tt  n 12m
181660895503

241401695503

∑ w x
J(u) = ∫t0f g x(t),u(t),t dt()=∫t0f  i 1= 2ii +∑j 1= 12 r uj 2j dt
(١)
که 0t و tf به ترتيب زمان اوليـه و زمـان نهـايي هسـتند،x حالت، u وروديهاي کنترل، w و r به ترتيب وزن حالتها و وروديهـا هســتند، n وm تع داد حالــت هـا و وروديهــا هستند.
و شرايط مرزي مسئله به صورت (٢) است:
X(t )f = Xf , X(t )0 = X0 (٢)

٢ -١- رويکرد تغييراتي براي کنترل بهينه
ورودي هاي کنترل به صورت (٣) محدود شده اند:
(٣) Ui− ≤ Ui ≤ Ui+ i = 1, 2,…,m با فرض اينکه معادلات حرکت مطابق با (٤) فرض شوند کـهa و c توابعي مشخص مي باشند، اشر يط لازم بهينگي با استفاده از اصل کمينه پانترياگين بـه وسـ يله معـادلات (٥) تـا (٨) تعر يـف مي شوند:
x(t)= a x(t),t()+c x(t),t u(t)() (٤)
x (t)*= ∂∂Hp (x*(t), u*(t), p*(t), t) (٥)
p (t)*=− ∂H (x*(t), u*(t), p*(t),t) (٦)
∂x
∂H

∂u (x*(t), u*(t), p*(t), t) = 0 (٧)
H(x*(t), u*(t), p*(t), t) ≤ H(x*(t), u(t),p*(t),t)
for all admissibleu(t)
(٨)
فرمول (٦) معادلات شبه حالات را بـر مـيگردانـد کـه در آنp بـهعنوان ضريب کمکي لاگرانژ يا شبه حالت١٢ است و فرمول هـاي (٧) و (٨) نيــز شــرايط لازم بــراي بهينگــي را مــيدهنــد. بــراي همــه [t∈[t t0, f معادله (٨) به عنـوان اصـل کمينـه پانتريـاگين شـناختهميشود که در آن H تابع هميلتونين بوده و به (٩) تعريف مي شود:
H (x(t), u(t), p(t), t) = g (x(t), u (t), t )+ p T (t)x(t)
(٩)
براي Ui+

t t t, f  به ترتيب محـدوديت هـايپايين و بالا هستند. طبق (١) و (٩) و بـا فـرض اينکـه &x بـهوسيله تابع ( ,(),())a x t u t t بيان شـود، هميلتـونين بـه صـورتفرمول (١٠) تعريف ميشود:

H(x(t),u(t),p(t),t) =∑i 1=n

1 w x2 +∑m

1 r uj 2j 
2iij 1= 2
+p (t) a x(t),tT ()+c x(t),t u(t)()
(١٠)
در نهايت n٢ معادله ديفرانسيل معمـول ي١٣ (ODE) وجـود دار د که n معادله مربوط به حالات و n معادله ديگر مربوط بـه شـبهحالات است. از طرفي زمان و شرايط مرزي لاو يه و نهايي براي هر کدام از حالت ها مشخص است. با جايگـذاري (١٠) داخـل
(٨) نتيجه ميدهد:
p*T (t)c(x (t), t)u (t**) ≤ p*T (t)c(x (t), t)u(t*)
(١١)
بنابراين، طبق (٥)، (٦) و (٧) اشر يط بهينگي را مي توان به وسيله مشتق گيري از تابع هميلتونين نسبت به حالت، کمـک حالـت وکنترل مطابق زير به دست آورد:

T (١٢)
r ui*i + p c*ii = 0 i = 1, 2,…, m (١٣)
از آنجا که ورودي هاي کنترل محدود شده اند، با استفاده ازکنترل بهينه به صورت (١٤) داده مي شود:
U i+−1p c UT i−i−ri−< −1p cTri−i1p>*TUci+i < Ui+
ui = −U r−i− ri−1p*Tci < Ui−
i
حال يک دستگاه معادلات ديفرانسيل معمـول ي بـا شـرايط اوليـه و نهايي وجود دارد که اصطلاحاﹰ به آن يـک مسـئله مقـدار مـرزي دو نقطهاي گفته ميشود. اين معادله به وسـ يله روشهـا ي عـدد ي حـلـمـيشــود و ايــن روشهــاي عــددي بــا دســتورات مختلــف در نرم افزارهاي مختلف موجودند. اين دستورات احتياج به يک حدس لاو يه دارند و از طرفي جواب خروجي وابستگي بسـيار زيـادي بـهحدس اوليه دارد، به گونهاي که حتي ابر ي يک سري حـدس هـاي اوليـه مسـئله منفـرد ١٤ شـده و جـوابي نـدارد و از طرفـي بـه ازاي حدس هاي لاو يه مختلف جوابهاي مختلف وجود دارد. بنابر ايـن ابر ي به دست آوردن کمينه مطلق يا سراسري يا در سـطح پـايين تـرنزديک شدن به کمينـه سراسـري، نيـاز بـه مقا يسـه هزينـه جـواب حدسهاي مختلف وجـود دارد . حـدس هـا ي مختلـف بـه کمـکالگوريتم ژنتيک ايجاد و تغيير داده ميشوند و پس از حل به کمـککنترل بهينه هزينههاي آنها مقايسه مـيشـود . در ادامـه مـروري بـرعملگرهاي ژنتيک مـورد اسـتفاده بـراي ايجـاد حـدسهـاي اوليـهمختلف ميشود و يک عملگر جديد نيز توضيح داده ميشود. ابر ي حل مسئله مقدار مرزي نياز به يک حدس اوليه وجود دارد. حـدسلاو يه به وسيله يک سري چنـد جملـه اي بـرا ي هـر حالـت فـراهممي شود که به صورت (١٥) است. لازم به ذکر است دليل اسـتفاده ازچند جملهاي، انعطاف پذيري آنها بوده است؛ زيرا چند جملـه اي هـارا ميتوان به سادگي با تغيير ضرايب تغيير داد:
x = a t1 n + a t2 n-1 +…+ an+1 (١٥)
اضر يب به وسيله الگوريتم ژنتيک تغيير مي کنند.

٢ -٣ – عملگرهاي ژنتيک مورد استفاده
٢ -٣ -١ – کد بندي
در ايـن مطالع ه هـر کرومـوزوم از يـک مـاتريسm×(n +1) تشکيل شده است که n و m به ترتيب مرتبه چند جملـه اي و تعداد حالتها هستند. نمونهاي از يـک کرومـوزوم بـ هصـورت(١٦) نشان داده شده است:
 a1,1

 a2,1
C =
a(m 1),− 1 
 am 1× a1,2
a2,2 
a(m 1),− 2 am,2 



 a1,n
a2,n 
a(m 1),n− am,n a1,(n+1)  
a2,(n+1) 

a(m 1),(n−+1) 

am (n 1)× +
(١٦)
اين يعني اينکه هر سطر، يک فرمول برحسب زمـان بـراي هـرحالت مي دهد:
T =tn tn 1− 1 (١٧) xi = C Ti T (١٨)
که در فرمول (١٧)، t نشاندهنده زمان برحسب ثانيه و n نشـاندهندهمرتبه چند جملـه ايـي اسـت کـه بـراي هـر يـک از حالـت هـا (xi) برحسب زمـان بـرازش مـي شـود . لـذا مـي تـوان معادلـه هرکـدام ازحالت ها را در زمان به صورت يک چند جمله ايي مانند فرمـول (١٨) نوشت. به عبارت ديگر فرمول (١٨) برازشي در زمان براي هـر کـداماز حالت ها به صورت يک چند جمله ايي با مرتبه n است.

٢ -٣ -٢ – عملگر انتخاب
هدف اين بخش انتخاب کروموزومهـاي مناسـب بـا توجـه بـههزينه آنها است. بدين صورت که هرچه کرومـوزوم مناسـبتـر(در اينجا، داراي هزينه کمتر) باشـد احتمـال انتخـاب آن بـرايعمليات ترکيب بيشتر باشد. بـرا ي انتخـاب جفـت کرومـوزوممناسب، ابتدا تعـدادي کرومـوزوم داراي هزينـه پـايين انتخـابمي شوند. با فرض اينکه l کروموزوم انتخـاب شـدهانـد، تعـدادتکرار هر کروموزوم مطابق با (١٩) به دست ميآيد:
591312123622

repeati = new cos tli ×50l (١٩)

new cos t j

جدول ١ – نمونه اي از تابع repeat
i (انديس l) ١ ٢ ٣ ٤
Cost (هزينه) ١٣٤ ٤٣/٢ ٤٨٦ ٢١٩
newcost ٠/٠٠٧٥ ٠/٠٢٣١ ٠/٠٠١٣ ٠/٠٠٤٦
repeat ٤١ ١٢٧ ٧ ٢٥

جدول ٢ – جفت کروموزوم هاي انتخاب شده
جفت کروموزوم (کروموزوم اول انتخاب شده) 1i ٢ ٢
(کروموزوم دوم انتخاب شده) 2i ٤ ١

به خاطر اينکه هزينههاي کمينه مهم هستند، تابع جديد newcost مطابق (٢٠) تعريف شده است:
new cos ti =

cost1 i (٢٠)
حـال در يـک خانـه فرضـي کـه داراي l٥٠ اتـاق اسـت، هـر کروموزوم به تعداد تکرارش (repeati) تکثيـر مـيشـود و اتـاقاشغال ميکند. حال اگر فرض کنيم تعـداد ترکيـبهـاn باشـد،آنگاه به صورت تصادفي 2n اتاق را انتخاب ميکنـيم، و از آنجـاکه هر اتاق متعلق بـه يکـي از کرومـوزومهـا اسـت، در نتيجـهکروموزومهاي انتخاب شده دو به دو با هم عمليـات ترکيـب راانجام ميدهند. لازم به ذکر است که ضريب “٥٠” صرفاﹰ براي بالا بردن تعداد انتخابها و درنتيجه بالا بردن دقت احتمال انتخـابشدن کروموزومها استفاده شده است و يک عدد دلخواه اسـت . براي واضحتر شدن روش توضيح داده شده از يک مثال استفاده ميشود. با فرض اينکه ٢=n و ٤=l و جدول١ هزينه و مشخصه هر کروموزوم را نشان دهد.
حال، بـا توجـه بـه تـابعrepeat بـراي هـر کرومـوزوم، آن کروموزوم تکثير شده و اتاق بـ ه خـودش اختصـاص مـيدهـدمطابق شکل ٣ از بين اتاقهـا ، ٤ (يـا همـانn ٢) اتـاق بـه طـورتصــادفي انتخــاب مــيشــود. درنتيجــه بــر طبــق جــدول ٢، کروموزوم هاي مربوط به 1i و 2i با همديگر عمليات ترکيب را انجام ميدهند. مثلاﹰ طبق ستون اول کروموزومهاي شماره ٢ و ٤ باهم عمليات ترکيب را انجام ميدهند.

room number1 41 42 168 169 175 176 200
⇓ ⇓
index chromosome 111222333444
شکل ٣ – انتخاب جفت کروموزوم

٢ -٣ -٣ – عملگر ترکيب
از آنجا که محتويات کروموزوم ها عدد حقيقي هسـتند نـه عـددصحيح، يکي از روش هاي عمليات ترکيب اين است که ضرايب کروموزوم ها با هم ترکيب شوند يعنـ ي اينکـه عمل يـات ترکيـ ب روي ماتريس انجام شود يعني جاي درا يـه هـا ي مـاتر يس هـا را عوض کنيم. هر درايه ماتريس، هم داراي قسمت صحيح و هـماعشاري است، يعني اينکه يـک عـدد خـاص اسـت. در نتيجـه ترکيب هم فقط روي اعداد خاصي صورت مي گيرد که اين امـر
باعث مي شود که نتوان فضاي زيادي را جستجو کرد، و فضـا ي جستجو بسيار محدود مي شـود . روش ديگـر ترکيـ ب کـه يـک روش ابتکاري است، به ا يـن گونـه اسـت کـه ترکيـ ب را روي ادر يه هاي ماتريس انجام دهيم، به ا يـن صـورت کـه درا يـه هـا ي متناظر طبق روابط ارائه شده، که در ادامه مي آيند، با هم ترکيـ ب شوند. اين امر سبب مي شود ادر يه هاي ماتريس هنگام عمل يـات ترکيب انعطاف بيشتري داشته باشند و مقادير مختلفي را به خود بگيرند، که اين امر سبب جسـتجو ي ناحيـ ة بسـ يار بـزرگ تـر ي مي شود. با توجه بـه نکـات گفتـه شـده، در ا يـن کـار از روشترکيب خاصي استفاده مي شـود کـه ترک يـ ب را روي تـک تـکادر يه هاي ماتريس ها صورت مي دهد. از اين رو براي ترکيـ ب از يک فرمول استفاده مي شـود . بـد ين صـورت کـه هـر درايـ ة دو کرومـوزوم از طريـق دو فرمـول (٢١) و (٢٢) بـا هـم ترکيـب مي شوند و دو کروموزوم بچه را توليد مي کنند: (٢١) 2y =α + −αx1 (1)x

y =αx2 + −α(1)x1 (٢٢)
که α از لحاظ ابعاد هم اندازه 1x است و درايههاي آن با فـرضاينکه بهصورت (٢٣) محدود شدهاند به صورت تصادفي انتخاب ميشوند:
−δ<α < +δij 1 (٢٣)
که δ يک عدد ثابت است و αij درايه سطر iام و سـتون j ام مـاتريس
α است. نمونهاي از عمليات ترکيب در شکل ٤ نشان داده شده است.

٢ -٣ -٤ – جهش
جهش روي ٢٥ درصد از کروموزوم هـا يي کـه تحـت عمل يـات ترکيب قرار گرفته اند صورت مـ ي گ يـرد. جهـش ن يـز بـه ماننـدترکيب با استفاده از يک فرمول انجام مي شود. ابتدا بـه صـورتتصادفي ٢٥ درصد از کروموزوم هايي که تحت عمليات ترکيـ ب قرار گرفته اند، انتخاب مي شوند، سپس يکي از سـتون هـا ي هـرکروموزوم بهصورت تصادفي انتخـاب مـي شـود و محتـوا ي آن ستون مطابق با معادله (٢٤) تغيير مي کند:
y = +σx (٢٤)
که σ به طور تصادفي انتخاب مي شود با فرض اينکه رابطه (٢٥) را ارضا کند:
0.1xmin <σ< 0.1xmax (٢٥)
کــه xmin و xmax بــه ترتيــب کمتــرين و بيشــترين م ؤلفــه کروموزوم هستند و هر مقداري را مي توانند بگيرند ولـ ي بـرا ي داشـتن نت يجـه مطلـوب تـر بهتـر اسـتxmin و xmax داراي علامت هاي مخالف باشند.
 123
−36.3169
x1 =
 0.0230 −98.3215
19.8912
−0.1837 −34.03
10.5886
0.3516 28.8327
24.4819
0.0445 19.0210
−30.5864
0.1623 −16.1755
−1.4511 
−0.1254  0.8228 -0.0796 0.9138 -0.0616 0.4875 0.0758
 76.0315
−198.894 x2 =
 13.965
−273.902
 −174.929 769.054
−36.7423
668.44 126.611−29.2805
−934.187415.222
41.5234−16.7593
−606.01297.1 2.7575
−52.3463 0.1351
−55.6823 1.0098
1.6859 −2.008

0.8113  1.0140.93530.5627

0.59610.48120.6559 0.3349
-0.0406 0.0477
0.1466 -0.0488

0.6622
 114.6788
-101.7158
y1 =
 -0.1718

 -110.4045 -181.0285
735.3181
-2.5508
343.7284 -20.1871
-791.2147 18.3540
-207.9752 -32.8609
166.0642
-11.1318
309.2128 10.6857
-49.4955
0.1364
-47.2294 -0.2932
1.2878  -2.1838

0.1878  0.3728−6.41750.8799 −1.53251.9798−0.1302 

a =0.59770.0450.15130.63770.1310.1269
 84.3527 -92.222 112.7681 32.413111.0928-14.8725
y2 = -133.4951 53.6271 -132.1137 273.6397 -33.4372 -1.0531   14.1598 -34.3752 23.5210 -5.583 0.161 -0.0296 

-163.1247318.2941-397.1549-13.6453-6.47310.4933 
شکل ٤ – نمون هاي از عمليات ترکيب

نکته ديگري که در الگوريتم ژنتيک مـورد اسـتفاده ، درنظـ ر گرفته شده است، استراتژي حفظ نخبه هـا اسـت، بـا ا يـن کـاراحتمال از بين رفتن بهترين جواب ها پس از ترکيب و جهش در مراحل بعدي از بين مي رود.

٣ – شبي هسازي
در اين بخش براي بررسي نحوه عملکرد و تأييد روش پيشنهاد شده دو مثال با استفاده از روش ذکر شده توضيح داده مي شـود . مثال اول، مربوط به يک بازوي مکانيکي دو عضوي است که در مرجع [٧] وجود دارد. اين مورد يک مسئله انرژي بهينه است و نتايج به دست آمده به وسيله روش پيشنهاد شده را با آن مقايسـه مي کنيم. مثال دوم مربوط به يک بازوي پوما سه عضـو ي اسـتکه جهت نشان دادن کارايي روش مذکور است. در هر دو مثال، هدف پيدا کردن مسير بهينه بـرا ي مجـر ي نهـا يي ربـات، بـراي حرکت از نقطه اوليه به نقطه نهايي است، به گونـه اي کـه تـابعهزينه (١) کمينه شود.

٣ -١ – بازوي دو عضوي صفحه اي

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

همان طور که ذکر شد از اين مثـال جهـت تأييـد روش اسـتفاده

جدول ٣ – پارامترهاي فيزيکي بازوي رباتي دو عضوي
پارامتر مقدار واحد
طول عضوها L1 =1,L2 =1 M
جرم عضوها m1 =1,m2 =1 Kg
ممان اينرسي I1 =1,I2 =1 Kg.m 2
جرم نوک عضوها ma = 0,m p = 0 Kg

شکل ٥ – بازوي رباتي دو عضوي

ميشود. پارامترهاي فيزيکي مطابق مرجع [٧] درنظر گرفته شـده ودر جدول ٣ آورده شده است. همان گونه که از شـکل ٥ مشـخصاست 1θ نسبت بـه محـور افقـي و 2θ نسـبت بـه 1θ سـنجيدهمي شود. حالات به صورت x = θ 1 θ2 θ1 θ2 T تعريف شدهاند. زمان اوليه، زمان نهايي، شرايط اوليه و هم چنين شـرايطنهـــايي مشـــخص اســـت؛ چنانچـــه tf =1sec ، t0 = 0 sec ،
و xf =π20.0100T و x0 =[00.0100]T
w j = 0 (j = −1 4) و ri =1 (i =1,2) وز ن هــا بــ هصــورت .هستند
از آنجا که سيستم داراي قيد هولونوميک اسـت، هميلتـون ين به صورت (٢٦) تعريف مي شود:
41148281483

H = 12 u12 + 12 u22 + p (t) a x(t),tT ()+ c x(t),t u(t)()
(٢٦)
که 1u و 2u گشتاور مفاصل در عضوهـاي “١” و “٢” هسـتند .
1859280

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
time[s]
θ
1
[
r
a
d]

0

0.1

0.2


دیدگاهتان را بنویسید