در كــار حاضــر جريــان ســيال آب، درون همزنــي بــا ابعــادآزمايشگاهي (با حجم ۱۰ ليتر) كه داراي چهار پره ثابت و يـكپروانه شش پره راشتون مي باشد، بـه روش عـددي شـبيه سـازيشده است. اين هندسه، يك هندسه مرسوم در كارهـاي عـددياست و براي آن تعدادي نتايج عـددي و آزمايشـگاهي موجـوداسـت (شـکل ۱). عـدد رينولـدز در ايـن همـزن بـه صـورت Re = ND2 ν تعريـف شـده و نـوع جريـان داخـل همـزن رامشخص مي كند. در اين رابطه، N سرعت زاويـه اي پروانـه (در واحد D ،( revs قطر پروانه وn لزجت جنبشي سيال کـارياست. به دليل وجود هندسة پيچيده و دوران پروانه، عدد رينولدز جريان ۲۹۰۰۰ بوده و جريان ايجاد شده مغشوش مي باشد. دليل
جدول ۱ – مقايسه نتايج حاصل از روش ميدان نيرو با روش کمانه کردن اصلاح شده
Re =100 روش ميدان نيرو [۲۲] روش کمانه کردن اصلاح شده [۳۲] حد مجاز بالا و پايين [۳۱]
CD ۳/۳۳۳ ۳/۲۲۷۵ ۳/۲۲- ۳/۲۴
CL ۱/۰۵۱۱ ۱/۰۰۴۰ ۰/۹۹-۱/۰۱

انتخاب اين عدد رينولدز، نتايج آزمايشگاهي موجود است [۲۳].

۳ – روش شبکه بولتزمن
روش شبکه بولتزمن، روشي با مبناي ذره اي – جنبشي است که براي شبيه سازي جريان هاي سيال مورد استفاده قرار مي گيرد. در اين روش، معادله جنبشي به منظور بـ ه دسـت آوردن تـابع توزيـعسرعت ذره f(x,u,t)r r حل مي شود که در آن ur بـردار سـرعت،xr بردار مکان ذره و t زمان است. کميت هـاي م اکروسـکوپيکمانند چگالي ρ و ممنتوم ρur با استفاده از مقادير تـابع توزيـعاحتمال حضور ذره f که از حل معادله جنبشي بهدست مي آينـدمحاسبه مي شوند. يک مدل جنبشي پر کاربرد، تقريـب گسسـتهشده معادله بولتزمن با يـک زمـان آرامـش اسـت کـه بـه مـدل۱۰BGK نيز موسوم است. شکل BGK معادله بولتزمن بهصورت زير مي باشد:

∂∂ft + u. fr∇r =−

λ1 (f −f (eq)) (١)
که در آن f(eq) ، تابع توزيـع تعـادلي (توزيـع تعـادلي ماکسـول – بولتزمن) و λ زمان آرامش مي باشد. در حالت طبيعـي يـک ذرهسيال در بي نهايت جهت (ur ) مجاز به حرکت ميباشـد . اولـينگــام بــراي حــل عــددي معادلــه (۱)، بــه منظــور محاســبه f، گسسته سازي سرعت ur (سرعت حرکت ذره) مي باشـد . بـراياين منظور بدون آن که قوانين بقاء نقض شوند، ذره به حرکـتبا سرعت هاي خاصي (urα ) محدود مي گردد [۲۴]:

(٢)
در معادله بالاfα ≡ f(x,u ,t)r rα ، تابع توزيع مربوط بـهa امـين سرعت گسسته شده urα ذره است. fα بيانگر احتمـال وجـودذره اي در زمــان t در مکــان xr اســت کــه داراي ســرعتي

شكل ۱ – هندسه جريان [۷]، همزن(شکل سمت چپ) داراي چهار پره ثابت است که از دوران صلب سيال جلوگيري ميکند، پروانه (شکل
سمت راست) يک پروانه شش پره راشتون است. ضخامت ديسک و ضخامت پر ههاي ثابت و متحرکD 017.0 است

(
شكل ٢ – يک مدل سه بعدي، شبکه نوزده سرعتي ( 19D3Q

برابر urα است و fα(eq) تابع توزيع تعادلي متناظر با آن اسـت . مي شود [٢٥]:
مـمدـدلل 19نــQو3Dزده معرســورفعت ياس تســ (ه بعـشکـدل۲ي) ، شــبيكيک ه از بــومدلتل زمهاني، کــسه ه بعدبــهي 013 , α=
408432-336669

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

است كه با موفقيت در حل بسياري از مسائل سه بعـدي جريـان(٤) 61wα =181 , α= −
 1
سيال مورد استفاده قرار گرفته است. در اين مـدل سـرعت هـاي18736 , α= −
گسسته شده ذرات، reα مي باشند. با گسسته سازي فضاي سرعت ذره در معادله جنبشي، چگالي و تابع توزيع تعادلي بـراي شـبکه 19D3Q طبـق رابطـه زيـر ممنتوم به شکل زير قابل محاسبه مي باشند:

4044696105725

5263896105725

ρ =ur ∑18 e frα α = ∑18 e frα α (eq) ((٦٥))f (eq) =ρw [1+ 3 e .ur r + 9 (e .urα r)2 − 32:شودu.ur r تع٣)ري ف [مي)
ααc2 α2c42c
609600118594

w، ضريب وزني است و طبق رابطه (٤) جايگذاري 1α=1 r α=و در آن a سرعت صوت در اين مـدل برابـر اسـت بـاcs = c کـه در
r
3
2676145-23407

آنcr =δxrδt و δxr و δt ، به ترتيب ثابت شـبکه و انـدازه گـامزماني است. شکل کاملاﹰ گسسته شده معادله (١) با گام زماني δt و گام مکاني reαδt به صورت زير خواهد بود:
fα (xri + erαδt,t +δ −t) fα (x ,tri ) =

1τfα (x ,tri )−fαeq (x ,tri ) (٧)
2365248-36219

که در آنτ=λδt زمان آرامش بدون بعـد و xri مختصـات يـکنقطه در فضاي فيزيکي مي باشد. به اين معادله، معادلـه گسسـتهشده بولتزمن با تقريب BGK گفته مي شود. اين معادله معمولاﹰ در دو مرحله، مطابق رابطه (٨) حل مي شود. در اين رابطه، علامت ~ بيانگر مقدار تابع توزيع بعد از مرحله برخورد مي باشد.
مرحله برخورد۱۱:
f (x ,t%α ri +δ =t)f (x ,t)α ri−

1τ[f (x ,tα ri)−fα(eq)(x ,tri)]
مرحله جاری شدن۱۲:
f (xα ri + δ +δ =erα t,tt)f (x ,t%α ri +δt)
(٨)
در روش شبکه بولتزمن، پارامتر زمان آرامش t طبق رابطه (٩)، از لزجت جنبشي سيال محاسبه مي گردد: (٩) ν= τ−( 0.5)cs2δt
اين روابط و فرضيات مرتبط با آنها باعـث مـي گـردد تـا مـدلBGK (رابطه (۷)) به يک روش با مرتبة دوم دقت، بـراي حـلجريان هاي تراکم ناپذير سيال تبديل شود [۲۶]. بايد به اين نکته توجه کرد که مرحله برخورد در معادله (۸) کاملاﹰ موضعي است و به داده هاي نقاط ديگر نيازي ندارد. مرحلة جـاري شـدن نيـزفقط با نقاط همسايه تبادل دارد و لذا به محاسبه نياز نـدارد . بـهدلايل فوق، اين روش از قابليت بالايي، بـراي پـردازش مـوازيبرخوردار است.

۴ – شيوة اعمال مرز جامد در روش شبکه بولتزمن
۴ -۱ – روش كمانه كردن
روش كمانه كردن براي اعمال شرط مرزي عدم لغـزش بـه كـارمي رود. در اين روش، در كنـار ديـوار، مرحلـة برخـورد انجـاممي شود و در مرحلة جار ي شدن به جاي اينكه تابع توزيع در يك جهت را به گره بعد منتقل كننـد، در روي همـين نقطـه، جهـتورودي را برعكس مي كنند؛ به عنوان مثال اگر در شکل ٢، تـابعتوزيع 1f قبل از انجام گام جاري شدن به سمت ديوار برود، در گام جاري شدن روي همين گره سيال، 2f برابـر 1f قـرار دادهمي شود. به عبارت ديگر، تابع توزيع به جهت دورشدن از ديوار، تغيير جهت ميدهد و هيچ تغييري در نقطة جامد نياز نيست. لازم به ذكر است كه اگر ديوار متحرك باشد، علاوه بر تغييـر جهـ ت دادن تابع توزيع ورودي، مقدار خروجي نيز متناسب با سـرعتديوار متفاوت خواهد بود و طبق رابطه (١٠) مقدار تابع توزيع در جهت خروجي معين مي شود:
f (x ,t)α rf= f (x ,t)%α rf−6wα αρe .r urw (١٠)
در چگاايلـين راسيبالطـ، هreαα جهـجهـت تبـ رورعوكديس،wαr ،wα ضـريب وزنـي، ρ u سـرعت حرکـت مـرزجامد و انديس f مربوط به سيال است. لازم به ذکر اسـت كـهرابطة فوق، وقتي ديوار دقيقاﹰ وسط فاصله دو گـره قـرار داشـتهباشد، از مرتبة دوم دقت برخوردار است، در غيـر ايـ نصـورتمرتبه اول دقت را داراست. براي رفع اين مشـكل و هـم چنـينبراي اعمال شرط مرزي كمانه كردن بـر روي مرزهـاي منحنـي،روش كمانه كردن اصلاح شده در سال ١٩٩٨ توسـط فليپـووا وهانل پيشنهاد شد [٢٧]. اين روش در سال ١٩٩٩ توسـط مـي وهمكارانش با روابـط سـاده تـري بيـان گرديـد و تـاكنون مـورداستفاده قرار مي گيرد [٢٨، ٢٩]. در روش كمانـه كـردن اصـلاحشده، براي يك مرز منحني كه داخل سـيال قـرار گرفتـه اسـت
(شكل ٣)، مقدار fa طبق رابطه (١١) محاسبه ميشود [٢٨]:
f (x ,tα rf +∆ = −χt)(1)f (x ,t%α rf)
+χf (x ,t)α* rb − ρ6 w e .α αr urw (١١)
در رابطة فوق، پارامترهـاي ذکرشـده بـ هصـورت ذيـل تعريـفمي شوند:
f (x ,t)α* rb=ρw [1α +3e .urα rbf + 4.5(e .urα rf )2 −1.5u .ur rff ]
(١٢)

شكل ۳ – تصوير يك شبكه يكنواخت دوبعدي و مرز منحني داخل آن [۲۸]

414528114855

urbf = (∆−∆1)urf + ur∆w , χ=

2∆−τ 1 , ∆≥ 0.5 (١٣)
urbf = urff = u (xrf rff ,t) , χ=

, ∆<
r
310896-77498

∆ = xrf −−xrxrwb (١٥)
xf
پس از انجام گام جاري شدن مطابق روابط فوق، ديگر نيـاز بـهاعمال نيرو در نقاط شبكه نيست و شرط عدم لغزش و بـه تبـعآن اثر مرز جامد متحرك اعمال شده است.
مزاياي روش كمانه كردن:
اين روش، هم در مسائل جريان دائـم و هـم در مسـائلجريان گذرا قابل استفاده است.
به دليـل اينكـه در ايـن روش، فقـط بـراي نقـاط سـيال،محاسبه و مبادلة اطلاعـات وجـود دارد، تمـام نقـاط جامـد ازمحاسبات حذف مي شوند و توابع توزيـع هـم در نقـاط جامـدمحاسبه نمي شوند، لذا زمان و هزينة محاسباتي به انـدازه سـهمنقاط جامد در بين كل نقاط كاهش مي يابد.
عيوب روش كمانه كردن:
وجود ميان يابي در اين روش، موضعي بودن روش شبكه بولتزمن را تا حدودي از بين مي برد.
بهدليل اينكه براي محاسبه fa به روابـط (١١) تـا (١٥) نياز است، استفاده از اين روش در هندسه هاي پيچيـده راحـتنيست. با اين وجود در صورتي كه روابط مذكور به طور صحيح در يك هندسه اعمال شود، جـواب مسـئله سـريع تـر از روشميدان نيرو به دست مي آيد زيرا به تكرار داخلي و ضـريب زيـر تخفيف١٣ نيازي نيست.

۴ -۲ – روش ميدان نيرو يا روش مرز شناور
در اين روش كه هم براي مرز ساكن و هم بـراي مـرز متحـركبه كار مي رود، جسم جامد از درون دامنه حل حذف ميگـردد واثر آن توسط يك سري نيـرو، در نقـاط ارتبـاط جامـد و سـيالاعمال مي شود. ايـدة اصـلي ايـن روش در سـال ۱۹۷۲ توسـطفردي به نام پسكين۱۴ براي شبيه سازي دريچه هـاي قلـب مـورداستفاده قرار گرفت، اما اين روش رسماﹰ در سـال ۱۹۹۳ توسـطگلداستين و همكارانش بـراي شـبيه سـازي شـرط مـرزي عـدملغزش مطـرح شـد [۳۰]. لازم بـه ذکـر اسـت کـه گلداسـتين وهمكارانش اين ايده را در يـك كـارCFD مـورد اسـتفاده قـراردادند. در سال ۱۹۹۶ ايـن روش توسـط اگلـز در روش شـبكهبولتزمن مورد اسـتفاده قـرار گرفـت [۴]، و پـس از او در سـال۱۹۹۹، بـه بيـاني سـاده تـر، توسـط دركسـن و همكـارانش در شبيه سازي جريان داخل يک همـزن، بـه روش شـبكه بـولتزمنمورد استفاده قرار گرفت [۷].
روش كار نسبتاﹰ ساده است، امـا بـ هدليـل اينكـه در مراجـعمذکور روش و فرمول بندي مورد نياز خيلي فشرده عنوان شـدهاست، در اينجا به بياني ساده براي يك دامنه دوبعدي، اين روش توضيح داده مي شود. همان طور كه در اول اين بخش عنوان شد، در روش ميدان نيرو، جسـم جامـد از داخـل دامنـه محاسـباتيحذف مي گردد و فقط اثر آن توسـط يـك سـري نيـرو اعمـالمي شود. براي اين منظور ابتدا دامنه حل با شبكه مورد نياز براي روش شــبكه بــولتزمن كــه يكنواخــت و مربعــي مــي باشــد، شبكه بندي مي شود؛ سپس مرزهاي جسم جامـد بـا يـك سـرينقاط مرجع، معين مي شود و مختصـات ايـن نقـاط و شـمارندة

شكل ۴ – تصوير يک نقطه مرجع جامد بههمراه نقاط اطراف آن در
شبکه بولتزمن

هر نقطه ذخيره مي گردد. مكان اين نقاط مرجع بايـد روي مـرزجسـم جامـد بـا يـك سـري نقـاط مرجـع، معـين مـي شـود ومختصات اين نقاط و شمارندة هر نقطه ذخيره مي گـردد . مكـانايـن نقـاط مرجـع بايـد روي مـرز جسـم جامـد باشـند، امــامحدوديتي از لحاظ انطباق با نقاط شـبكه، و يـا يكسـان بـودنفاصله ندارند و كاملاﹰ آزادانه انتخاب مـي شـوند . مـثلاﹰ مـ يتـوانبراي نقاط حساس جسم جامـد، تعـداد نقـاط مرجـع بيشـتر ونزديك تري را انتخاب نمود. فرض كنيد نقطـهA در شـكل (۴) يك نقطه مرجع از جسم جامد باشد و نقـاط اطـراف آن، نقـاطمربوط به شبكه بندي شبكة بولتزمن باشـند . در ايـن روش ابتـدااز روي تابع توزيـع هـر نقطـه، سـرعت نقـاط شـبكه محاسـبهمي شود و با توجه به فاصـلة نقطـهA از گـره هـاي اطـراف آن،مقدار سرعت در نقطه A توسط ميان يابي پيدا مي شود. با توجـهبه شكل (۴) و نامگذاري هاي آن، مقدار سـرعت در نقطـهA از رابطه (۱۶) به دست مي آيد:
r
uA = −α(1)(1−β)urws + −α β(1) urwn
+αβuren +α −β(1)ures
حال با توجه به سرعت واقعي كه در نقطة A مد نظر مي باشـد،انحراف سرعت نقطة A از سـرعت واقعـي، طبـق رابطـه (۱۷) به دست مي آيد:
∆urA = urA,real − urA
اگر به نقاط اطراف نقطه A نيروهاي مناسبي وارد شود، مي توان انحراف سرعت در ايـن نقطـه را برطـرف نمـود. لـذا انحـرافسرعت در نقطه A به گره هاي اطراف برون يـابي مـي شـود و ازروي انحراف سرعت در هر نقطه شبكه، نيروي مورد نياز بـراياصلاح اين انحراف به دست مي آيد. بنابراين مقدار نيروي مـوردنياز در هر نقطه شبكه، طبق رابطه (۱۸) به دست ميآيد:
r Fws = (1-α)(1- )β ρ∆urA r
Fwn = (1-α βρ∆)urA
Fren =αβρ∆urA (١٨)
rFes =α(1- )β ρ∆urAلازم به ذكر است كه اين مقادير فقـط ناشـي از نقطـه مرجـعA مي باشند و براي بقيه نقاط مرجع هم، بايد اثر انحراف سرعت ها محاسبه شده و به مقادير فوق افزوده شود. لـذا رابطـه (۱۸) بـهرابطه (۱۹) تبديل مي شود كه در آن مقـادير نيـروي مربـوط بـهنقاط مرجع قبلي نيز حذف نمي شوند:
rr
Fws = Fws + −α(1)(1−β ρ∆)urA
rr
Fwn = Fwn + −α βρ∆(1)urA
Fren = Fren +αβρ∆urA
Fres = Fres +α −β ρ∆(1 ) urAبا توجه به اينكه تغيير شـديد در نيـرو باعـث واگرايـي برنامـهمي شود، در اينجا از تركيب نيروي حاصل با نيروي گـام زمـانيقبلي، به همراه يك ضريب زيرتخفيف (h ) استفاده ميشود [٧].
يعني داريم:
r
Ft = +ηFr(Frt−∆t −F)r
كه در آن Fr مقدار محاسبه شـده از رابطـه (١٩) اسـت . بـراياعمال نيروي به دست آمده، اين نيرو به عنوان يك نيروي حجمي متغير درنظر گرفته شـده و مقـدار آن در نقـاط مختلـف شـبكهاعمال مي شود. بديهي است كه وجود ضريب زيرتخفيـف، اثـرديوارة جامد را با تأخير در داخل دامنه حل وارد مي كند، لذا اين روش براي مسائل جريان دائم مفيد ميباشد. لازم بهذكـر اسـتكه براي افزايش دقت روش ميدان نيرو، مـي تـوان در هـر گـامزماني، چند بار تكرار داخلي انجام داد و نيروها را اصلاح نمود. با اين كار، اثر مرز جامد نيز سريع تر در دامنة حل اعمال مي شود [٧]. به عنوان مثال در مرجع [١٥] براي افزايش دقت شبيه سازي، در هر گام زماني ده تکرار داخلي انجام شده است.
مزاياي روش ميدان نيرو:
اين روش به سادگي در برنامـه كـامپيوتري قابـل اعمـالاست.
برنامه را براي هندسه هاي مختلف مي تـوان بـه كـار بـرد. براي اين كار فقط نقاط مرجع جامد را بايد عوض كرد و نيازي به تغيير در برنامه نيست.
عيوب روش ميدان نيرو:
وجود ميان يابي در اين روش، موضعي بودن روش شـبكهبولتزمن را تا حدودي از بين مي برد.
وجود ضريب زيرتخفيف، كاربرد روش ميدان نيرو را به حل جريان هاي دائم محدود مي كند يا در صورت نياز بـه حـلجريان هاي غيردائم به برنامه تکرار داخلي اضافه مي شود.
وجود تكرار داخلي، زمان مـورد نيـاز بـراي رسـيدن بـهجواب را افزايش مي دهد.
به دليل اينکه در اين روش نقاط جامد، با سـيال جـايگزينمي شود و روابط مربـوط بـه نقـاط سـيال در ايـن نقـاط اعمـالمي گردد، ميزان محاسبات افـزايش مـي يابـد . بـراي اينکـه ميـزانافزايش حجم محاسبات مربوط به اين مشـکل بهتـر درک شـود،يک همزن استوانه اي به قطر و ارتفاع D درنظر بگيريد. با توجـهبه اينکـه در روش شـبکه بـولتزمن از شـبکه يکنواخـت مربعـياستفاده مي شود، براي شبيه سازي اين همزن، دامنـه اي بـه شـکلمکعب بر آن محيط مي شود. اين مکعـب اضـلاعي بـه انـدازهD دارد و کل اين حجم در محاسبات وارد مي شود. از آنجا که نقاط بيرون استوانه در مسئله اصلي وجود نداشته، بهاندازة حجـم ايـننقاط اضافي به محاسبات افزوده شده است. بـا توجـه بـه اينکـهحجم مکعب 3D ، حجم استوانه 4

3πD و اختلاف حجم آنهـا4 3(4−π)D / مي باشد، ميزان محاسبات، بيست و هفت درصـداز يک استوانة تنها بيشتر شده است. لازم به ذکـر اسـت کـه ايـنمقدار غير از حجم محور، پره هاي متحرک و ثابت مي باشد، زيـرابهجاي اين اجسام جامد نيز سيال قرار مي گيـرد و در محاسـباتبه عنوان سـيال وارد مـي شـون د. البتـه مـي تـوان تركيبـي از روشكمانه كردن و روش ميدان نيرو را بـ ه كـار بـرد و ايـن مشـكل راكاهش داد. به اين ترتيب كه در ديواره هاي همـزن، روش كمانـه كردن و براي پره هـاي ثابـت، محـور و پـره هـاي متحـرک روشميدان نيرو را اعمال نمود. با اين كار، حجم اضافي بيرون ظـرفحذف مي شود و فقط نقاط حاوي پره هاي ثابت، پره هاي متحرک و محور به شكل سيال در محاسبات وارد مي شوند.
در کار حاضر بـا توجـه بـه نكـاتي كـه در مـورد دو روشكمانه كردن اصلاح شده و ميـدان نيـرو عنـوان شـد، و داد ههـايجدول ۱ که دقيق تر بـودن روش کمانـه کـردن اصـلاح شـده رانسبت به روش ميدان نيرو تأييـد مـي کنـد، تـا زمـاني كـه روشكمانه كردن اصلاح شده قابـل اعمـال باشـد، ايـن روش نسـبتبه روش ميدان نيرو در اعمال مرز جامد ترجيح داده ميشود. لذا در كار حاضر در كنار روش شبكه بولتزمن از روش كمانه كردن اصلاح شده براي شبيه سازي مرزهاي جامد بهره گرفته ميشـود .


دیدگاهتان را بنویسید