب مي باشد. در اين رساله، پس از طي مراحل اوليه، هدف ما توسعه روش ابداعي به سيستمهايي است که در ساختار معادلات آنها اجزائ تأخير دار وجود داشته باشند. تاخير در بسياري از سيستمهاي فيزيکي وجود دارد. اضافه شدن اجزاي تأخير دار به هر سيستم ديناميکي منجر به ناپايداري سيستم حلقه بسته و يا عملکرد ضعيف کنترلي آن مي شود. هدف نهايي ما در اين تحقيق ، حل مسئله کنترل فازي در تعقيب در مورد سيستمهاي داراي تاخير مي باشد
قدم بعدي در اين رساله، تعميم اين مسئله کنترلي به سيستمهايي است که داراي نامعيني مي باشند. در واقع، هدف اصلي ، طراحي کنترل کننده فازي استاتيکي خروجي مقاوم مي باشد. علت اصلي درانتخاب اين هدف، لزوم مقاوم طراحي کردن کنترل کننده مقاوم است. در هر مسئله کنترلي که در آن يک سيستم غير خطي با مدلسازي تاکاگي – سوگنو به مجموعه اي از زير سيستمهاي خطي بيان مي شود، تقريبهاي زيادي وارد مي شود. اگر در طراحي کنترل کننده، اين تقريبها مد نظر قرار نگيرند، احتمال ناپايداري سيستم حلقه بسته بوجود مي آيد. براي اجتناب از اين نقص، بايستي کنترل کننده مقاوم طراحي شود. اين کار مستلزم در نظر گرفتن اجزاي نامعين در مدل فازي تاکاگي – سوگنو از سيستم غير خطي است. حال با در نظر گرفتن اين اجزا، بايد جبران کننده نهايي طراحي شود.
ابزاري که ما در بيان مسئله تعقيب و مسئله کنترل فازي تعقيب در طراحي کنترل کننده بکار خواهيم گرفت ، نامعادلات خطي ماتريسي هستند. در 18 سال گذشته ، مقالات بسيار زيادي در زمينه هاي مختلف کنترلي منتشر شده اند که در آنها بيان مسئله و طراحي کنترل کننده بر مبناي تئوري نامعادلات خطي ماتريسي بوده است. ما نيز در اين تحقيق از اين تئوري براي رسيدن به طراحي نهايي استفاده خواهيم نمود،] 10[.
آشنايي با نامعادلات ماتريسي خطي و جعبه ابزار مربوطه در نرم افزار MATLAB
نامعادلات ماتريسي خطي1
يک نامعادله ماتريسي خطي (LMI) در حالت کلي به فرم زير ميباشد:

که در آن يک تابع خوش ريخت2 از بردار حقيقي بوده ، ، تا ماتريس هاي متقارن مشخص هستند و يک بردار از متغير هاي تصميم گيري3 ميباشد. نماد عدم تساوي در رابطه فوق به اين معناست که معين مثبت4 ميباشد، يعني براي تمامي غيرصفر يا ميتوان گفت به اين معناست که بزرگترين مقدار ويژه داراي قسمت حقيقي مثبت ميباشد.
LMI هاي چندگانه را ميتوان بصورت يک LMI بصورت در نظر گرفت. لذا ما هيچ تفاوتي بين يک مجموعه از LMI ها و يک LMI واحد قائل نميشويم.
در بسياري از موارد LMI ها به فرم کانوني5 (1-1) ظاهر نميشوند بلکه به فرم

به نمايش درمي آيند که در آن و توابعي خوش ريخت از برخي متغير هاي ماتريسي ميباشند.
همچنين برخي افراد ساختار زير را ترجيح ميدهند:

خواص نامعادلات ماتريسي خطي
مجموعه جواب هاي امکان پذير (1-1) يعني يک مجموعه محدب6 ميباشد. اين يک ويژگي مهم ميباشد چراکه تکنيک هاي حل عددي قدرتمندي براي مسائل داراي مجموعه جواب هاي محدب وجود دارد.
تحدب7: يک مجموعه محدب است اگر و. به عبارت ديگر مجموعه اي محدب است که پاره خط بين هر دو نقطه که در اين مجموعه قرار دارند نيز در مجموعه قرار داشته باشد. شکل (1-1) دو مجموعه محدب و غيرمحدب را نشان ميدهد. خاصيت تحدب يک نتيجه بسيار مهم دارد و آن اينکه اگر چه معادله (1-1) در حالت کلي داراي راه حل جبري نميباشد ولي ميتوان آنرا با روش هاي حل عددي حل نمود، با اين تضمين که در صورت وجود جواب آنرا پيدا خواهد کرد.
شکل(1-1): (الف) مجموعه محدب- (ب) مجموعه غيرمحدب
LMI (1-1) يک نامعادله اکيد8 است و فرم غيراکيد9 آن بصورت زير ميباشد:

خاصيت تقارن: LMI ها متقارن ميباشند. اين خاصيت باعث سادگي تعريف آنها ميشود چراکه نيازي به مشخص نمودن تمامي عناصر LMI نيست و تنها مشخص کردن عناصر روي قطر اصلي و بالا يا پايين آن کفايت ميکند.
نامعادلات غيرخطي را ميتوان با استفاده از متمم Schur به فرم LMI تبديل نمود. ايده اصلي به اين ترتيب است:
LMI زير را در نظر بگيريد:

که در آن ، و بطور خطي به وابسته ميباشد.
LMI فوق معادل نامعادلات زير ميباشد

به بيان ديگر مجموعه نامعادلات غيرخطي(1-6) را ميتوان بصورت LMI (1-5) نشان داد.
ماتريس ها بعنوان متغير
ما اغلب با مسائلي مواجه ميشويم که در آنها متغير ها داراي ساختار ماتريسي ميباشند، براي مثال نامعادله لياپانوف

که در آن ماتريسي معين بوده و متغير ميباشد.در اين مورد ما صريحاً LMI را به فرم نخواهيم نوشت اما در عوض مشخص خواهيم کرد کدام ماتريس ها متغير ميباشند. اما با اين حال ميتوان به سادگي نامعادله لياپانوف را به فرم (1-1) تبديل کرد.
جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB
جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB مجموعه اي از توابع مفيد براي حل مسائل مربوط به LMI ها را در اختيار کاربر ميگذارد.
بطور کلي يک مسئله شامل LMI ها در نرم افزار MATLAB در دو مرحله حل ميگردد. ابتدا اقدام به تعريف LMI هاي موجود در مسئله ميکنيم. اين مرحله شامل تعيين متغير هاي تصميم گيري در LMI ها و تعريف LMI ها براساس اين متغير ها ميباشد. همانطور که در بخش گذشته بحث گرديد نمايش هاي مختلفي براي يک LMI وجود دارد. MATLAB به سادگي از فرم ماتريسي متغير هاي تصميم گيري که در (1-2) داده شده است به جاي فرم برداري که در (1-1) داده شده، استفاده ميکند. در مرحله دوم مسئله با استفاده از حل کننده هاي موجود بطور عددي حل ميگردد. چنانچه مسئله شامل کمينه سازي يک تابع با متغير هاي تصميم گيري برداري شکل ميباشد بايستي اقدام به تبديل فرم ماتريسي متغير هاي تصميم گيري به فرم برداري با استفاده از توابع لازم نماييم.
تعيين يک سيستم از LMI ها
توصيف يک LMI به سادگي توسط دستور زير آغاز ميشود:

setlmis([]);
همانطور که مشاهده ميکنيد براي اين تابع هيچ پارامتري تعيين نميگردد.
پس از آن اقدام به تعريف متغير ها تصميم گيري با استفاده از دستور lmivar مينماييم.
براي مثال نامعادله ماتريسي خطي را در نظر بگيريد.در اينجا يک ماتريس ثابت و ماتريس متغير هاي تصميم گيري ميباشد. تابع lmivar اين اجازه را به ما ميدهد که چندين فرم مختلف از ماتريس تصميم را تعريف نماييم. به عنوان مثال فرض ميکنيم که يک ماتريس متقارن با ساختار قطري بصورت زير باشد:
در اين مورد داراي بلوک قطري ميباشد. اگر در اين مثال را برابر 4 در نظر بگيريم و ابعاد ماتريس هاي به ترتيب برابر 1،3،5و2 و همگي غيرصفر باشند، با استفاده از ستورات زير تعريف ميشود:
structureX=[5,1;3,1;1,0,2,1]
X=lmivar(1,structureX);
در دستورات فوق تعداد سطر هاي structureX بيانگر آنست که داراي 4 بلوک ميباشد. اولين المان از سطر ابعاد بلوک موجود در را مشخص ميکند. دومين المان از بلوک نوع بلوک را تعيين مينمايد: 1 براي بلوک کامل، 0 براي اسکالر و -1 براي بلوک صفر. عدد 1 در دستور lmivar اين موضوع را بيان ميکند که يک ماتريس متقارن با ساختار قطري ميباشد.
حال چنانچه ساختار متغير مورد نظر مربعي نباشد و به عنوان مثال ساختاري مستطيلي شکل با 3 سطر و 5 سطون داشته باشد دستور مربوطه به شکل زير خواهد بود:
lmivar=(2,[3 5])

در گام بعد بايد LMI ها را بصورت تک تک تعريف نماييم. براي مثال اگر LMI بخش قبل يعني را در نظر بگيريم اين LMI با دستورات زير تعريف ميگردد:
typeLMI1=[1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI1,C,C’);
همانطور که مشاهده ميشود در ساده ترين حالت lmiterm سه آرگومان ميپذيرد. اولين آرگومان يک بردار ميباشد. اولين ستون اين بردار شماره LMI مورد تعريف را مشخص ميکند که در اين مورد LMI شماره 1 در حال تعريف ميباشد. ستون دوم و سوم اين بردار موقعيت ترم مورد تعريف در LMI را مشخص ميکنند و ستون چهارم شماره متغير تصميم گيري موجود در ترم مورد نظر را مشخص ميکند. آرگومان هاي دوم و سوم اين دستور ضرايب سمت چپ و راست ماتريس تصميم گيري ميباشند. چنانچه بخواهيم نامعادله ماتريسي خطي را تعريف نماييم دستورات بصورت زير خواهند بود
typeLMI1=[-1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI1,C,C’);
بعنوان يک مثال پيچيده تر به منظور آشنايي بيشتر با دستورات دو LMI زير را در نظر ميگيريم:
که در آنها و ماتريس هاي تصميم گيري ميباشند. ساختار را مانند قبل در نظر گرفته و را يک ماتريس کامل متقارن با بعد 4 در نظر ميگيريم. مجموعه دستورات زير اين دو LMI را تعريف ميکنند:
structureX = [5,1;3,1;1,0;2,1];
X = lmivar(1,structureX);
structureS = [4,1]
S = lmivar(1,structureS);
lmiterm([1 1 1 1],A,A’); % term AXA’
lmiterm([1 1 1 2],B’,C); % term B’SC
lmiterm([1 1 2 1],1,D); % term XD
lmiterm([1 2 1 1],D’,1); % term D’X
lmiterm([1 2 2 2],1,1); % term S
typeLMI2 = [-1 1 1 1];
lmiterm(typeLMI2,E,E’); % term EXE’
در اين مثال به وضوح مشخص است که ترم هاي دوم و سوم آرگومان اول lmiterm مکان ترم مورد تعريف را در LMI مشخص ميکنند.
گام نهايي استفاده از دستور زير به منظور ايجاد LMI ها ميباشد:
LMIs=getlmis;
اکنون نوبت به حل LMI ها ميرسد. بطور کلي سه نوع حل کننده LMI در نرم افزار MATLAB مورد استفاده قرار ميگيرند که عبارتند از feasp ، mincx و gevp که اولين مورد يعني feasp براي حل مسئله امکان پذيري LMI ها بصورت زير مورد استفاده قرار ميگيرد:
[tmin,xfeasp]=feasp(LMIs);
که xfeasp شامل متغير هاي تصميم و tmin متغيري است که بايد در بهينه سازي منفي گردد.
اکنون براي مشاهده متغير ها بايستي آنها را به فرم ماتريسي دربياوريم که اين کار با دستور زير براي مثال قبل امکان پذير است:
X=dec2mat(LMIs,xfeasp,X);
S=dec2mat(LMIs,xfeasp,S);
پس از اين با اجراي فايل نوشته شده نرم افزار به ما ميگويد که آيا نامعادلات ماتريسي خطي نوشته شده به ازاي پارامتر هاي موجود امکان پذير ميباشند يا خير و ما ميتوانيم با مشاهده نتايج خواسته هاي خود را دنبال نماييم.
2- مدل فازي تاکاگي- سوگنو و جبران سازي موازي توزيع شده
2-1- مقدمه
در سال هاي اخير شاهد رشد سريع محبوبيت سيستم هاي کنترل فازي در کاربرد هاي مهندسي بوده ايم. کاربرد هاي موفقيت آميز و بيشمار کنترل فازي موجب انجام فعاليت هاي گسترده در زمينه آناليز و طراحي سيستم هاي کنترل فازي شده است.
اين فصل به معرفي مفاهيم پايه، آناليز و فرآيند هاي طراحي مدل فازي تاکاگي- سوگنو10 و جبران سازي موازي توزيع شده11 ميپردازد. اين فصل با معرفي مدل فازي تاکاگي- سوگنو آغاز شده و با روند ايجاد چنين مدل هايي دنبال ميشود. سپس يک طراحي کنترل کننده فازي مبتني بر مدل (model-based) که از مفهوم ” جبران سازي موازي توزيع شده” بهره ميبرد، تشريح شده است.
مدل فازي تاکاگي- سوگنو
تشريح روند طراحي را با نمايش دادن يک سيستم غير خطي توسط مدل فازي تاکاگي- سوگينو آغاز ميکنيم.
مدل پيشنهاد شده توسط تاکاگي و سوگنو توسط قوانين فازي اگر- آنگاه12 که رابطه محلي خطي ورودي- خروجي يک سيستم غير خطي را نشان ميدهند، توصيف ميشود. مشخصه اصلي يک مدل فازي تاکاگي- سوگنو بيان ديناميک هاي محلي13 هر قانون فازي14 توسط يک مدل خطي سيستم است. مدل فازي کلي سيستم با ترکيب فازي مدل هاي خطي سيستم حاصل ميشود.
i امين قانون از مدل فازي T-S براي سيستم هاي فازي پيوسته به شکل زير است:
اگر و … باشند. آنگاه:
(2-1)
و براي سيستم هاي فازي گسسته به صورت زير ميباشد:
اگر و … باشند. آنگاه:
(2-2)
که در رابطه فوق مجموعه فازي بوده و تعداد قوانين مدل ميباشد. همچنين بردار حالت، بردار ورودي، بردار خروجي، به همراه و ماتريس هاي فضاي حالت سيستم و و… متغير هاي مفروض15 شناخته شده ميباشند که اين متغير ها ميتوانند تابعي از متغير هاي حالت، اغتشاشات خارجي و يا زمان باشند. فرض ما بر اين است که متغير هاي مفروض تابعي از متغير هاي ورودي نميباشند چرا که در آن صورت فرآيند غير فازي سازي16 کنترل کننده فازي بسيار پيچيده خواهد شد.
پس از غيرفازي سازي، سيستم فازي کلي براي سيستم هاي پيوسته در زمان را ميتوان به فرم زير نوشت:
(2-3)
همچنين براي سيستم هاي گسسته روابط بصورت زير خواهند بود:
(2-4)
که پارامتر هاي موجود در روابط فوق به شرح زير ميباشند:

ساخت مدل فازي
بطور کلي دو روش براي ساخت مدل فازي وجود دارد که عبارتند از:
تعيين مدل با استفاده از داده هاي ورودي- خروجي
استخراج مدل از معادلات داده شده سيستم غير خطي
فرآيند اول بطور عمده شامل دو بخش است: شناسايي ساختار17 و شناسايي پارامتر18. اين روش براي سيستم هايي که نشان دادن آنها توسط مدل هاي تحليلي و يا فيزيکي دشوار يا غيرممکن است، مناسب ميباشد. از سوي ديگر مدل هاي ديناميک غيرخطي براي سيستم هاي مکانيکي ميتوانند به عنوان مثال با روش لاگرانژ و نيوتن- اويلر به آساني به دست آيند. در اين بخش تمرکز ما بر روي روش دوم خواهد بود که اين روش از مفاهيم غيرخطي بودن قطعه اي19 و تقريب محلي20 و يا ترکيب آنها براي ساخت مدل فازي بهره ميبرد.
غيرخطي بودن قطعه اي
سيستم ساده را در نظر بگيريد که در آن . هدف يافتن قطعه اي کلي21 است بطوريکه . شکل (2-1) روش غيرخطي بودن قطعه اي را نشان ميدهد.
شکل (2-1): غيرخطي بودن کلي قطعه اي
اين روش ساخت يک مدل فازي دقيق را تضمين مينمايد. اما به هر حال گاهي يافتن قطعه هاي کلي براي سيستم هاي غيرخطي عمومي مشکل ميباشد. در اين موارد ما غيرخطي بودن محلي قطعه اي را در نظر ميگيريم. اين روش منطقي به نظر ميرسد چراکه متغير هاي سيستم هاي فيزيکي هميشه کراندار ميباشند. شکل (2-2) غيرخطي بودن محلي قطعه اي را نشان ميدهد که در آن دو خط در بازه قطعه هاي محلي محسوب ميشوند. مدل فازي در ناحيه محلي يعني بطور دقيق سيستم خطي را نمايش ميدهد.
شکل (2-2): غيرخطي بودن محلي قطعه اي
مثال 1-1 گام هاي مشخص در ساخت مدل هاي فازي را تشريح مينمايند.
مثال 1-1
سيستم غيرخطي زير را در نظر بگيريد:
براي سادگي فرض ميکنيم که و . البته بديهي که ميتوانيم هر محدوده اي را براي آن دو براي ساخت مدل فازي متصور شويم.
معادله فوق را ميتوان به فرم زير نوشت:
که در رابطه فوق بوده و و ترم هاي غيرخطي ميباشند. براي ترم هاي غيرخطي متغير هايي را بصورت زير تعريف ميکنيم:
پس خواهيم داشت:
اکنون به محاسبه حداقل و حداکثر مقادير و زمانيکه و باشند، ميپردازيم:
با استفاده از مقادير حداکثر و حداقل ميتوان و را به فرم زير نمايش داد:
که در رابطه فوق داريم:
بنابراين توابع عضويت بصورت زير محاسبه ميگردند:
توابع عضويت را به ترتيب مثبت، منفي، بزرگ و کوچک نام گذاري ميکنيم. سپس سيستم غيرخطي با مدل فازي زير به نمايش در مي آيد:
قانون شماره 1:
اگر مثبت و بزرگ باشند. آنگاه:
قانون شماره 2:
اگر مثبت و کوچک باشد. آنگاه:
قانون شماره 3:
اگر منفي و بزرگ باشد. آنگاه:
قاون شماره 4:
اگر منفي و کوچک باشد. آنگاه:
که داريم:
شکل هاي زير توابع عضويت را نشان ميدهند.
شکل (2-3): توابع عضويت و
شکل (2-4): توابع عضويت و
فرآيند غيرفازي سازي بصورت زير انجام ميپذيرد:
که در آن
اين مدل فازي بطور دقيق سيستم خطي را در ناحيه بر روي فضاي نمايش ميدهد.
تقريب محلي در فضاهاي تقسيم شده فازي22
يک روش ديگر به منظور دست يافتن به مدل هاي فازي T-S روش تقريب محلي در فضاهاي تقسيم شده فازي ميباشد. اساس اين روش تقريب ترم هاي غيرخطي توسط ترم هاي خطي است که خردمندانه انتخاب شده اند. اين روش منجر به کاهش تعداد قوانين مدل ميشود. تعداد قوانين مدل مستقيما” با پيچيدگي تحليل و طراحي شرايط LMI متناسب است. اگر چه در اين روش تعداد قوانين کاهش مي يابد، اما طراحي قوانين کنترل مبتني بر مدل فازي تقريب زده شده ممکن است پايداري سيستم هاي غيرخطي اصلي را تحت اين قوانين کنترل تضمين نکند.
جبرانسازي توزيع شده موازي
تاريخچه جبرانسازي توزيع شده موازي با يک فرآيند طراحي مبتني بر مدل ارائه شده توسط کانگ و سوگنو آغاز ميشود. اما پايداري سيستم هاي کنترل در آن فرآيند طراحي مد نظر قرار نگرفته بود. به مرور فرآيند طراحي بهبود يافت و پايداري سيستم هاي کنترل در ]17[ مورد تحليل واقع شد و فرآيند طراحي در ]13[ جبرانسازي توزيع شده موازي نام گرفت.
PDC يک فرآيند براي طراحي کنترل کننده فازي از روي مدل فازي T-S داده شده پيشنهاد ميکند. براي درک PDC، يک سيستم کنترل شده (سيستم غيرخطي) در ابتدا توسط يک مدل فازي T-S به نمايش در مي آيد. تأکيد ميکنيم که بسياري از سيستم هاي واقعي، براي مثال سيستم هاي مکانيکي و سيستم هاي بي نظم23، را ميتوان توسط مدل هاي فازي T-S به نمايش درآورد.
در طراحي PDC هر قانون کنترل از روي قانون متناظر يک مدل فازي T-S طراحي ميشود. کنترل کننده فازي طراحي شده مجموعه هاي فازي يکساني را با مدل فازي در بخش هاي مفروض به اشتراک ميگذارد.
براي مدل هاي فازي (2-1) و (2-2) کنترل کننده فازي ساخته شده از طريق PDC بصورت زير است:
اگر و … باشند. آنگاه:
(2-5)
قوانين کنترل فازي داراي يک کنترل کننده خطي (در اين مورد قوانين فيدبک حالت) در بخش نتيجه ميباشند. ميتوانيم از ديگر کنترل کننده ها نظير کنترل کننده هاي فيدبک خروجي و کنترل کننده هاي فيدبک خروجي ديناميک به جاي کنترل کننده هاي فيدبک حالت استفاده کنيم.
کنترل کننده فازي کلي را ميتوان بصورت زير به نمايش درآورد:
(2-6)
اکنون چنانچه اين کنترل کننده را به خروجي سيستم فازي در حالت گسسته در زمان يعني
(2-7)
اعمال نماييم، سيستم حلقه بسته بصورت زير خواهد بود:
(2-8)
اکنون با اعمال قضيه پايداري لياپانوف به اين نتيجه ميرسيم که سيستم (2-7) بطور مجانبي پايدار است چنانچه يک ماتريس معين مثبت مشترکي مانند وجود داشته باشد بطوريکه نامعادلات ماتريسي زير برقرار باشند:
(2-9)
توجه نماييد که ميتوانيم سيستم (2-7) را بصورت زير بنويسيم:
(2-10)
که در آن:
بنابراين ميتوان تئوري زير را جهت بيان شرايط کافي پايداري سيستم (2-7) بيان نمود.
تئوري 2-1
نقطه تعادل سيستم فازي (2-7) بطور مجانبي پايدار است چنانچه ماتريس معين مثبت مشترکي مانند وجود داشته باشد بطوريکه نامعادلات ماتريسي زير برقرار باشند:
(2-11)
پس طراحي کنترل کننده فازي برابر است با تعيين بهره هاي فيدبک محلي به گونه اي که شرايط بيان شده در تئوري 2-1 برقرار باشند. بطور کلي، ابتدا بايستي يک کنترل کننده براي هر قانون طراحي نماييم و بررسي نماييم که آيا شرايط پايداري برقرار ميباشند يا خير. چنانچه شرايط برقرار نبود بايستي فرآيند را تکرار نماييم تا شرايط مورد نظر برقرار گردند.
با PDC يک فرآيند ساده براي کار با سيستم هاي غيرخطي در اختيار داريم. ديگر تکنيک هاي کنترل غيرخطي نيازمند دانش ويژه و نسبتا” پيچيده ميباشند.
3- کنترل کننده هاي استاتيکي خروجي
3-1- مقدمه
بسياري از سيستم هاي فيزيکي داراي حالت هاي محدودي جهت اندازه گيري و باز خورد نمودن براي سيستم کنترلي ميباشند و معمولا” يک بردار حالت کامل جهت اندازه گيري و استفاده در حلقه فيدبک در دسترس نيست بلکه تنها بخشي از آن توسط بردار خروجي پوشش داده ميشود. در اين حالت دو راهکار براي برخورد با اين مشکل وجود دارد. در راهکار اول ميتوان يک مشاهده گر کاهش رتبه يافته24 جهت حصول نيازمندي هاي فيدبک حالت کامل25 طراحي نمود که موجب ايجاد ديناميک هاي اضافي و پيچيده شدن طراحي ميگردد. راه ديگر استفاده از فيدبک استاتيک خروجي26 (SOF) ميباشد که به دليل اينکه به هيچ ديناميک اضافه اي نياز ندارد و تنها از خروجي هاي قابل اندازه گيري در طراحي فيدبک آن استفاده ميشود، طراحي آن ساده ميباشد و از نقطه نظر اجرايي از نظر هزينه به صرفه تر و قابل اطمينان تر از فيدبک ديناميکي ميباشد. علاوه بر آن بسياري از مسائل قابل کاهش به انواع آن ميباشند. به بيان ساده، مسأله فيدبک استاتيک خروجي عبارتست از فيدبک استاتيک خروجي که باعث گردد سيستم حلقه بسته برخي ويژگي هاي مورد نظر را داشته باشد و يا تعيين اينکه چنين فيدبکي وجود ندارد.
مسئله فيدبک استاتيک خروجي نه تنها به خودي خود از اهميت بالايي برخوردار است بلکه از آنجاييکه بسياري از مسائل ديگر قابل تقليل به انواع مختلف آن ميباشند، نيز موجب مورد توجه قرار گرفتن آن گرديده است. به عنوان مثال زماني که به دليل هزينه و قابليت اطمينان بايستي يک کنترل کننده ساده مورد استفاده قرار گيرد و يا آنجاييکه در برخي کاربرد ها به دليل نياز تنظيماتي خاص در پارامتر هايي مشخص به منظور کنترل يک سيستم فيزيکي طراح نيازمند آنست که تعداد پارامتر ها تا حد امکان کاهش دهد.
اگر چه در دهه هاي اخير مسأله کنترل کننده فيدبک خروجي بطور دقيق مورد مطالعه قرار گرفته است اما برخلاف مسأله فيدبک حالت، فيدبک خروجي همچنان به عنوان يکي از مسائل مطرح در مهندسي کنترل شناخته ميشود.
3-2- پايدار سازي توسط فيدبک استاتيک خروجي
مسأله پايداري فيدبک استاتيک خروجي جزو مورد علاقه ترين مسائل کنترل است که تا هم اکنون پاسخ کامل و روشني براي آن در دسترس نيست. در دهه هاي اخير روش هاي گوناگوني جهت اعمال به اين مسأله ارائه گرديده است. مسأله کنترلي فيدبک خروجي به هنگام مقايسه با مسائل کنترلي فيدبک حالت دشواري خود را بيشتر به نمايش ميگذارد. تفاوت اساسي بين مسائل پايدار سازي فيدبک حالت و خروجي اينست که در حاليکه پايدار سازي بوسيله فيدبک حالت به يک مسأله محدب ختم ميشود، فيدبک خروجي موجب تبديل مسأله به يک مسأله غيرمحدب ميگردد و موجب دشواري هاي محاسباتي ميشود. چراکه پاسخ يک مسأله محدب را ميتوان توسط جعبه ابزار برخي نرم افزار ها نظير جعبه ابزار LMI در نرم افزار MATLAB، يافت که نيازمند يک زمان چند جمله اي27 ميباشد و بسياري از مسائل کنترلي مهم که از فيدبک حالت بهره ميبرند را ميتوان توسط تکنيک هاي نامعادله ماتريسي خطي حل نمود. از سوي ديگر يافتن پاسخ يک مسأله غيرمحدب بطور عمومي نيازمند يک زمان غير چند جمله اي28 ميباشد به اين معنا که يک افزايش کوچک در ابعاد به دليل افزايش بسيار زياد زمان محاسبات موجب عدم کارآيي الگوريتم ميگردد.
در اين بخش به بحث در مورد مسئله پايدار سازي يک سيستم حلقه باز ناپايدار توسط فيدبک استاتيک خروجي ميپردازيم. در ابتدا برخي شرايط لازم و سپس برخي شرايط کافي براي قابل حل بودن مسئله را ارائه خواهيم نمود. پس از آن برخي روش هاي مورد استفاده براي يافتن بهره پايدار ساز را مورد بحث قرار ميدهيم.
3-2-1- شرايط لازم
در ابتدا به شناسايي مواردي خواهيم پرداخت که فيدبک استاتيک نميتواند يک سيستم حقله باز ناپايدار را پايدار سازد. به منظور بيان اين شرايط تئوري هاي زير را مد نظر قرار ميدهيم:
تئوري 3-1
يک سيستم خطي با تابع تبديل توسط يک جبرانساز پايدار پايدار پذير است، اگر و تنها اگر تعداد قطب هاي حقيقي بين هر جفت از صفر هاي حقيقي مسدود کننده29 در نيم صفحه راست زوج باشد. سيستمي که محدوديت هاي قطب- صفر را برآورده ميکند، برآورده کننده PIP 30 گفته ميشود.
تئوري 3-2
يک سيستم خطي با تابع تبديل توسط يک جبرانساز پايدار که هيچ صفر حقيقي ناپايداري ندارد، پايدار پذير است اگر و تنها اگر:
برآورده کننده PIP باشد.
تعداد صفر هاي حقيقي مسدود کننده بين هر دو قطب حقيقي زوج باشد.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

در اين مورد گفته ميشود که ، PIP زوج را برآورده مينمايد.
با استفاده از تئوري 3-2 شرط لازم ذيل بدست مي آيد.
شرط لازم: شرط لازم جهت پايداري پذيري توسط فيدبک استاتيک خروجي آنست که سيستم با تابع تبديل ، PIP زوج را برآورده سازد.
مثال 3-1
سيستمي که داراي تابع تبديل زير است:
براي ، PIP را برآورده نميکند و بنابراين توسط SOF پايدار نميگردد. به ازاي ، PIP زوج برآورده شده و براي مقادير به اندازه کافي کوچک يک تحليل ساده مکان هندسي ريشه ها نشان ميدهد که سيستم توسط SOF پايداري پذير ميباشد.
3-2-2- شرايط کافي
با توجه به تحليل هاي صورت گرفته در اين زمينه مانند مکان هندسي ريشه، ميتوان گفت که مينيمم فاز بودن و شرايط درجه نسبي31 شروط لازم و کافي جهت بطور اکيد حقيقي مثبت32 (SPR) ساختن يک سيستم مربعي (تعداد ورودي ها و خروجي ها برابر باشند) با استفاده از فيدبک استاتيک خروجي ميباشند.
3-2-3- روش هاي طراحي و محدوديت ها
در مورد سيستم هاي تک ورودي- تک خروجي (SISO)، روش هاي گرافيکي نظير مکان هندسي ريشه ها و نايکوئيست جهت پاسخگويي به مسائل وجود و طراحي کنترل کننده هاي استاتيکي خروجي پايدار ساز استفاده ميشوند. علاوه بر آن برخي تست هاي جبري لازم و کافي براي وجود فيدبک هاي خروجي پايدار ساز وجود دارند (Ielmke and Anderson,1992; Perez et al.,1993). به هر حال اين تست ها نيازمند برخي اقدامات ابتدايي نظير يافتن ريشه ها و مقادير ويژه ميباشند که موجب ميشود دشواري آنها کمتر از روش هاي گرافيکي نباشد. علاوه بر آن اين روش ها به راحتي قابل تعميم به سيستم هاي چند ورودي- چند خروجي (MIMO) نميباشند.
در اين بخش به بيان اجمالي برخي نتايج که در حل مسائل مربوط به فيدبک استاتيک خروجي مفيد ميباشند خواهيم پرداخت و ويژگي هاي آنها را مورد بررسي قرار ميدهيم. ايده کلي آنست که يک فيدبک استاتيک خروجي پايدار ساز بايستي يک عضو از خانواده تمامي جبرانساز هاي فيدبک خروجي پايدار ساز باشد.
روش مرتبه دوم خطي معکوس33
سيستم زير را در نظر بگيريد:
(3-1)
و در نظر ميگيريم. علامت خنجر بيانگر معکوس Moore-Penrose 34 ميباشد. آنگاه سيستم توسط فيدبک استاتيک خروجي پايدار پذير است اگر و تنها اگر ماتريس هاي ، و با ابعاد مناسب وجود داشته باشند بطوريکه معادله جبري زير يک جواب يکتاي داشته باشد.
(3-2)
مشکل در اين است که در حقيقت نميتوان به سادگي ماتريس هاي ، و را انتخاب نمود و همچنين معادله فوق را براي حل نمود.
قابل تعيين بودن کواريانس توسط فيدبک خروجي


پاسخ دهید