ij مجموعه اي از نقاط واقع در دامنه تکيه گاهي يک گره K
تنش نرمال σ
n طول ضلعΓDk LD
تابع شکل شپارد Φ
تعداد کل گره هاي سازنده هندسه مسئله M
زاويه اصطکاک خاک φ
به ترتيب طول مؤلفه هاي بردار نرمال وارد بر ضلعΓDk در جهت ۱ و ۲ و n1D nD2

زاويه اصطکاک مؤثر φ′
بردار واحد نرمال در جهت j nj
تنش برشي τ
عدد پايداري N
وزن نقطه گاوسi ω
i تعداد کل ضلع هاي سلول ورونويي مربوط به گره q Ns
تابع هموارکننده Ψ
تعداد نقاط گاوس واقع شده در طول ناحيه S NG
دامنه سلول ورونويي Ω L بار حدي Q

١ – مقدمه
يکي از راهکارهـا در تعيـين بـار زوال سـازه هـاي ژئـوتکنيکياستفاده از تئوري هاي حدي مرز بالا و پايين مي باشد که توسـطدراکـر و همکـاران [۱] معرفـي گرديـده اسـت. براسـاس ايـن تئوري ها با در نظر گرفتن رفتار صلب –خميري٤ براي خاک و با پيروي از قانون جريان وابسته٥، محدوده اي براي بار واقعي زوال بين حدود بالا و پايين معرفـي مـي گـردد . در زمينـه اسـتفاده ازتئوري هاي تحليل حدي٦ در حل مسـائل پايـداري در مکانيـکخاک مطالعات متعددي صورت گرفتـه اسـت کـه از آن جملـهمي توان به مطالعات [۶-۲] اشاره کرد. نکته قابل توجه آن است که براي مسائلي با هندسه و بارگذاري پيچيـده اسـتفاده از ايـنتئوري ها به تنهايي جوابگو نمي باشد و لازم است که آنهـا را بـاروش هاي عددي٧ و برنامه ريزي رياضي٨ تلفيق نمود کـه منجـربه پيدايش دسته جديدي از روش هاي تحليل حدي تحت عنوان روش هاي تحليل حدي عددي شده است. اين دسته از روش هـابه دو دسته کلي روش هاي حـد بـالا و روش هـاي حـد پـايينتقسيم شده اند. در روش هاي حد بالا يـک مکـانيزم زوال مجـازدرنظر گرفته مي شود و از طريق برابر قرار دادن تـوان نيروهـايخارجي و توان اتلافي داخلي، يک مسـئله بهينـه يـابي٩ شـکلمي گيرد که با حل آن جواب مرز بالا بـراي بـار زوال بـه دسـتمي آيد. درمسائل حد پايين يک ميدان تنش١٠ مجاز اسـتاتيکي ١١ در نظر گرفته مي شود و از آن طريق تخميني براي حد پايين بـارحدي به دست مي آيد. هر چند که روش هاي حـد بـالا بـه دليـلسادگي در لحاظ کردن مکانيزم مجاز بيشتر مـ ورد مطالعـه قـرارگرفته اند، اما رو شهاي حد پايين بـه دليـل آنکـه در ذات خـودداراي يک حاشيه ايمني هسـتند بيشـتر مـورد توجـه مهندسـانمي باشند. استفاده از روش اجزا محدود١٢ به همراه برنامـه ريـزيرياضي براي تعيين حدود پايين در مسـائل پايـداري دو بعـدياولين بار توسط ليزمر [۷] صـورت گرفـت. هرچنـد کـه روشليزمر يک پيشرفت قابل توجه در شاخه تحليل عددي به حساب مي آيد، اما به دليل فرمول بندي پيچيده و هزينه محاسباتي بـالا ونيـز وجـود برخـي نـواقص نظيـر عـدم توانـايي در مدلسـازي محيط هاي نيمه بي نهايت چندان مورد توجه قرار نگرفـت . پـساز ليزمر، محققين ديگري چون آندرهگن و ناپفل [۸] ، پاسـتور[٩] و بوترو و همکاران [۱۰] راهکارهاي ديگري را براي تحليل حد پايين محـيط هـاي دو بعـدي براسـاس روش برنامـه ريـزيخطي١٣ ارائه دادند. اين مطالعات منجر به يکسري پيشرفت هاي کليدي نظير معرفي اجـزاء انبسـاطي١٤ بـراي محـيط هـاي نيمـهبي نهايت و نيز ارائه فرمول بنـدي هـاي سـاده شـده بـراي روشتحليل عددي مرز پايين گرديد. با وجود قدرتي کـه روش هـايتحليل حدي پيشنهادي داشتند، کـاربرد حلگرهـاي خطـي١٥ بـاالگوريتم هاي مقدماتي در آنها منجر به عدم توانـايي در تحليـلمسائل مکانيک خاک در مقياس هاي بزرگ گرديد. ايـن مشـکلدر سال ١٩٨٨ توسـط اسـلوان از طريـق ارائـه يـک الگـوريتمپيشرفته به نام الگوريتم دسته فعال١٦ برطرف گرديد و اين روش پيشنهادي در تحليل مسائل مختلف مکانيک خاک نظير تون لهـا [۱۱]، پي ها [۱۲] و شيب ها [۱۳] مورد استفاده قرار گرفت.
بـا وجـود مـوفقيتي کـه روش هـاي حـد پـايين عـددي بـاحلگرهاي خطي در حل مسائل دو بعدي و نيز مسائل با تقـارنمحوري به دست آوردند، اين راهکارها نتوانستند در مسـائل سـهبعدي کاربرد چنداني داشته باشند، زيرا خط يسازي توابع تسليم در فضاي سه بعدي حجم عظيمي از نامساوي ها را ايجاد ميکند که عمـلاﹰ حـل مسـئ له را نـاممکن مـي سـازد . عـلاوه بـر ايـن،خطي سازي تابع تسليم باعث کاهش دقت حل نيز ميگـردد . از اينرو دسته جديدي از روش هـاي حـد پـايين عـددي براسـاسحلگرهاي غيرخطي بنا نهاده شـده انـد کـه در آنهـا روش اجـزامحدود با در نظر گرفتن تنش خطي در هر المان به همراه شرايط تسليم غيرخطي در تعيين حد پايين مسائل به کار گرفته ميشوند [١٤]. اين روش ها در حل مسـائل مختلفـي در مکانيـک خـاکمورد استفاده قرار گرفته اند [١٥و١٦].
قسمت عمـده تحقيقـات صـورت گرفتـه در گسـترشروش هاي حد پايين عددي، به بهبـود الگـوريتم هـاي حـلمسئله بهينه يابي پرداخته اند. حال آنکه تکنيک هـاي عـدديمورد استفاده براي مجزا سازي١٧ محيط کمتـر مـورد توجـهقرار گرفته انـد و عمـدتﹰا از روش المـان محـدود [١٧و١٨] جهت مجزاسازي محيط اسـتفاده شـده اسـت. از طرفـي بـاگسترش کاربرد روش هاي بدون شبکه در شاخه هاي مختلف علمي، تعدادي از مطالعات به اسـتفا ده از ايـن روش هـا درمجزاسازي محيط در تحليـل هـاي حـدي عـددي معطـوفشده اند. در اين زمينـه مـي تـوان مطالعـه چـن و همکـاران[۱۹و۲۰] را به عنوان اولين تحقيقي مطرح نمود که با استفاده از روش بدون شبکه گالرکين١٨ يک روش حد پايين عددي را براي حل مسائل پايداري ارائه نمـوده انـ د. در ايـن روشميدان تنش مجاز به صورت ترکيبي از يـک ميـدان تـنش بـاتعادل ذاتي۱۹ و ضـريبي از ميـدان تـنش ارتجـاعي تعريـفمي شود. با مجزاسازي ميدان تنش معرفي شده توسط روش بدون شبکه گالرکين و اعمال آن در تئوري حد پـايين يـکمسئله بهينه يابي به دست مي آيد که با حل اين مسئله بهينه يابي توسط يک الگوريتم غيرخطي پيچيده جواب مسئله به دست مي آيد. روش ارائه شده توسط چن و همکاران با وجود ارائه يک راهکار جديد، روشي پيچيده است که به حل پايين اکيد نيز منجر نمي گردد. پس از آن له و همکاران [۲۱] يک روش حد پايين بدون شبکه را براي تحليل حـدي ورق هـا ارائـهکردند که در آن از روش بـدون شـبکه گـالرکين و مفهـومانتگرال گيري گره اي٢٠ استفاده شده است. روش آنها نيز فاقد توانايي در ارائه حل پايين اکيد مي باشد. در زمينه مهندسـيژئوتکنيک، غلامپور و بينش [۲۲] با بهره گيري از تابع شکل شپارد٢١ و نيز مفهوم انتگرال گيري عددي، روشي بدون شبکه را براي تعيين مرز پايين ظرفيت باربري پي هاي نواري ارائه نمودند. اين روش برخلاف روش هاي ارائه شده در مطالعات پيشين، يک مرز پايين اکيد براي بار حـدي ارائـه مـي دهـد .
غلامپور و بينش [٢٣] هم چنين از روش ارائه شده در حـلمسئله دريچه مدفون۲۲ استفاده نمودند.
در اين مقاله هدف آن اسـت کـه روش ارائـه شـده توسـطغلامپور و بينش [٢٢]، با کاربرد برنامه ريزي غيرخطي٢٣ تقويت شود و نتايج آن براي مسائل مختلف پايداري در مکانيک خـاکمورد بررسي قرار گيرد. براي اين منظور با استفاده از تابع شکل شـپارد و مفهـوم انتگ رال گيـري گـره اي و نيـز تغييـر سـاختار تنش هاي گره اي مجهول يک مسئله بهينه يابي غيرخطي به دسـتمي آيد که اين مسئله توسط روش برنامه ريزي مخروطـي مرتبـهدو حل مي گردد. در نهايت با حل چندين مثال، افزايش دقت و نيز قابليت روش نسبت به حالتي که از برنامه ريزي خطي جهـت حل مسئله بهينه يابي استفاده مي شود، نشان داده شده است.

٢ – کليات
هدف از محاسبه مرز پايين يافتن ميدان تنشي است كه معادلات تعادل و شرايط مرزي را در سراسر دامنه مسئله ارضا كنـد و درهيچ نقطه اي از دامنه نيز از معيار تسليم تجاوز ننمايد. در چنـينحالتي بار به دست آمده از ايـن ميـدان تـنش از بـار گسـيختگيواقعي بيشتر نخواهد بود. به طورکلي صرفنظر از روش عـددياستفاده شده، هر مسئله مرز پايين عددي را ميتوان بـه صـورتيك مسئله بهينه سازي مقيد به شكل زير بيان نمود:
Max Q(X) subject to : a(X) = 0 (۱)
f(X) ≤ 0
كه در آن X بردار تنش، Q تابع هدف (بار گسيختگي)، a تـابعشرايط تعادل و شرايط مرزي وf تابع قيد تسليم مي باشند.
ساختار توابع a ،Q و f بسـتگي بـه روش انتخـابي جهـتمجزاسازي محيط دارد. در اين مقاله با توجه به خصوصيات ممتاز توابع شکل شپارد در تحليل هاي حـد پـايين [٢٤] از روش بـدونشبکه شپارد به منظورمجزاسازي محيط استفاده شده است. لـذا درادامه به تشريح روش بدون شبکه شپارد پرداخته شده است.

۳ – معرفي روش بدون شبكه
بــه طــورکلي در روش هــاي بــدون شــبکه، هندســه مســئله توســط مجموعـه اي از گــره هــا در دامنــه آن مدلسـازي مــي شــود و بــراي درونيابي٢٤ متغير ميدان٢٥ نيـازي بـه شـبکه بنـدي محـ يط نمـي باشـد(شكل١). گره ها نيز از طريق ايجاد دامنه تکيه گاهي٢٦ در اطراف هـر گره با يکديگر مرتبط مي شوند. دامنه تكيه گـاهي يـك نقطـه شـامل گره هايي است که براي تقريب تابع، مورد استفاده قـرار مـي گيـرد ومي تواند اشكال مختلفي داشته باشد (شـكل ٢). در انـواع روش هـاي بدون شبکه تکنيک هاي مختلفي براي درونيابي متغيـر ميـداني مـورداستفاده قرار مي گيرند. در مقاله حاضر به علت خصوصـيات منحصـربه فرد روش شپارد جهت استفاده در تحليل هاي حـد پـايين، از ايـنروش در ساخت توابع شکل استفاده شده است.
اگر N گره در محدوده اطراف نقطهx قرار داشته باشد و مقادير تابع پيوسته u در گره هـا مشـخص باشـند (يعنـي (1 )u1= u x ، (2 )u2 = u x و … ) تابع پيوسته درونيابي شده توسط روش شپارد به صورت زير بيان مي شود[٢٤]:
N
∑ui∏rjα
u(x) =

i 1=Nj i≠j =1,2,…,N (۲)
∑∏rjα
≠i 1= j iدر رابطه(٢)، α ثابتي است که بر شـکل تـابع درونيـابي شـدهتأثيرگذار مي باشد. در مطالعـات انجـام شـده توسـط گـوردن وويكسوم [٢٥] به منظـور همـوار کـردن تـابع درونيـابي 1α > درنظر گرفته شده است.rj فاصله بين نقطهx و نقطهxj است که در فضاي دو بعدي به صورت زير تعريف مي شود:
rj = (x−x )j 2 +(y−y )j 2

(۳)
معادله (٢) به فرم ماتريسي زير بازنويسي مي شود: (۴) u(x) = F .Us
Us بردار مقادير گره اي مربوط به گر ههاي مجاور نقطهx وF توابع شکل شپارد براي N گره محلي است:
Us =[u ,u ,…,u1 2 N ]T (۵) F (x) = Φ[ 1(x),Φ2(x),…,ΦN (x)] (۶) :به صورت زير تعريف مي شود Φi (x) كه
∏rjα
Φ

(x) = Nj =1,2,…,N (۷)
∑∏rjα
i 1= j i≠

شكل١ – مدلسازي هندسي دامنه مسئله شكل٢ – دامنه تكيه گاهي نقطه x

توابع شکل شپارد داراي دو خاصيت منحصر به فرد هستند کـهدر تحليل حدي مرز پايين بسيار مفيد هستند. خاصيت اول دارا بودن خاصيت دلتاي کرانيکر٢٧ است که اعمال شرايط مـرزي راساده مي سازد و خاصيت دوم، که از اهميت بيشتري برخـورداراست، ارضاي اصل حداکثر مي باشد [ ٢٤]. براسـاس ايـن اصـلکليه مقادير درونيابي شده توسط روش شپارد بين مقادير گر هاي حداقل و حداکثر قرار مي گيرند. اصل حداکثر در ارضاي شرايط عدم تسليم کاربرد دارد که در بخش هاي آينـده بـه آن پرداختـهمي شود.

۴ – فرمو لبندي تحليل حدي عددي مرز پايين
همان طور که پيش از اين اشاره شـد، ميـدان تـنش مجـاز بايـدتعادل و شرايط مرزي را براي کل دامنه به صـورت کامـل ارضـانمايد و وضعيت تنش در هيچ نقطه اي از دامنه از معيـار تسـليمتجاوز نکند. از طرفي با توجه به رابطه (٤) و با در نظـر گـرفتناين واقعيت که در تحليل حد پايين متغير ميـداني تـنش اسـت ، مي توان مقدار تنش در هر نقطه را به وسيله توابع شکل به مقادير تنش گره اي ارتباط داد و به عبارتي مي توان مجزاسـازي ميـدانتنش پيوسته را توسط روش شپارد براساس رابطه زير به انجـامرساند:

(۸)
(σij (x مقدار تنش در مختصات فضاييΦz(x) ، x تابع شـکلتعريف شده در رابطـه (7) و (σij (xz مقـدار تـنش گـره اي در مختصات فضاييxz مي باشند.K نيز مجموعه گـره هـاي قـرار گرفته در دامنه تکيه گاهي نقطهx مي باشد.
در ادامه نحوه ارضـاي معـادلات تعـادل، شـرايط مـرزي وشرايط عدم تسليم براي کل دامنه به تفصيل بيان مي گردد.

٤ -١ – ارضاي معادلات تعادل
براي ايجاد يك ميدان تنش مجـاز اسـتاتيكي، تـنش در سراسـردامنه مسئله بايد از معادلات تعادل پيروي كند:
∂σij

∂x j + bi = 0 (۹)
σij وbi به ترتيب مؤلفه هـاي تانسـور تـنش و نيـروي حجمـي
هستند. ارضاي معادله (٩) در گره ها، به معناي ارضاي تعادل در همه نقاط دامنه نمي باشد. از ايـن رو، يـک سـلول ورونـويي٢٨ اطراف هر گره ساخته مي شود (شکل٣) و مشـتق تـنش در هـرسلول هموار مي گردد. به عبارت ديگر هر سلول ورونويي يـکگره را نمايندگي مي کند و هموارسـازي مشـتق تـنش در واقـعارضاي رابطه به صورت ميانگين در کل سلول ورونويي است. از طرفي، با توجه به اينکه اجتماع سلول هاي ورونويي کل دامنه را پوشش مي دهد، در واقع روابـط تعـادل بـه صـورت متوسـط درتمامي نقاط محيط ارضا مي گردد.
مشتق تنش در سراسر سلول به صورت زير هموار مي گردد:
9448899592

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

78028899592

∂σij = ∫ΩL Ψ ∂σ∂xijj dΩ (۱۰)
∂xj

شكل٣ – تشکيل سلول ورونويي در اطراف هر گره شكل٤ – سلول ورونويي اطراف نقطه q

بهطوري کهΨ ، σij وΩL بـه ترتيـب تـنش همـوار شـده، تـابعهموار کننده و دامنه سلول ورونويي مي باشند. در مطالعات چن و همکاران [٢٦] تابع هموار کننده به صورت زيـر معرفـي شـ ده است:


A1Lx∈AL (۱۱)
Ψ = 0x∉AL
AL مســاحت ســلول ورونــويي اســت. بــا اســتفاده از تــابع همواركننده چن و همكـاران و بـا قضـيه ديـورژ انس٢٩، معادلـه
(١٠) به صورت زير ساده تر مي شود:
103632114490

∂σij = 1 ∫ σijn dj Γ (۱۲)
∂xjAL ΓL
ΓL مرز سلول ورونويي وnj بـردار واحـد نرمـال در جهـتj مي باشد، كه در شكل(٤) نشان داده شده اند.
بـا جـاي گـذ اري رابطـه (١٢) در رابطـه (٩) معادلـه تعـادلبه صورت زير تعريف مي شود:

A1L Γ∫L σijn dj Γ + bi = 0 (۱۳)
با ارضاي رابطه (١٣) در هر سلول ورونويي، شرط تعادل در کل دامنه ارضا خواهد شد؛ سپس مجزا سازي معادلات تعادل توسط روش بدون شبكه شپارد، با جـاي گـذاري رابطـه (٨) در رابطـه
(١٣) انجام مي شود:

(۱۴)
z KΓL
و در نهايت با در نظر گرفتن کليه گره هاي تعريف شده در دامنه مسئله، معادله (١٤) به فرم ماتريسي زير نوشته مي شود:
Aeqs = Beq (۱۵) که
Aeq =[A1A2 …AM]T (۱۶)
Beq = [B1B2 …BM ]T (۱۷)
s = [s1 s 2… s M ]T (۱۸)
در روابط بالا،M تعداد کل گره هاي سازنده هندسه مسئله است.
در شرايط کرنش صـفحه اي بـردار تـنش هـا ي گـره اي (si ) و نيرو هاي حجمي (Bi ) به صورت زير مي باشند:
s i = σ[ 11(xi ) σ22(xi ) σ12(xi )]T (۱۹) Bi =[b1i b2i]T (۲۰)
کهb1i وb2i به ترتيب نيروي حجمي وارد بر گره i در جهت ۱ و ۲ هستند. ماتريس هاي 1A تا AM به گره هاي قرار گرفته در دامنه تکيه گاهي گره هاي ١ تا M بستگي دارند. با فـرض اينکـهگره هاي s ،r و t در دامنه تکيـ هگـاهي گـرهi قـرار گرفتـه انـد ،
ماتريسAi به صورت زير تعريف مي شود:
Ai =[0 … 0 Are 0 … 0 Ase 0 … 0 Aet 0 … 0]
(۲۱)
Aem = A0em1A0em2AAmeem12  (۲۲)
به منظور محاسبه 1Aem و 2Aem بايد از يك تکنيک انتگرال گيري عددي استفاده کرد. در اينجـا بـا اسـتفاده از روش ذوز نقـه اي٣٠ ابر ي هر قطعه در شکل ٤ ، 1Ame و 2Aem به صورت زير به دست آمده است:
Ns
Aem1 =

A1 Φm (xqD )n1D L2D +Φm (xqD 1+ )n1D L2D  L D 1=
Ns
Aem2 =

A1L D 1∑= Φm (xqD )n2D L2D +Φm (xqD 1+ )n2D L2D 
Abos =Bbo (۲۷)
(۲۳)
که در اين روابط،Ns تعداد کل ضلع هاي سلول ورو نـويي مربـوطبه گره xDq ، q و1+xqD دو نقطه انتهـا يي ضـلع مـرزيΓDk وLD طولΓDk هستند.n1D و 2nD نيز به ترتيـ ب طـول م ؤلفـه هـا ي بـردارنرمال وارد بر ضلعΓDk در جهت ۱ و ۲ مي باشند.

٤ -٢ – ارضاي شرايط مرزي
در مباحث مربوط به تحليل حدي مـرز پـايين، شـرايط مـرزيشامل تنش ها است، به طوري که ميتـوان در مرزهـاي مختلـف،شرايط را به صورت زير بيان کرد:
στ =n =constantconstant (۲۴)
کهσn وτ به ترتيب تنش هـاي نرمـال و برشـي در طـول لبـهمرزي مي باشند. با توجه به ثابت بودن تنش ها مـي تـوان مشـتقتنش را در راستاي مربوطه در سلول هاي ورونويي مـرزي برابـرصفر قرار داد و با توجه به خاصيت دلتاي کرانيکر بـراي توابـعشکل شپارد، به سادگي شرط تنش ثابت بر سـلول هـاي مـرزياعمال مي شود. با فرض ثابت بودن تنش در راستاي j و با در نظر گرفتن رابطه (١٢) خواهيم داشت:
10363256144

∂σ∂xnj = A1LB Γ∫B σnn dj Γ = 0
∂∂τx=

A1 ∫ τn dj Γ = 0 (۲۵)
jLB ΓB
کهALB وΓB مربوط به سلول ورونويي گره مرزي مـي باشـند .
براي برنامه ريزي عددي لازم است که فـرم مجـزا شـده روابـط(٢٥) ايجاد گردد. از اينرو با جاي گذاري معادلـه (٨) در معادلـه
(٢٥) داريم:
z K∑∈ B

A1LB Γ∫B Φz (x)σn (x )n dzj Γ = 0
(۲۶) که Abo ماتريس ضرايبي اسـت کـه از اعمـال رابطـه (۲۶) بـه سلول هاي ورونويي مرزي مسئله به دست مي آيد و Bbo بـردارمرتبط با مقادير مشخص تن شها در طول مرز مي باشد.

۴ -۳ – شرط تسليم
يکي از خصوصيات منحصر به فرد تابع شـپارد برخـورداري از اصل حداکثر است. براسـاس ا يـن اصـل ، بـرا ي همـه نقـاط xj کـه j = 1,2,…, N مقـاد ير تـابع ( )u x توسـط حـداکثر مقـدارگره اي (max(u )j ) از بالا و حداقل مقدار گـره اي (min(u )j ) از پايين محدود شده است. اين ويژگي را مي توان به صورت زير بيان کرد: (٢٨) let Mm ≤=u xmax(u ) , m( ) ≤jM = min(u ) thenj
با توجه به اينکه متغير ميندا ي در روش پيشنهادي در اين مقالـه،تنش ها مي باشند؛ بنابراين با در نظر گرفتن اصل حداکثر، مقـاد ير درون يـابي شـده توسـط روش شـپارد همـواره بـين حـداقل و حداکثر تنش هاي گره اي واقع مي شوند. از اينرو اگر کنترل عدم تجاوز از ميدان تسليم براي ميدان تنش درون يابي شـده توسـطروش شپارد تنها در گره ها صورت گيرد، متضـمن ارضـا شـرطعدم تسليم در کل نقاط دامنه خواهد بود.
در مقاله حاضر از معيار تسليم مـور -کولمـب ٣١ در شـرايطكرنش مسطح استفاده شده است. ايـ ن معيـ ار در فضـا ي (2,1) به صورت زير تعريف مي شود:
295656-53615

F =(σ11 −σ22)2 + σ4 122 + σ( 11 +σ22)sinφ−2ccosφ
(٢٩)
به طوري که،c وφ به ترتيب چسبند گي و زاويه اصطکاک خـاکمي باشند. شرط لازم براي مجـاز بـودن ميـدان تـنش بـه لحـاظخميري آن است که:
F ≤ 0 (٣٠)
در واقع اين شرطي است که براي وضـعيت تـنش هـا ي گـره اي بايد برقرار باشد تا ميدان تـنش در نظـر گرفتـه شـده بـه لحـاظخميري سازگار باشد.
٥ – تشکيل مسئله بهين هيابي
در قسمت هاي قبل شرايط تشکيل ميدان تنش مجاز بيان گرديد.
اين ميدان تنش ناشي از يک تحريک خارجي است که در اکثـرمسائل پايداري، بارگذاري خارجي در قسمتي از مرز مـي باشـد . بنابراين مسئله تحليل حدي مرز پايين در واقع يافتن يک ميدان تنش مجاز است که حداکثر مقدار بار خارجي را به دست دهـد . لذا روند حل در يافتن مرز پايين بار حدي به يک مسئله بهينه يابي مقيد مي انجامد که در آن تابع هدف٣٢ بارگذاري خارجي و قيود آن شرايط مربوط به تعادل، مرزها و عدم تسليم نقاط هستند. بر اين اساس تابع هدفي به صورت زير تعريف مي شود:
Q = h∫σnf dS (۳۱)
SکهQ بار حدي،h ضخامت عمود بر صفحه،σnf تـنش نرمـالاعمال شده بر ناحيه بارگذاري در مرز وS طـول ناحيـه تحـت بارگذاري مي باشد. با استفاده از روش گـاوس ٣٣، فـرم گسسـتهرابطه (۳۱) به شکل زير بازنويسي مي گردد:
NG
Q = h∑ω σinf (xG ,yG ) (۳۲)
i 1=
کهNG تعداد نقاط گاوس واقع شده در طول ناحيـ هωi ، S وزن نقطــه گــاوسi و(x ,yG G) مختصــات نقطــه گــاوس در فضاي(x, y) مي باشد.
درنهايت با مشخص بودن تابع هـدف و قيـود لازم، مسـئلهبهينه يابي به صورت زير تشکيل مي گردد:
MaximizeQ(s )
Subjected To:
Aeqs = Beq


دیدگاهتان را بنویسید