ρpg +y (۱)
كه در آنρ ، p وg به ترتيـب فـشار، چگـالي آب و شـتابجاذبهاند. درصورتي كهv بهعنوان بردار سرعت دارسـي سـيالدر محيط متخلخل در نظر گرفته شود، ميتـوان آن را برحـسبهد پيزومتريك به صورت زير بيان كرد. (۲) ∇v=−k h
در اين معادله k ضريب هدايت هيدروليكي اسـت. درصـورتيكه معادله (۲) در معادله پيوستگي يا قانون بقاي جرم جاگـذاريشود، معادله حاكم زير كه تحت عنوان معادله لاپـلاس شـناختهمي شود به دست خواهد آمد.
∇2h 0= (۳)
شرايط مرزي مورد نياز براي حل معادله ديفرانسيل فوق در ادامـهتشريح ميشود. با توجه به شكل(۱)، توزيـع فـشار روي سـطوحداخلي كانالAB بهصورت فشار هيدرواسـتاتيك اسـت ، شـرايطمرزي روي اين سطوح بهصورت زير بيان مي شوند.
h h= con AB (۴)
كه در اين رابطهhc حداكثر عمق سيال در كانال است. بـر رويمـرز زهكـش CD كـه از طريـق آن سـيال وارد فيلتـر زهكـش ميشود، شرايط مرزي اتمسفري اعمال ميشود. به عبارت ديگرفشار روي اين سطح بايد صفر باشد و شرط مرزي بـهصـورتزير بيان مي شود.
h = yon CD (۵)
بر روي سطح آزاد آبBC دو شرط مرزي بهطور همزمان بايداعمال شوند كه عبارت اند از شرط مـرزي فـشار صـفر و شـرطمرزي نفوذ ناپذيري. اين شرايط مرزي نيز بهصـورت زيـر بيـان ميشوند. (۶-الف) n0onBC

(۶-ب) h y=on BC
در معادله فوقn بردار يكـه عمـود بـر سـطح آزاد آب اسـت . گرچـه معادلـه حـاكم بيـان شـده در معادلـه (٣) يـك معادلـه ديفرانسيل خطي است، اما مجهول بـودن شـكل هندسـي دامنـهمسئله و غير خطـي بـودن شـرط مـرزي بيـان شـده در معادلـه (٦-ب)، موجب پيچيده شدن حل اين گونه مسائل ميشود.
لازم به ذكر است درصورتي كـه در قـسمتي از مـسئله شـرطمرزي تقارني وجود داشته باشد، اين شرط بهصورت شرط مرزينفوذ ناپذيري اعمال ميشود. پس از حل معادله حـاكم و شـرايطمرزي بيان شده در معادلههاي (۳ تا ۶) و بـهدسـت آمـدن شـكل سطح آزاد آب و ميدان هد پيزومتريك در دامنه مـسئله، مـيتـواننرخ جريان نشتيq از هر سطح مورد نظر را با استفاده از سرعتدارسي بيان شده در معادله(۲) به صورت زير بهدست آورد.
q =−k∫∇ Γhd (۷)

۳- روش اجزاي محدود شبكه ثابت هموار شده
در روش اجزاي محدود استاندارد، دامنه مسئله بـه تعـداديجزء تقسيمبندي ميشود كه اصطلاحﹰا شـبكه محاسـباتي ناميـدهميشود. شبكهبندي بايد به نحوي انجام شـود كـه وجـوه اجـزا

شكل ۲- نمونه اي از يك شبكه متقاطع با مرز كه در آن مرز دامنه از درون اجزا عبور كرده است

بر مرز دامنه منطبق باشد. ساخت شبكههـاي منطبـق بـر مـرزبه ويژه هنگامي كه مسئله در دست حل، يك مسئله داراي دامنه متغير باشد، فرايندي پرهزينه است. زيرا در هر مرحلـه تكـراركه هندسه مسئله تغيير ميكند، شبكه نيز بايد اصلاح شـده تـاتغييرات هندسي را دنبال كند. يكي از راههاي پرهيز از اصلاحشبكه، استفاده از شـبكههـاي غيـر منطبـق بـر مـرز اسـت. در شبكههاي غير منطبق بر مرز، مرز دامنـه مـيتوانـد مـستقل ازشبكه تغيير كرده و نياز به اصلاح شبكه برطرف مـي شـود. در شكل (٢) نمونهاي از يك شبكه غير منطبق بر مرز نـشان دادهشده است . همانطور كه در اين شكل ديده ميشود قـسمتي ازمرز دامنه از درون اجزا عبور كرده و در نتيجه اجزا با توجه بهموقعيتشان نسبت به مرز به سه دسته اجزاي داخلي، خارجي و متقاطع با مرز تفكيك شدهانـد . در تحقيـق حاضـر، مجموعـهاجزاي داخلي و متقاطع با مرز اصطلاحاﹰ اجزا فعال و گره هاي قرارگرفته روي اين اجزا گرههاي فعال ناميده شـده اسـت. در اين صورت، ميدان متغير وابسته توسط اجزاي فعال و برحسب مقادير گرهاي در گرههـاي فعـال بـهصـورت زيـر تقريـبزده مي شود.
h (x)h = N HT (۸)
در معادله فوقN بـرداري شـامل توابـع شـكل وH بـرداريشامل مقادير گرهي مربوط به گرههاي فعال است. به اين ترتيبپس از ساخته شدن توابع تقريب و تشكيل بردارN ميتوان بـابهكار بردن روش بـاقيمانـدههـاي وزندار بـراي ايجـاد شـكل ضعيف معادلات حاكم و سپس استفاده از روش گالركين بـرايانتخاب توابع وزن، معادلات ديفرانسيل حاكم و شـرايط مـرزيطبيعي را به صورت زير گسسته كرد [٢٢].
KH R= (۹)
در معادله فوقR بردار بارگذاري و K ماتريس ضرايب اسـتكه به صورت زير برحسب مشتقات توابع شكل تعريف مي شود.
K

B Bd (۱۰)
در معادله فوق ماتريسB عبارت است از گراديان توابـع شـكلكه به صورت زير بيان ميشود.
B = ⎡⎢∂ ∂∂ ∂/ x/ y⎤⎥⎦ N (۱۱)
⎣محاسبه ماتريس ضرايب در معادله (١٠) نيازمند انتگـرالگيـريروي دامنه مـسئله اسـت . در روش اجـزاي محـدود اسـتاندارد،بهدليل تطابق شبكه بر مرز، اين انتگرال به يـك سـري انتگـرالروي اجزايها شكسته شده و با استفاده از نگاشـت مختـصات وروش انتگرالگيري گوس محاسبه مـي شـود. در مق الـه حاضـر،بـهدليـل عـدم تطـابق شـبكه بـر مـرز، انتگـرال بيـان شـده در معادله (١٠) به انتگرال روي اجـزاي داخلـي و قـسمت داخلـياجـزاي متقـاطع بـا مـرز شكـسته مـي شـود . بـه عبـارت ديگـر معادله (١٠) به صورت زير بيان ميشود.
K =∑ ∫ B BdT Ω+ ∑ ∫ B BdT Ω (۱۲)
i IE∈ Ωii BIE∈ωi
در معادله فوقIE وBIE به ترتيب بيـانگر مجموعـه اجـزاي داخلي و مجموعه اجزاي متقـاطع بـا مـرز هـستند . Ωi بيـانگرناحيه جزء داخليi ام وωi نيز بيـانگر قـسمت داخلـي جـزء متقاطع با مرز i ام است.
جمله اول از سمت راست معادله (١٢) شـامل انتگـرالگيـريروي دامنه اجزاي داخلي است و به سادگي با استفاده از نگاشـتمختصات و روش انتگرالگيري گوس قابـل محاسـبه اسـت. امـامحاس به جمل ه دوم از س مت راس ت اي ن معادل ه ك ه ش امل انتگرال گيري روي قسمت داخلي اجـزاي متقـاطع بـا مـرز اسـتنياز به دقت بيشتري دارد. زيرا قسمت داخلي اجزاي متقاطع بـامرز از الگـوي هندسـي مشخـصي پيـروي نكـرده و نمـيتـو ان مستقيمﹰا از نگاشت براي انجام انتگرالگيـري روي ايـن نـواحياستفاده كرد.
در مقالــه حاضــر، محاســبه مــشتقات توابــع شــكل درمعادله (١١) و محاسبه تمام انتگرالهاي دامنهاي در معادلـه (١٢) براساس تكنيك هموارسازي گراديان انجام شده اسـت. در ايـنروش هر جزء به تعـدادي سـلول هموارسـازي تقـسيم شـده وس پس در ه ر س لول هموارس ـازي، ب ا تعريـف ي ك ه ـستههموارساز، گراديان توابع شكل به صورت زير نوشته مي شود.

ΩS (۱۳)
در معادله فوقNi تابع شكل مربوط بـه گـرهi ام،ϕS هـستههموارساز مربوط به سلول هموارسازيS ام وΩS دامنـه ايـنسلول است. در شكل (٣) يك جزء داخلي و تقسيمبندي آن بـهسلولهاي هموارسازي نشان داده شده است. با استفاده از قـضيه انتگرالگيري جزء به جزء، معادلـه فـوق بـهصـورت زيـر بيـانمي شود. (۱۴) i∫ NiS d∫ NiS nd

ΩSΓS
كه در آنΓS مرز سلول هموارسازي وn بردار يكه عمود بر مرز آن است. درصورتي كه تابع هموارسازيϕS بـهصـورت مناسـبي انتخاب شود ميتوان مشتقات توابع شكل را بهنحو سادهتـري نيـزبيان كرد . بنابراين براي اين منظور، تابع هموارسازϕS بـهصـورت

1357884-1501731

شكل ۳- الف) نمونه اي از يك جزء داخلي و تجزيه آن به سلولهاي هموارسازي، ب) مسيرهاي محاسبه انتگرالهاي خطي
يك تابع تكه تكه ثابت۱ در نظر گرفته ميشود [١٥].
(۱۵) ϕS(x) =⎧⎨⎩10/ AS xx∈Ω∉ΩSS در معادله فوقAS مساحت سلول هموارسـازي اسـت . چنـينانتخابي براي تابع هموارسازيϕS موجب ميشـود كـه جملـهاول از سـمت راسـت معادلـه (١٤) صـفر شـده و ايـن معادلـه بهصورت زير برحـسب انتگـرال خطـي روي وجـوه سـلولهايهموارسازي تبديل شود.

i

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

A1S ∫ i (۱۶)
ΓSبه عبارت ديگر استفاده از تكنيك هموارسازي گراديان و انتخـابمناسب تابع هموارسازي، موجب شد كـه گراديـان توابـع شـكلبدون نياز به مشتقگيري مستقيم از توابع شكل، بـهصـورت يـكانتگرال خطي روي مرز سلولهمـوارسـازي مطـابق معادلـه (١٦) بهدست آيد . بنـابراين بـا اسـتفاده از معادلـه (١٦) بـراي محاسـبهمشتقات توابع شكل، ميتوان ماتريس گراديان همـوار شـدهBS را بهصورت زير در هر سلول هموارسازي تعريف كرد.
BS =

A1S ∫ nN dΓ (۱۷)
ΓSلازم به ذكر است كه انتگرالهاي بيان شده در معادلههاي (١٦) و(١٧) انتگرالهاي خطي بوده و بـه سـادگي بـا اسـتفاده از روشگوس يك نقطهاي قابل محاسبهاند. براي اين منظور لازم اسـتدر ابتدا نقطه برخورد وجوه سلولهاي هموارسازي و مـرز دامنـهمحاسبه شده و بخش داخلي وجـوه سـلولهاي هموارسـازي درنظر گرفته شود. سپس با تعريف يك نگاشت مختصات و آنگاهاستفاده از روش انتگرالگيري گوس، انتگرالهـاي بيـان شـده درمعادلههاي (١٦) و (١٧) قابل محاسـبهانـد . لازم بـه ذكـر اسـتجزييات اين محاسبات در مرجع [١٦] ارائه شده است. بنـابراينبا جاگذاريBS از معادله فوق به جاي ماتريس گراديـانB درمعادله (١٢) و شكستن انتگرال روي هر جزء بـه انتگـرال رويسلولهاي هموارسازي، داريم:
K =∑ ∑ ∫ B B d STS Ω + ∑ ∑∫ B B d STS Ω (۱۸)
i IE∈S ΩSi BIE∈S ωS
در اينجا بايد توجه شود كه ماتريس گراديان همـوار شـدهBS در هر سلول هموارسازي يـك مـاتريس ثابـت اسـت. بنـابراينعبارتهاي زير انتگرال در معادله فوق عبارتهاي ثـابتي بـوده و اززير انتگرال خارج ميشوند و ماتريس ضـرايبK بـهصـورتزير بيان مي شود.
K =∑∑(B B A STSS) + ∑∑(B B A STSS) (۱۹)
i IE∈ Si BIE∈S
به عبارت ديگر، در روش حاضر، محاسـبه مـاتريس ضـرايببدون انجام انتگرالگيري دامنـهاي و تنهـا از طريـق محاسـبهانتگرالهاي خطي روي وجـوه سـلولهاي هموارسـازي انجـامشد. در شكل (٣) مسيرهايي كه ايـن انتگرالهـاي خطـي رويآنها باي د محاسبه شود براي يك جزء داخلي نـشان داده شـدهاست.

1296164-1650320

شكل ۴- الف) نمونه اي از يك جزء متقاطع با مرز و تجزيه آن به سلولهاي هموارسازي، ب) مسيرهاي محاسبه انتگرالهاي خطي
ويژگي قابل توجه روش حاضر هنگام محاسبه ماتريسهاياجزاي متقاطع با مـرز آشـكار مـيشـود . در ايـن اجـزا شـكلهندسي قسمتهاي داخلـي آنهـا از الگـوي هندسـي مشخـصي پيروي نكـرده و بنـابراين اسـتفاده از روشـهاي مرسـوم بـرايمحاسبه انتگرالهاي دامنه اي روي اين نواحي با مشكلاتي همراه است. اين درحالي اسـت كـه انتگرالهـاي خطـي روي وجـوهسلولهاي هموارسازي بسيار سادهتر از انتگرالهاي دامنهاي قابلمحاسبهاند. بنابراين در روش حاضـر، بـهدليـل عـدم محاسـبهانتگرالهاي دامنهاي، از مشكلات مربوط بـه آنهـا نيـز اجتنـابشده است . در شكل(٤) يك جزء متقاطع بـا مـرز و سـلولهايهموارسازي و مرزهاي آن كه انتگرالهاي خطي بايد روي آنهـامحاسبه شوند، نشان داده شده اسـت. از مزايـاي ديگـر روشحاضر اين است كه بهدليل عدم استفاده از نگاشت مختـصاتبراي انجام انتگرالگيريهاي دامنهاي، محدوديتي روي زوايـاي داخلي اجزا وجود ندارد [١٥].

۴- پارامتري كردن مرز مجهول و الگوريتم حل
هدف اين تحقيق حل مسائل نشت نامحدود و دستيابي بـهيك شكل تقريبي براي سطح آزاد جريان سيال است. يكـي ازراههايي كه در ايـن مـورد وجـود دارد پـارامتري كـردن مـرزمجهول و سپس جـستجو در يـك فـضاي پـارامتري بـا ابعـادمحدود است. براي اين منظور، در اين مقاله، تعداد محـدودينقاط كليدي روي سطح آزاد در نظر گرفته و از طريـق اتـصالاين نقاط توسط تعدادي پاره خط مرز مجهول تشكيل مي شود.
در اين صورت اگر مختصات اين نقاط كليدي بهطور مناسبيمعين شوند، مرز مجهول توسط يك خط شكـسته تقريـب زدهميشـود . طـرح شـماتيكي از نحـوه پـارامتري كـردن مـرز در

شكل ۵- پارامتري كردن مرز مجهول ازطريق تعريف تعدادي نقاط كليدي روي مرز

شكل(٥)نشان داده شده اسـت. همـانطو ر كـه در شـكل ديـدهميشود، مكان هر نقطه كليدي توسط يك نقطه پايه، يك بردارجهت و فاصله آن تا نقطه پايه تعيين مي شوند. به عبارت ديگر مكان نقـاط كليـدي روي سـطح آزاد بـهصـورت زيـر نوشـتهمي شوند.
(۲۰) xi = Bi +rei i در معادله فوقei ، B i وxi به ترتيـب مختـصات نقطـه پايـه،بردار جهت و مختصات نقطه كليديi ام اسـت. ri نيـز بيـانگرفاصله نقطـه كليـدي تـا نقطـه پايـه اسـت . در تحقيـق حاضـر،مختصات نقا ط پايه و بردارهاي جهت ثابت و تنها فاصله نقـاطكليدي تا نقاط پايه،ri ، بـه عنـوان پارامترهـاي مجهـول در نظـرگرفته شده است. بنابراين به ازاي هـر نقطـه كليـدي تنهـا يـكپارامتر مجهول وجود خواهد داشت. درصورتي كـه ازn نقطـهكليدي براي تقريب مرز استفاده شود، بردار پارامترهاي مجهـول بهصورت زير مرتب مي شود.
P= [r1, r2, “, rn ]T (۲۱)
در اينجا لازم است توجه شود نقاط پايه و بردارهاي جهت بايدبه نحوي انتخاب شوند كه سطح سـاخته شـده از طريـق نقـاطكليدي كه مختصات آنها در معادله (۲۰) ارائه شده است بتوانـدبيـانگر تقريبـي از سـطح آزاد سـيال باشـد. بـه عبـارت ديگـر درصورتي كه انتخاب نقاط پايه و بردارهاي جهـت بـهصـورتيباشند كه نقاط كليدي در معادله (۲۰) نتوانند بيانگر نقـاط روي سطح آزاد باشند، حل مسئله امكانپذير نخواهد بود.
همانطور كه بيان شد حل عددي مسائل نـشت نامحـدود دريك فرايند تكراري انجام ميشود. به اين صـورت كـه در ابتـدايك حدس اوليه بـراي بـردار پارامترهـاي مجهـولP در نظـرگرفته و سپس در يك فرايند تكراري، پارامترهاي شكل اصـلاحشده تا شرايط مرزي غيـر خطـي روي سـطح آزاد ارضـا شـود. بنابراين با توجه به شرط مرزي بيان شـده در معادلـه (۶-ب) و معرفي يك پارامتر پايدارسازي، پارامترهاي شـكل بايـد طـورياصلاح شوند كه ارتفاع نقاط كليدي واقـع بـر روي سـطح آزادآب از معادله زير پيروي كنند. (۲۲) yinew = yiold + (hi − yiold )α در معادله فوقyiold وyinew ارتفاع نقطه كليديi ام به ترتيبدر مرحل ه تك رار قب ل و بع د هـستند. hi عبـارت اس ت از هد پيزومتريك محاسبه شده در مكـان نقطـه كليـدي i ام وα پارامتر پايدارسازي است. درصورتي كه مختصات نقاط كليـدياز معادله (۲۰) در معادلـه (۲۲) جاگـذاري شـود، مـيتـوان بـهدستور زير براي اصـلاح پـارامتر مجهـولri در مرحلـه تكـرارجديد دست يافت.
(۲۳) (rinew =

e1yi (riold + −(hiByi −e ryi iold) از آنجا كه متغير ميدانh تابعي غيرخطي از پارامترهاي مجهولP است، پارامتر پايدارسازيα در معادله فوق بيـانگر نـوعيپارامتر آزادسازي است كه باعث يكنواخت شدن نرخ همگراييو كاهش نوسـان و پـرش احتمـالي در پارامترهـاي مجهـول درمراحل تكرار مختلف ميشود. انتخاب ايـن پـارامتر بـهصـورتتجربي انجام ميشود و بـا مـشاهده نوسـان و پـرش در مقـدارپارامترهاي مجهول، پارامتر α بايد كاهش يابد.
نكته ديگري كه بايد مـورد اشـاره قرارگيـرد معيـار خاتمـهفرايند تكراري فوق است . در تحقيق حاضر، فرايند تكرار زمانيخاتمه مييابد كـه ميـزان تغييـر در پارامترهـاي مجهـول در دومرحله تكرار متوالي از حد معيني كوچكتر شود. به عبارت ديگرشرط خاتمه فرايند تكراري به صورت زير نوشته ميشود.

=i 1در اين رابطهε آستانه قابل قبول تغيير در دو مرحله تكرار متوالياست و بايد بهطور تجربي معين شود . با توجه به موارد بيان شده،الگوريتم كلي حل مسئله در شكل (۶) نشان داده شده است.

٥- مثالهاي عددي
در اين تحقيق براي بررسي كـارايي روش پيـشنهادي، چنـدمثال عددي حل شده و در دو مورد براي اعتباربخشي به نتـايج،شكل سطح آزاد حاصل از روش پيشنهادي با نتايج ارائـه شـدهدر ديگر منابع مورد مقايسه قرار گرفته است.

1687830-2200484

شكل ۶- الگوريتم كلي حل مسئله نشت نامحدود

817626-2294210

شكل ۷- ابعاد مقطع كانال در مثال اول به همراه نحوه پارامتري كردن سطح آزاد آب و شبكه غير منطبق بر مرز مورد استفاده

(۲۴) nrinew −riold≤ ε∑ ٥- ١- مثال اول: كانال قرار گرفته روي يك سطح زهكش
در مثال اول جريان نشتي در ناحيه بين زير بستر يك كانـالمتقارن با مقطع ذوزنقه و سطح زهكش افقـي در زيـر آن مـوردبررسي قرار گرفته است. ابعاد هندسـي كانـال، عمـق زهكـش، عمق آب در كانال و نحوه انتخاب نقاط پايه و بردارهاي جهـتبراي پارامتري كردن مرز مجهول در شكل (٧) نـشان داده شـدهاست. با توجه بـه تقـارن موجـود، تنهـا نيمـي از دامنـه مـسئلهمدلسازي شده است. شبكه غير منطبق بر مرز مورد استفاده نيـزدر اين شكل نشان داده شده است. همـان طور كـه در شـكل (٧) ديده ميشود، انتخاب نقاط پايه و بردارهـاي جهـت بـه نحـويانجــام شــده اســت كــه توانــايي بازســازي مــرز مجهــول را داشته باشند. با انتخاب يك حدس اوليه براي شكل سطح آزاد واستفاده از روش پيشنهادي، شكل سطح آزاد و نرخ جريان نشتياز بستر كانال بهدست آمد . حدس اوليه و شكل نهايي سطح آزادبهدست آمده براي اين مسئله در شكل(٨) نشان داده شده است.
علاوه بر اين، شكل سطح آزاد ارائه شده در منبع [٤] نيز در اينشكل نشان داده شده است. همانطور كه ديـده مـيشـود، نتـايجحاصل از هر دو روش از تطابق خوبي برخوردار هـستند. نـرخجريان نـشتي از بـستر كانـال بـراي ايـن مـسئله بـا اسـتفاده ازمعادله (٧) برابر2q = 6.75 m /s به ازاي طول واحد عمـود بـردامنه مسئله براي يك نيم از مقطع كانال به دست آمد.

٥- ٢- مثال دوم: كانال قرار گرفته روي يك سطح زهكش

1880616-3288621

شكل ۸- شكل سطح آزاد به دست آمده براي مثال اول و مقايسه آن با مرجع [۴]
در دومين مثالي كه در اين مقاله مورد بررسـي قـرار گرفتـهاست نيز به جريان در زير بـستر يـك كانـال متقـارن بـا مقطـعذوزنقه پرداخته شـده اسـت. ابعـاد كانـال و عمـق زهكـش درشكل(٩) نشان داده شده است. در اين شكل، نحوه انتخاب نقاط پايه و بردارهاي جهت براي پارامتري كـردن مـرز مجهـول نيـزنشان داده شده است. با توجه به تقـارن موجـود، تنهـا نيمـي ازدامنه مسئله مدلسازي شده و شبكه غير منطبـق بـر مـرز مـورداستفاده نيز در اين شكل نشان داده شده است. در اين مثال برايبررسي اثر انتخاب حدس اوليـه بـراي شـكل سـطح آزاد، چنـدحدس اوليه متفاوت انتخـاب شـده و مـسئله بـراي هـر حالـتبهطور جداگانه حل شـده و نتـايج در شـكل (١٠) ارائـه شـدهاست. در اين شكل، حدس اوليه، نحوه تغيير شـكل سـطح آزاددر چند مرحله تكرار و شكل نهايي حاصل از هر حالـت نـشانداده شده است . همـانطور كـه ديـده مـي شـود انت خـاب حـدساوليههاي متفاوت تاثير قابل توجهي برروي شكل نهـايي سـطحآزاد نداشته و در هر حالت شكل سطح آزاد پس از چند مرحلـهتكرار به شكل نهايي همگرا ميشود. بـراي اعتبارسـنجي نتـايجحاصــله، شــكل نهــايي ســطح آزاد بــا نتــايج ارائــه شــده درمرجع [٢٣] مورد مقايسه قـرار گرفتـه اسـت. همـانطور كـه درشكل (١١) ديده ميشود، نتايج حاصـل از روش پيـشنهادي بـانتايج ارائه شده در مرجع [٢٣] از تطابق خوبي برخوردارند. نرخ جريان نشتي نيز براي اين مسئله با استفاده از معادلـه (٧) برابـر

شكل ۹- ابعاد مقطع كانال در مثال دوم به همراه نحوه پارامتري كردن سطح آزاد آب و شبكه غير منطبق بر مرز مورد استفاده

شكل ۱۰- انتخاب چند حدس اوليه متفاوت براي شكل سطح آزاد آب در مثال دوم

شكل ۱۱- شكل سطح آزاد بهدست آمده براي مثال دوم و مقايسه آن با مرجع [۲۳]

شكل ۱۲- ابعاد مقطع كانال در مثال سوم به همراه نحوه پارامتري كردن سطح آزاد آب

2q =16.56 ft /sec به ازاي طول واحد عمود بر دامنه مـسئله وبراي يك نيم از مقطع كانال به دست آمد.

٥- ٣- مثال سوم: كانال قرار گرفته روي يك سطح نفوذ ناپذير با زهكش جانبي
در سومين مثال، جريان سيال نشتي در زير بستر يك كانـالمتقارن ذوزنقهاي قرار گرفته روي يك سـطح نفـوذ ناپـذير كـهسطح زهكش در طرفين كانال قرار گرفته باشـد مـورد بررسـيقرار گرفته است. ابعاد مقطـع كانـال و محـل قرارگيـري سـطحزهكش در شكل (١٢) نـشان داده شـده اسـت. در ايـن شـكل،فاصله محور تقارن كانال و سطوح زهكش جـانبي بـاd نـشانداده شـده و مـسئله بـراي پـنج حالـت 40 ft ، 30 ft ، 20 ft ، 50 ft و60 ft حل شده است. همانند مثالهاي قبـل، در اينجـانيز از تقارن موجود استفاده شده و تنها يك نيم از دامنـه مـسئلهمدلسازي شده و نحوه انتخاب نقاط پايه و بردارهاي جهت نيزدر شكل (١٢) نشان داده شده است. پس از حل مـسئله، شـكلسطح آزاد جريان براي هريـك از حالتهـا بـهدسـت آمـده و درشكل (١٣) رسم شده است. نرخ جريان عبوري نيز براي هريكاز حالتها در جدول (١) ارائه شده است.

758190-1888064

شكل ۱۳- شكل سطح آزاد در مثال سوم براي حالتهاي متفاوت فاصله زهكش

جدول ۱- نرخ جريان نشتي در زير بستر كانال در مثال سوم به ازاي طول واحد عمود بر دامنه
۶۰ ۵۰ ۴۰ ۳۰ ۲۰ فاصله زهكش (ft)
۳/۲۴ ۳/۹۳ ۴/۹۴ ۶/۵۸ ۹/۶۰ نرخ جريان نشتي ft2/sec

960120-2674448

شكل ۱۴- ابعاد مقطع كانال در مثال چهارم به همراه نحوه پارامتري كردن سطح آزاد آب
٥- ٤- مثال چهارم: رديفـ ي از كانالهـاي مـواز ي قـرار گرفته روي يك سطح زهكش
در آخرين مثال عددي، جريان نـشتي زيـر بـستر رديفـي ازكانالهاي موازي كه بر روي يك سطح زهكش قرار دارند مـوردبررسـي قـرار گرفتـه اسـت. ابعـاد كانالهـا و عمـق زهكـش درشكل (۱۴) نشان داده شده است. همـانطور كـه در ايـن شـكلديده ميشود، مسئله داراي دو محور تقارن بوده و بنابراين ناحيه بين اين دو محور تقارن مدلسازي شـده اسـت. در ايـن شـكلفاصله بين دو محور تقارن باs نشان داده شده و مـسئله بـرايس ه حال ت مختل ف s =14 ft ، s =13 ft و s =15 ft م ورد بررسي قرار گرفته است. نحوه پارامتري كردن سطح آزاد جرياننيز در شكل (۱۴) نشان داده شده اسـت. پـس از حـل مـسئله، شكل سطح آزاد جريان براي هر سه حالت در شكل (۱۵) نشان داده شده است. نرخ جريان نشتي نيز در جـدول (۲) بـراي هـرحالت ارائه شده است.

٦- نتيجه گيري

1578865-3295479

شكل ۱۵- شكل سطح آزاد در مثال چهارم براي حالتهاي متفاوت فاصله كانالهاي موازي

جدول ۲- نرخ جريان نشتي در زير بستر كانال در مثال چهارم به ازاي طول واحد عمود بر دامنه
۱۵ ۱۴ ۱۳ فاصله بين محور تقارن (ft)
۱۶/۸۵ ۱۶/۴۱ ۱۵/۶۵ نرخ جريان نشتي ft2/sec
در اين مقاله، مسائل نشت سـيال داراي سـطح آزاد در زيـربستر كانالهاي باز مـورد بررسـي قـرار گرفـت و از يـك روشجديد براسا س شبكههاي غير منطبق بر مـرز بـراي حـل مـسئلهاستفاده شد . بهكارگيري شبكههاي غير منطبق بر مرز باعث شـدكه در هر مرحله تكرار كه شكل هندسي مسئله تغيير ميكند، بهاصلاح شبكه نيازي نباشد. اين ويژگي باعث شد كه حل مسائلداراي ناحيه متغير به سادگي صورت گيرد. علاوه بر آن، استفادهاز تكنيك هموارسـازي گراديـان موجـب شـد كـه انجـام كليـهانتگرالگيريهاي دامنـهاي بـراي محاسـبه ماتريـسهاي اجـزا ، بـهتعدادي انتگرال خطي روي وجوه سلولهاي هموار سازي تقليـلپيدا كند . بنابراين انتگـرالگيـري روي قـسمت داخلـي اجـزاي متقاطع با مرز كه شكل هندسي آنها از الگوي مشخصي پيـروينميكند، به سادگي انجام شد. تعيين شكل هندسي مرز مجهـولاز طريق پارامتري كردن مرز و تعريف تعدادي پارامتر مجهول وسپس جستجو در فضاي پارامتري حاصل به نحوي كـه شـرايطمرزي غير خطي روي سطح آزاد آب ارضا شـوند، انجـام شـد. براي بررسي كارايي روش پيشنهادي چند مثال عددي حل شـدو نتايج با جوابهاي موجود در منابع مقايسه شد. در اين تحقيـقنشان داده شد كه ميتوان از شبكههاي غير منطبق برمرز بهطـور
واژه نامه

مراجع
Vol. 30, pp. 9–19, 2003.Method,” Mechanics Research Communications ,
١٢. دانـشمند، ف.، و ك اظم زاده پارس ي، م.ج.، “شـبيه سـازي عددي مسائل جريان پتانسيل با سطح آزاد به روش گالركينبدون اجزاي بـا اسـتفاده از شـبكه گرهـي و انتگـرال گيـريثابـت،” مجلـه علمـي پژوهـشي فنـي و مهندسـي مـدرس، دانـشگاه تربيـت مـدرس، شـماره ۲۸، صـفحات ۲۹ – ۴۵، ۱۳۸۶.
.31 Garcia, M.J., and Gonzalez, C.A., “Shape Optimization of Continuum Structures Via Evolution
Strategies and Fixed Grid Finite Element Analysis,”
.41 Journal optimizationDaneshmand, F., and Kazemzadeh-Parsi, M.J., of , Vol. 26, pp. 92-98, 2004.structural and multidisciplinary
“Static and Dynamic Analysis of 2D and 3D Elastic Solids Using the Modified FGFEM,” Finite Element in Analysis and Design, Vol. 45, pp. 755-765, 2009.
.51 Liu, G.R., Dai, K.Y., and Nguyen, T.T., “A Smoothed Finite Element for Mechanics Problems,” Computational Mechanics, Vol. 39, pp. 859–877, 2007.
.61 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Solution of Geometric Inverse Heat Conduction
Problems by Smoothed Fixed Grid Finite Element
.71 Vol. 45, pp. 599-611, 2009.Method,” Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., Finite Elements in Analysis and Design ,
“Cavity Shape Identification with Convective Boundary Conditions Using Non-Boundary-Fitted Meshes,” Numerical Heat Transfer, Part B, Vol. 57, pp. 283-305, 2010.
.81 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Inverse Geometry Heat Conduction Analysis of Functionally Graded Materials Using Smoothed Fixed Grid Finite Element Method,” Accepted for publication in Inverse Problems in Science and Engineering, 2012.
مؤثري در حل مسائل نشت نامحدود در زير بستر كانالهاي بـازاستفاده كرد.
1. piecewise constant
.1 Middlebrooks, T.A., “Earth Dam Practice in the United States,” Transaction of the American Society of Civil Engineers, Geotechnical, Vol. 118, pp. 697–722, 1953.
.2 Swamee, P.K., Mishra, G.C., and Chahar, B.R., “Optimal Design of Transmission Canal,” Journal of Irrigation and Drainage Engineering, Vol. 128, No. 4, pp. 234-243, 2002.
.3 Swamee, P.K., and Kashyap, D., “Design of Minimum Seepage-Loss Nonpolygonal Canal Sections with Drainage Layer at shallow depth,” Journal of Irrigation and Drainage Engineering, Vol. 130, No. 2, pp. 166-170, 2004.
.4 Chahar, B.R., “Analysis of Seepage From Polygon Channels,” Journal of Irrigation and Drainage Engineering, Vol. 133, No. 4, pp. 451-460, 2007.
.5 Chen, J.T., Hsiao, C.C., Chiu, Y.P., and Lee, Y.T., “Study of Free-Surface Seepage Problems Using Hypersingular Equations,” Communications in
Numerical Methods in Engineering, Vol. 23, pp. 755-769, 2007.
.6 Huang, T.K., “Stability Analysis of an Earth Dam Under Steady State Seepage,” Computers and
Structures, Vol. 58, No. 6, pp. 1075–1082, 1996.
.7 Darbandi, M., Torabi, S.O., Saadat, M., Daghighi, Y., and Jarrahbashi, D., “A Moving-Mesh Finite-Volume Method to Solve Free-Surface Seepage Problem in Arbitrary Geometries,” International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 31, pp. 1609–1629, 2007.
.8 Zienkiewicz, O.C., Mayer, P., and Cheung, Y.K., “Solution of Anisotropic Seepage by Finite Elements,” Journal of Engineering Mechanics, Vol. 92, No. 1, pp. 111–120, 1966.
.9 Gioda, G, and Gentile, C., “A Nonlinear Programming Analysis of Unconfined Steady-State Seepage,” International Journal for Numerical and
Analytical Methods in Geomechanics, Vol. 11, pp. 283-305, 1987.
.01 Liu, G.R., Mesh Free Methods: Moving Beyond the Finite Element Method, CRC Press, New York, 2003.
.11 Guangxin, L., Jinhong, G., and Yuxin, J., “Free Surface Seepage Analysis Based on the Element-Free
Methods in Geomechanics, Vol. 36, pp. 780-797, 2012.
.12 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Three Dimensional Smoothed Fixed Grid Finite Element Method for the Solution of Unconfined Seepage Problems,” Finite Elements in Analysis and Design, Submitted, 2012.
.22 Reddy, J.N., An Introduction to the Finite Element Method, 2nd ed., McGraw-Hill, 1993.
.32 Remar, J., Bruch, J.C., and Sloss, J.M., “Numerical Solutions to Some Free Surface Flows Through Nonhomogeneous Media,” International Journal For Numerical Methods In Engineering, Vol. 20, pp. 143-167, 1984.
۱۹. ك اظم زاده پارس ي، م.ج.، و دان شمند، ف.، ” روش اج زاي محـدود شـبكه ثابـت همـوار شـده در حـل مـسائل نـشت نامحدود در سـدهاي خـاكي”، مجموعـه مقـالات هـشتمينكنفرانس هيدروليك ايران، دانشگاه تهران، ۲۴ تا ۲۶ آذرمـاه۱۳۸۸.
.02 Kazemzadeh-Parsi, M.J., and Daneshmand, F., “Unconfined Seepage Analysis in Earth Dams Using Smoothed Fixed Grid Finite Element Method,”


پاسخ دهید