تکنيک انتگرالگيري مونـت کـارلو٩ [٢٣] توسـط روسـکا و ليتاو١٠ [٢٤] براي انجام انتگرالگيري اسـتفاده شـد. تـوالي هـايمختلف شبه مونت کارلو١١ در اين روش توليد و با آزمـايش درمس ائل س ه بعــدي الاس تيک مقايســه ش د . امــا تع داد نقــاط انتگــرال گيــري لازم در ايــن روش از تعــداد نقــاط لازم درروشهاي ديگر بيشتر است.
خســروي فــرد و همتيــان [٢٥] از نظريــه گــرين١٢ بــراي انتگرالگيري در روشهاي بدون شبکه اسـتفاده کردنـد و آن راروش انتق ال ک ارتزين١٣ ناميدن د. در اي ن روش ب ا اس تفاده از تئوري گرين، انتگرال دامنه به يک انتگرال دوگانه، شامل انتگرال مرزي و انتگرال يک بعـدي تبـديل شـد. آنهـا ايـن روش را درمسائل خطي و تغيير شکل بزرگ استفاده کرده و نشان دادند که اين روش بدون شبکه واقعي بوده و ميتواند در مقايسه با روش بدون المان گالرکين اصلي دقت را افـزايش داده و زمـان را نيـزکاهش دهد. با اين وجود در مسائل پلاستيسـيته بـهدليـل لـزومذخيره شدن تنشهـا و متغيرهـاي حالـت در نقـاط محاسـباتي،استفاده از اين روش محدود خواهد بود.
پيشرفتي کـه در ايـن مقالـه ارائـه شـده، اسـتفاده از ميـان يـابيکريگينگ در محاسبه وزنهاي نقاط انتگرالگيري١٤ در روش بـدونشبکه گالرکين است. بهبود انجام گرفته برروي انتگرالگيـري باعـثخواهد شد که بدون کاهش دقت در انتگرالگيـري، نيـاز بـه شـبکهپش ت زمينــه بــهط ور کامــل حــذف ش ود. در ايــن روش نقــاط انتگرالگيري بدون نياز به نظم خاصي در دامنـه پخـش مـيشـو ند؛سپس مقدار وزنهاي نقاط انتگرالگيري با استفاده از روش پيشنهاد شده محاسبه ميشود. به منظور محاسبة دقيـق نتـايج، بايـد تعـداد وچينش مناسبي براي نقاط انتگرالگيري استفاده شود. از نظر کـاربردعملي ميتوان روش حاضر را شـبيه روش انتگـرالگيـري نقطـهاي دانست با اين تفاوت که در اين روش نيازي به افراز دامنه با کمـکدياگرام وروني نيست. تعداد نقاط انتگرالگيري در اين روش کمتـراز ساير روشها بوده و حتي ميتواند در حـد تعـداد نقـاط گـرهاي باشد. دقت جواب نمونههاي مختلفي از توزيع نقاط انتگـرال گيـريدر چند مثال مقايسه شدهاند. لازم بهذکر است کـه تـاکنون از روشميانيابي کريگينگ تنها بهمنظور ساختن توابع شـکل در روشهـايبدون شبکه استفاده شده است.
بهخاطر عدم ارضاي شرط دلتاي کرونيکـر در برخـي توابـعميانياب در روشهاي بدون شبکه، وارد کـردن شـرايط مـرزيضروري به سادگي روش اجزا محدود صورت نميگيرد. در اين روش از توابع ميانياب کريگينگ بـراي بيـان توابـع شـکل نيـزاستفاده ميشود. با استفاده از توابع ميانياب کريگينگ که شـرطدلتاي کرونيکر١٥ را ارضـا مـيکننـد وارد کـردن شـرايط مـرزيضروري به سادگي امکانپذير است.
جوابهاي عددي کاربردي بودن اين تکنيک انتگـرال گيـريرا در فرمــولبنــدي فــرم ضــعيف کلــي در مســائل دو بعــديالاستواستاتيک نشان ميدهند.
ترتيب بخشها به اين شـکل اسـت: در بخـش دوم تئـوريميانيابيکريگينگ مطالعه شده و کريگينگ ساده و عـام توضـيحداده ميشود. در بخش سوم تکنيک ارائـه شـده بـراي بـهدسـتآوردن وزنهاي نقاط انتگرالگيري شرح داده شده و بـا مقـاديرگاوس مقايسه شده است. در بخش چهـارم معـادلات حـاکم وروش گسستهسازي مسائل الاستواستاتيکي دو بعدي ارائـه شـدهاست. در بخش پنجم مثالهـاي عـددي ارائـه شـده و در آخـرنتيجهگيري در فصل ششم ذکر شده است.
٢- ميانيابي کريگينگ
ميانيابي کريگينگ اولين بار در سال ١٩6٢ توسط متـرون ارائـهگرديد [٢6]. طي سالهاي بعد اين روش در مسـائل زمـينآمـارتوسعه زيادي يافت. انـواع مختلفـي از روش کريگينـگ وجـوددارد که ميتوان به روشهاي کريگينگ سـاده16 و عـام ١٧ اشـارهنمود. در ميانيابي کريگينگ ساده متغير ميدان 0u(x ) بهصورت زير تخمين زده ميشود [٢٧]:
n u(x )0  u (x )h0  iui  TUˆ
i(١)
   [ 1,2, , n ]T, Uˆ  [u , u12 ,, u ]n T
در اين رابطهui ها مقادير گـرهاي در (xi (i 1,2,,n وi هـامقادير توابـع شـکل در نقـاط گـرهاي اسـت کـه از رابطـه زيـرحاصل ميشوند:
C11 C12  C1n 1 C01
C21 C22 C2n2  C02(٢)
     

Cn1 Cn2  Cnnn CV00n
A
hij
32731570945

(

)2 hij  xi xj وCij  Cov(h )ij  ceaکــــــه در آن
فاصله بين نقـاطi وj اسـت . ضـرايب a وc را مـي تـوان بـااستفاده از روشهاي منتشر شده آمـاري انتخـاب کـرد [٢٧]. در اين مقاله ضرايب به شکل زير انتخاب شدهاند:
a rinf13
c 1(٣)
که در آن rinf شعاع ناحيه اثر١٨ است. با اسـتفاده از رابطـه (٢)ضرايب i حاصل ميشوند.
اگر چه ميانيابي کريگينگ ساده در زمينآمار کاربرد وسيعي دارد، با اين وجود معمولًا براي تعيين توابع شکل در روشهـايعددي مناسب نيست. بنابراين براي مشخص کردن توابع شـکلاز روش ديگري به نام کريگينگ عام استفاده مـي شـود [٢٧]. در ميانيابي کريگينگ عامi ها در رابطه (٢) و در حالت دو بعدي بهصورت زير تخمين زده ميشود:
 C11 C12

 C21 C22

 

 Cn1 Cn2
 1

 x1 x2  y1 y2

x y x y1 12

  y1k y2k
 






 C1n
C2n

Cnn
1 xn yn
x yn n

ynk 1 x1
1 x2

1 xn
0 0
0 0

0 0 y x y11 1  y1k 1   C0201  y kC

y0n2 n12  C10n 
k

   x0 
0    y0    
  x y0 0

0 p   y0k 
 
y2
yn x y2 2  
x yn n


  (٤)
که در آنi ها ضرايب لاگرانژ هستند.
با توجه به اينکه کريگينگ عام نسبتاً پيچيده اسـت، اسـتفادهاز آن بـر اي محاس به وزنه اي انتگ رالگي ري مناس ب نيس ت.
بنابراين در اين مقاله براي اولين بار از ميانيابي کريگينگ سـادهبراي محاسبه وزنهاي انتگـرال گيـري اسـتفاده شـده اسـت. در بخش ٣ به بررسي روش انتگرالگيري پرداخته خواهد شد.
٣- تخمــين مقــادير وزن نقــاط انتگــرال گيــري و انتگرالگيري روي ناحيه اثر
در اين مقاله براي تخمين انتگرال ميدان از روش کريگينگ ساده استفاده شده است. بنابراين با کمـک رابطـه (٢) انتگـرال ميـدانبهصورت زير تخمين زده ميشود:
 u(x)d   u (x)dh  Uˆ d

 A VU1ˆ d  A V U1  d ˆ

که در آنV Cov(x ,x)1 Cov(x ,x)n T که از تعريف رابطه (٢) استخراج ميشود. با توجه به رابطه زير:
 u(x)d   w uii  W UT ˆ

و به کمک رابطه (٥) ميتوان نوشت:
W A V1  d
 (٧)
يا بهصورت گسترده:
w1

w2 
 

wn
Cov(x ,x )1 1Cov(x ,x )1

Cov(x ,x )2 1Cov(x ,x )2


Cov(x ,x )n 1Cov(x ,x )n 2
 Cov(x ,x)d1



 Cov(x ,x)d2



 Cov(x ,x)dn
 

 Cov(x ,x )1 n 1

Cov(x ,x )2 n  

Cov(x ,x )n n 
(٨)

که در آن wi ها وزن نقاط انتگرالگيري هستند.
عبارت انتگرالي که در طرف راست رابطـ ه (٨) وجـود داردبهصورت Cov(x ,x)di بوده و بايد روي ناحيـه اثـر

شکل ١- دامنه محاسبه کوواريانس و زيردامنههاي آندر تقاطع با مرزها
محاسبه شود. پاسخ اين انتگرال بـراي نقـاطي کـه داراي فاصـلهزيادي از مرز هستند بهطور دقيق معلوم است اما اگر ناحيـه اثـرنقطه انتگرالگيري توسط دامنه مسأله قطع شـود، محاسـبه ايـنانتگرال ساده نخواهد بود. در شکل (١) دو نقطه انتگـرال گيـريفرضي و ناحيه اثر آن  که توسط مرز قطع شده ديده ميشود. در اين مقاله بـراي محاسـبه انتگـرالCov(x ,x)di روي دامنه اثر  در حالت دوبعدي، شعاع ناحيه اثر دايـره اي شـکلبه چند قسمت تقسيم ميشود. در هر قسمت يک حلقه از شعاع ri تا 1ri توليد ميگردد که در شکل (١) نشان داده شده است.
انتگرال به سادگي از مجموع انتگرالهاي روي حلقهها بهدسـتميآيد که در رابطه زير ديده ميشود:
r
( )2
Cov(x ,x)dic e0ardrd

r 2(٩)
ri1 ( ) 2 c e0 a rdr
ri
i
2728805232521

اگ ر ه ر ک دام از حلق هه ا م رز مس أله را قط ع کن د، نس بت 22  در انتگــــرال روي همــــان حلقــــه يعنــــي
r ri1( )2
c e0ardr2 ضرب شده تا انتگرال رابطه (٩) تصحيح
ri
شود. مقدار  از روي هندسـه مسـأله و بخـش قطـع شـده آن

شکل ٢- المان مربعي با ١6 نقطه انتگرالگيري
حلقه در شعاع متوسـطrm کـه در شـکل (١) ديـده مـيشـودمحاسبه خواهد شد.
استفاده از روش انتگـرال گيـري فـوق در روشهـا ي عـدديتقريبًاً مشـابه روش گـوس اسـت. در ايـن روش ابتـدا وزنهـايانتگرالگيري براي کل دامنه محاسبه ميگردد. سـپس از وزن هـايبهدست آمده در کل تحليل استفاده ميشود. بنابراين در اين روش دامنه حل افراز نخواهد شـد و انتگـرال روي کـل دامنـه در يـکمرحله محاسبه ميشود. بهعبـارت ديگـر در روش انتگـرالگيـريارائه شده کل دامنه بهصورت يک المان درنظر گرفته خواهد شد.

براي بررسي کيفيت وزنهاي بهدسـت آمـده از روش ارائـهشده، ابتدا اين وزنها با وزنهـاي روش انتگـرالگيـري گـوسمقايسه ميشوند. در اين مثال ١6 نقطه انتگرالي واقـع در مکـاننقاط گوسي در يک المان مربع مطابق شکل (٢) قرار داده شـدهاست. جدول ١ وزن نقاط انتگرالي بهدست آمـده از روش ارائـهشده را با روش گوس براي يک المان با ١6 نقطه انتگرالگيـريمقايسه ميکند. مشاهده ميشود که وزنهـاي بـهدسـت آمـده ازروش ارائه شده نتايجي مشابه روش گوس ارائه ميدهد.

براساس آنچه بيان شد روش حاضر وابسته به دامنه نيست و براي هر نوع دامنهاي قابـل اسـتفاده اسـت. در شـکل (٣) يـک ناحيه دايرهاي بههمراه سه چيدمان مختلف از نقاط انتگرالگيري نشان داده شده است.

مختصات اين نقاط در تعداد ۸ نقطه انتگرالگيري بهصورت زير درنظر گرفته شد:
: x2  y2 1
P1,2  0 , 0.8,P3,4 0.8 , 0
0.3P5,6,7,8 0.3, ب ا کم ک روش ارائ ه ش ده وزنه اي زي ر در تع داد ۸ نقط ه انتگرالگيري بهدست خواهد آمد:
w1,2,3,4  0.5448
w5,6,7,8  0.2406
مختصات اين نقاط در تعداد ۱۲ نقطه انتگرالگيري بـه صـورتزير درنظر گرفته شد:
: x2  y2P1,2  0 , 0.9 , P3,4 0.9 , 0
P5,6,7,8 0.3, 0.3
0.6P9,10,11,12 0.6 , با کمـک روش ارائـه شـده وزنهـاي زيـر در تعـداد ۱۲ نقطـهانتگرالگيري بهدست خواهد آمد:
w1,2,3,4  0.20162
w5,6,7,8  0.35333
0.23044w9,10,11,12  مختصات اين نقاط در تعداد ۲۰ نقطه انتگرالگيري بـه صـورت
جدول ١- مقايسه وزن نقاط انتگرالگيري قرار گرفته بر ١6 نقطه گوسي (روش ارائه شده و روش گوس)
x 0 861136/ y 0 861136/ x 0 861136/ x 0 339981/ y 0 339981/ وy 0 861136/ x 0 339981/ y 0 339981/ موقعيت نقطه
وزن نقطه با احتساب٢= a
0 1210/ 0 2268/ 0 4253/ در رابطه ٣
0 1210/ 0 2269/ 0 4253/ وزن دقيق (وزن گاوس)
169164-1768992

4181856-1768992

٨ نقطه انتگرالگيري١٢ نقطه انتگرالگيري٢٠ نقطه انتگرالگيري
شکل ۳- دامنه دايرهاي و نقاط انتگرالگيري آن با سه چيدمان مختلف
زير درنظر گرفته شد:
: x2  y2P1,2  0 , 0.92 , P3,4 0.92 , 0
P5,6  0 ,0.62,P7,8 0.62 , 0
(١٤)
P9,10,11,12 0.35 , 0.35
0.25P13,14,15,16 0.25 , 0.6P17,18,19,20 0.6 , با کمـک روش ارائـه شـده وزنهـاي زيـر در تعـداد ۲۰ نقطـهانتگرالگيري بهدست خواهد آمد:
w1,2,3,4  0.14945 w5,6,7,8  0.15935 w9,10,11,12  0.09464(١٥)
0.14184w13,14,15,16  0.24011w17,18,19,20  با استفاده از وزنهاي بهدست آمـده، انتگـرال توابـع مشخصـي طبـق رابطه (۱۶) محاسبه شد و سپس خطاي انتگرالگيري بـر روي ناحيـهدايرهاي فوق براي سه حالت مشخص شده بهدست آمد:
nint
 f(x,y) dxdy w f(x ,y )iii(۱۶)
x2 y2 1i1
شکل ۴- شبکهبندي دامنه دايرهاي بهصورت مثلثي و نقاط انتگرالگيري درون مثلثها

جدول ٣- ضريب تمرکز تنش صفحه سوراخدار در تحليل حاضر نسبت به تعداد نقاط گرهاي
تعداد نقاط گرهاي تمرکز تنش در تحليل حاضر مقدار دقيق تمرکز تنش
١٧6 ٢/٧٣ ٢٤٧ ٢/٨٧ ٣/٠٠
٤٠٨ ٢/٩6٥

شکل ٥- دامنه دايرهاي و نقاط انتگرالگيري آن در حالت ٨نقطهاي مشابه شکل ٣ با تغيير موقعيت نقاط بيروني
در جدول ۲ توابع مورد نظر و مقدار انتگـرال محاسـبه شـده بـاروش حاضر در سه حالـت و روش دقيـق بـا يکـديگر مقايسـهشدهاند. همانطور که مشاهده ميشود، نتايج بسيار اميدوار کننده هستند. بنابراين روش حاضر بهعنوان يک روش انتگـرال گيـريقابل قبول براي روشهاي عددي قابل استفاده خواهد بود.
براي اينکه قابليت روش بهتر مشخص شود نتايج مربوط بـهانتگرالگيري مثلثي نيز ذکر ميشود. در شکل (٤) دامنه دايـره اي شکل با شعاع يک با المانهاي مثلثي افراز شده و انتگرال ميدان با استفاده از مسـاحت مثلـثهـا و مقـدار تـابع در نقـاط ميانـهمثلثها بهدست آمده است. نتيجه اين انتگرالگيري در جدول ٢ذکر شده است.
همانطور که ديده ميشود دقت روش ارائه شده بسيار بيشـتراز روش انتگرالگيري با شبکه مثلثي اسـت . همچنـين بـا افـزايشتعداد نقاط انتگرالگيري دقت محاسبه انتگرال بالا ميرود.
بهمنظور بررسي بيشتر، تعداد ۸ نقطه انتگرالگيري مطابق شـکل
(٥) با چيدمان کمي متفاوت نسبت به شکل (۳) درنظر گرفتـه شـد.

شکل ٧- دامنه و مرز در يک جسم الاستيک خطي دوبعدي
خطاي محاسبه براي مساحت /0 035% و بر اساس توابع نشان داده شــده در جــدول ۲، بــراي تــابع اول /1 069%، بــراي تــا بع دوم /0 273% و براي تابع سوم /1 43% بهدسـت آمـد. ايـن مطلـب ازقبل نيز قابل پيشبيني بود چـرا کـه نقـاط انتگـرالگيـري از توزيـعمناسبي برخوردار نبودهاند.
در شکل (۶) اثر پارامترa در معادله (۹) و همچنـين شـعاعناحيه اثر بر دقت انتگرالگيري نشـان داده شـده اسـت. در ايـنمثال، يک دامنه مربع شکل با ضلع ۲۰ واحد در نظر گرفته شـدهکه در آن نقاط انتگرالي بهصورت ماتريسي و با فاصله ۱ واحـداز يکديگر و فاصله ۱ واحد از مرزها چيـده شـده اسـت. دقـتروش در تخمين مساحت بهعنوان معيـار ان تخـاب شـده اسـت .

شکل 6- تأثير شعاع ناحيه اثر و پارامتر a بر خطاي انتگرالگيري
براساس اين شکل ميتوان دريافت که انتخاب مقـدار پـارامتر aحدود ۳ برابر فاصله بين نقاط، مقدار مطلوبي است. البته مقـداربيش از ۳ نيز جواب مناسبي در پي خواهد داشت ولـي افـزايشاين مقدار باعث ايجاد خطاي معکوس کردن ماتريس در معادلـه۸ خواهد شد. علاوه بر اين شعاع ناحيه اثر ۵/۲ يا ۳ برابر مقدار a براي دستيابي به خطاي کمتر از ۲ درصد کافي است.
بنابراين روش حاضر بهعنوان يک روش انتگرالگيري قابـلقبول براي روشهاي عددي قابل استفاده خواهد بود. در بخـشبعد، از ايـن روش در حـل مسـائل مکانيـک جامـدات اسـتفادهخواهد شد.
٤- فرمولاسيون فرم ضعيف در روش گالرکين
يک جسم الاستيک خطي در حالت دو بعدي مطـابق شـکل (٧)درنظر گرفته ميشود. دامنه مسأله  و مرز آن  است کـه ازاجتماع دو مرز با شرط مرزي ضروري و شـرط مـرزي طبيعـيحاصل ميشود.
معادله تعادل بهصورت زير نوشته ميشود:
  ij,jbi0,  ijji(١٧)
که در آن ij تانسور تنش وابسته به ميدان جابهجاييui و biنيروهاي حجمي است. شرايط مرزي بهصورت زير هستند:
2686479190

ui  uion s
 ij intjon n(١٨)
1883055-14500

در اين روابط ui و ti بهترتيب جابهجايي و تنشهاي سـطحيو s و n مرز ضروري و مرز طبيعي و ni بـردار عمـود بـرسطح است. با استفاده از اصل کار مجازي، معادله فـرم ضـعيفزير براي رابطه مومنتوم خطي بهدست ميآيد:
 δεT σdΩ- δu bTdΩ- δuT tdΓ=0
ΩΩΓt
فرم گسسته اين رابطه بهصورت زير نوشته ميشود:
Ku=F
که در آن K ماتريس سختي،u بردار جابهجايي نقاط گرهاي و F بردار نيرو است. مقادير به شکل زير محاسبه ميشوند:
KIJ B DBTIJd(٢١)

FI   N tTIId N bTIId(٢٢)
t
در اين روابط تانسور D در حالت تنش صفحهاي برابر است با:

1 0 

D

E 2  10 (٢٣)
1 1
00
2 
ک ه در آن E م دول الاستيس يته و  نس بت پواس ون اس ت.
ماتريس BIو NI از روابط زير حاصل ميشوند:
I0 
390294-29498

 x BI  0 yI (٢٤)
II 
 y x  
NI  I  0 0 
I  (٢٥)
مقادير I را ميتوان با هر روش ميانيابي حاصل کرد. در ايـنتحليل بـه خـاطر ارضـاي شـرط دلتـاي کرونيکـر از ميـانيـابيکريگينگ عام استفاده ميشود. در اين ميانيابي تـابع شـکلI معادل I در رابطه (٤) است.
براي محاسـبه انتگـرال روابـط (٢١) و (٢٢) در روشهـاياجزا محدود و برخي روشهاي بدون المان وجود شبکه الزامـياست. در اين مقاله براي محاسبه انتگرال ميـدان بـر روي دامنـه،براي اولين بار از روش انتگـرال گيـري ارائـه شـده در بخـش ٣استفاده ميشود.
٥- مثالهاي عددي
در اين قسمت بـراي ارزيـابي قابليـت روش ارائـه شـده، سـهمسأله بررسي ميشود: تير يکسـر درگيـر تحـت بـار انتهـايي،صفحه تخت تحت بار گسترده خطي و صـفحه سـوراخدار. در مثال اول حالتهاي مختلفي براي چينش نقـاط انتگـرالگيـري درنظر گرفته شده و مقايسه بين دقت پاسـخ هـا در مـورد آنهـاانجام شده است. در مثال دوم يعني صـفحه تخـت تحـت بـار
گسترده خطي، ابتـدا نقـاط انتگـرالگيـري را منطبـق بـر نقـاطگرهاي درنظر گرفته و سپس تعداد آنها را افزايش داده و دقـتجواب بررسي شده است. در مثال سوم ميزان دقت پاسخها بـااســتفاده از ايــن روش انتگــرالگيــري در صــفحه ســوراخدار نسبت به حل دقيق ديده مـي شـود و نشـان مـيدهـد کـه ايـنروش با تعداد نقاط انتگرالگيري کم نيز مـي توانـد پاسـخهـايمناسبي را ارائه کند. در اين مسأله همگرايـي پاسـخ نسـبت بـهافزايش نقاط گرهاي نيز بررسي شده است.
در هر سه مثال براي محاسبة مـاتريس سـختي از ميـانيـابيکريگينگ با توابع پايه مرتبه يک استفاده شده است. شعاع ناحيه اثر هر نقطه انتگرالگيري ٢٥/٣ برابر کمترين فاصله نقاط گرهاي در نزديکي نقطه انتگرالگيري است.
٥-١- خمش تير يکسر درگير
در اولين مثال، خمش يک تير يکسر درگيـر کـه مطـابق شـکل(٨) در معــرض بــار در انتهــاي تيــر قــرار گرفتــه بررســي مـيشـود. مقـادير بـارگـذاري و خصـوصيـات تيـر بهصـورت
تعريـــفP109N وE  200Gpa,  0.3,L  30m,D  4m
ميشود.
رابطه جابهجايي عمودي دقيق uy برحسب متر بـه شـکل زيـراست [٢٨]:
P2D (L x)2 2
uy 

(3y x  (4 5 )

(2L x )(L x ) )
6EI4
D3PD22
I 

,  (

 y )(٢6)
122I4
شکل ٨- تير يک سر درگير در معرض بار در انتهاي تير

15849601080516

شکل ٩ – موقعيت نقاط گرهاي و انتگرالگيري، نقاط انتگرالگيري دروني منطبق بر نقاط گرهاي و نقاط بيروني روي مرز و بينابين نقاط گرهاي

شکل ١٠ – شکل نهايي تير يکسر درگيرتحت بار انتهايي تير، نقاط انتگرالگيري بيروني روي مرز
در اين مثال چند نوع چيـنش نقـاط انتگـرالگيـري بـا يکـديگرمقايسه ميشوند. نقاط انتگرالگيري در ابتدا به دو دسته تقسـيمميشوند: آنهايي که نزديک به مرز قرار دارنـد ،نقـاط بيرونـي وآنهايي که درون دامنه واقع شـده انـد نقـاط درونـي نـامگـذاريميشوند. چينش نقاط انتگرالي در اولين مثـال بـه ايـن صـورتانجام ميشود که نقاط دروني منطبـق بـر نقـاط گـرهاي و نقـاطبيروني روي مرز و در بينابين نقاط گرهاي مطابق شکل (٩) واقع شوند. نقاط گـره اي بـه صـورت مـنظم و بـا فاصـله ١ متـري ازيکديگر قرار دارند.
در شکل (١٠) شکل نهـا يي تيـر يـکسـر درگيـر و پـس ازاعمال بار ديده ميشود. در اين مثال حـداکثر خطـاي نسـبي درميزان جابهجايي، در انتهاي تير به ميزان ٥ درصد مشـاهده شـدهاست. ميزان خطا از رابطه زير محاسبه ميشود:(٢٧) 100error  uexact uexactunumerical 
در شکل (١١) روند کاهش خطا با افزايش تعداد نقاط نشـان داده شده است. با تغيير چينش نقاط انتگـرال گيـري و انتقـال نقـاطبيروني به داخل مرز به اندازه ٠٥/٠ متر نتـايج بهتـري حاصـلميشود. شکل (١٢) نقاط گـره اي و نقـاط انتگرالـي را در ايـنتوزيع نشان ميدهد. شکل نهايي تير پـس از جابجـايي مطـابق

شکل ١١ – روند کاهش خطا در مسأله تير يک سر گيردار با افزايش تعداد نقاط

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

شکل ١٢ – موقعيت نقاط گرهاي و انتگرالگيري در تير يکسر درگير تحت بار انتهايي (فاصله نقاط انتگرالگيري بيروني از مرز ٠٥/٠ متر)

شکل ١٣ – شکل نهايي تير يک سر در گيرتحت بار انتهايي تير (فاصله نقاط انتگرالگيري بيروني از مرز ٠٥/٠ متر)
شکل (١٣) است. در اين حالت خطـاي محاسـبات بـه حـدوددو درص د مــيرس د. حــال در چي نش ديگــري ب راي نقــاطانتگرالگيري، فاصله نقاط بيروني از مـرز بـه ٢٥/٠ مترافـزايشداده ميشود. شکل (١٤) چينش نقاط گرهاي و انتگرالگيـري و
شکل (١٥) شکل نهايي تير پس از اعمال بار را نمايش ميدهـد .
مشاهده شد که در اين حالت جوابهاي بهتري بهدست آمـده وخطا به حدود ٥٤/٠ درصد رسيد. اين مقايسه نشان ميدهد کـهنق اط داخ ل م رز ب راي محاس به انتگ رال از نق اط روي م رز مناسبتر هستند.
در حالت بعد نقاط گرهاي بهصورت تصـادفي جابـهجـا شـده ونقاط انتگـرال گيـري در ونـي منطبـق بـر نقـاط گـرهاي و نقـاطانتگرالگيري بيروني بينابين نقاط گرهاي و با فاصله ٢٥/٠ متر از مـرز درنظ ر گرفتـه م ي شـوند . در اي ن حالـت ح داکثر مي زانجابهجايي نقاط گرهاي بهصورت تصادفي بـه ميـزان ٢٠ درصـدفاصله اوليه يعني مقدار ٢/٠ متر درنظر گرفته شده است. شـکل (١6) موقعيت نقاط گـره اي و انتگـرال گيـري در ايـن حالـت وشکل (١٧) نيز شـکل نهـايي تيـر را پـس از اعمـال بـار نشـان

شکل ١٤ – موقعيت نقاط گرهاي و انتگرالگيري در تير يکسر درگير تحت بار انتهايي (فاصله نقاط انتگرالگيري بيروني از مرز ٢٥/٠ متر)

شکل ١٥ – شکل نهايي تير يکسر در گيرتحت بار انتهايي تير (فاصله نقاط انتگرالگيري بيروني از مرز ٢٥/٠ متر)
ميدهد. خطاي اين محاسبه ١ درصد است.
٥-٢- صفحه تخت تحت بار گسترده خطي
شــکل (١٨) يــک صــفحه مســتطيل شــکل بــا خصوصــيات
L  20m, D 10m , 0.3, E  200Gpa و ضـــخامت واحد، تحت بار خطي را نشان ميدهد.
در اولين تحليل نقاط انتگرالگيري منطبق بـر نقـاط گـرهاي درنظر گرفته ميشوند. جابهجايي نقاط پس از اعمال بار گسترده خطي در انتها مطابق شـکل (١٩) خواهـد بـود. همـان طـور کـهمشاهده ميشود، پاسخها دچار نوساناتي هستند. در ايـن پديـدهبهخاطر خطا در محاسبه انتگرال برخـي مودهـاي حرکتـي يـکالمان ناديده گرفته شده و باعث ناپايداري پاسخها ميشود. يکي از راههاي جلوگيري از ايـن پديـده در اجـزا محـدود، افـزايشتعداد نقاط انتگرالگيري است.
شکل ١6 – موقعيت نقاط گرهاي و انتگرالگيري در تير يکسر درگير تحت بار انتهايي(جابهجايي نقاط گرهاي بهصورت تصادفي با حداکثر ٢/٠ متر، فاصله نقاط انتگرالگيري بيروني از مرز ٢٥/٠ متر)

18089881080515

شکل ١٧ – شکل نهايي تير يکسر درگيرتحت بار انتهايي تير. نقاط گرهاي بهصورت تصادفي با حداکثر جابهجايي٢/۰ متر جابهجا شده و فاصله نقاط انتگرالگيري بيروني از مرز ٢٥/٠ متر

شکل ١٨ – صفحه تخت تحت بار گسترده خطي و شرايط مرزي

شکل ١٩ – شکل اوليه و شکل نهايي با جابهجايي با ضريب ١٠٠٠ در صفحه تخت تحت بار گسترده خطي و نمايش نوسانات جابهجايي، نقاط انتگرالگيري منطبق بر نقاط گرهاي

شکل ٢٠ – نمونه توزيع نقاط گرهاي و نقاط انتگرالگيري با افزايش نقاط انتگرالگيري
در اين مثال از تکنيک افزايش نقاط انتگـرال گيـري اسـتفادهشده و تعداد اين نقاط افزايش يافته و بين نقاط گرهاي قرار داده شدهاند. نحوه چينش نقاط گرهاي و انتگرالگيري مطـابق شـکل(٢٠) انتخاب شده است که در آن نقاط انتگرالگيري بهصـورتمنظم در دامنه توزيع ميشوند. نتايج در شـکل (٢١) نشـان دادهشدهاست. همانطور که ديده ميشود، در شـکل (٢١) نوسـاناتجابهجايي کاملاً از بين رفته است.
در شکل (٢٢- الف) کانتور مؤلفه تنشxx حاصل از ميـدانجابهجايي با استفاده از روش ارائه شـده در مقالـه محاسـبه شـدهاست. در شکل (٢٢- ب) کانتور تنش حاصله بـا مقـادير مشـابهخود از نتايج تحليل اجزا محدود مقايسه ميشود. در اين مقايسه مدل اجزا محدود با دقت بالا و تعداد ٥٠٠٠ المان تحليل شده و نتايج حاصله براي خط مشخص شده در شـک ل (٢٢- الـف ) بـانتايج تحليل حاضر مقايسه شدهاند. همانطور که مشخص است
ميزان خطاي نسبي در تنشهاي حاصل از ميدان جابـه جـايي دراين روش کمتر از ٤ درصد است.
٥-٣- صفحه سوراخدار
آخرين مثالي کـه در ايـن قسـمت بررسـي مـيشـود، صـفحهبينهايت با يک سوراخ در وسط است که تحـت بـار گسـتردهيکنواخــت قــرار مــي گيــرد. مطــابق شــکل (۲۳) صــفحهاي درنظرگرفته ميشـود کـه سـوراخي بـه شـعاعa  1m در آن قــرار دارد و در جهــت محــورx تحــت تــنش يکنواخــت xx 107Mpa قرار گرفتـه اسـت. بـه خـاطر شـرايط تقـارنفقط يک چهارم اين صـفحه مـورد بررسـي قـرار مـيگيـرد وشرايط مـرزي تقـارن بـه آن اعمـال مـيشـود . بـراي مقايسـهنتايج حاصل از تحليل حاضر با حل دقيق صـفحه سـوراخدار،حداقل طول و عرض صفحه نبايد از مقدار a9 کمتـر باشـد وبه همين دليل 9.5L  انتخاب شده است. در اين حالت نقـاطانتگرالي منطبق بر نقاط گرهاي در شکل (۲۴) انتخاب شدهاند.
براي تعيين صحت و مقايسه نتايج حاصل از روش ارائـه شـده،منحني مقدار مؤلفه تنش xx در امتداد خـط عمـودي 0x  بـامقادير دقيق آن که از رابطه زير بهدسـ ت مـي آينـد، در شـکل (٢٥) رسم شده و در شکل (٢6) خطاي نسبي آن ارائه شده است [٢٨]:
2036173125655


76697468001


پاسخ دهید