p p∞ Q
R Re
Sij درايههاي سه قطر اصـلي مـاتريس ضـرايب پـنجقطري بلوكي دستگاه معادلات.
درايههـاي دو قطركنـاري مـاتريس ضـرايب پـنجقطري بلوكي دستگاه معادلات.
ماتريــسهاي ژاكــوبين شــارهاي جابــه جــايي در راستاهاي ξ و η.
ماتريــسهاي ژاكــوبين مثبــت و منفــي شــارهايجابه جايي در راستاهاي ξ و η.
ماتريسهاي ژاكوبين شـارهاي لـزج در راسـتاهايξ و η.
طول كورد هيدروفويل.
سرعت صوت مصنوعي در راستاهاي ξ و η.
ضريب پسا.
ضريب برآ.
Cdest ضـــرايب ثابـــت جملـــه چـــشمه در مـــدلکاويتاسيونی.
c ضرايب ثابت مدل آشفتگی اسپالارت-آلماراس.
بردارهاي شار جابهجايي در راستاهاي ξ و η X,Y,Z
V,W
A,Bˆ ˆ
A ,B± ± A ,Bv v c c ,cξ η
CD
CL
, Cprod
b1 b2 w1,c,c
E,F

١- مقدمه
كاويتاسيون بهعلت شتاب گرفتن سيال روي بدنـه جـسم، وافت فشار آن به زير فشار بخار، در نـواحي خاصـي از جريـان،اتفاق ميافتد. در اين نواحي، آب بـه بخـار تبـديل مـيشـود وحفرههاي محتوي بخـارآب تـشكيل مـيشـوند . بـهعلـت ورودجتهاي آب به درون اين حفرهها، احتمـال متلاشـي شـدن آنهـاوجود دارد، و جريان حالت نادائم پيدا مـيكنـد . بنـابراين يـكپديدة تناوبي تقريبﹰا نامنظم از تشكيل و رشد حباب رخ ميدهـدكه با پر شدن حفرهها از بخار آب ادامه مييابد، و در نهايت بـااز بين رفتن حباب پايان ميپذيرد. كاويتاسيون ممكن اسـت بـهصورت جزيي روي بدنه جسم ايجاد شود و يا اينكه در مقايسهبا ابعاد جسم، بسيار بـزرگ شـود، كـه در ايـنصـورت، بـه آنسوپركاويتاسـيون گفتـه مـ يشـود. حبابهـاي سوپركاويتاسـيون،
مهندسي،
Λ ماتريس مقادير ويژه ژاكوبين شار جابهجايي.
τ زمان مصنوعي.
τij تانسور تنش
µ µ µl,t ,m لزجـت دينـاميكي جريـان آرام، جريـان آشـفته و مخلوط سيال.
ν لزجت سينماتيكي مولكولي
ν متغير لزجت گردابه اي ρl,ρ ρv, m چگالي مايع، بخار و مخلوط.
ρm u u

i′ ′j تنش رينولدز برای جريان آشفته
ξ,η مؤلفههاي مكاني در دسـتگاه مختـصات عمـومي منحنيالخط
ξx,ηx متريكهاي مكاني شبكه در راستاي x .
ξy,ηy متريكهاي مكاني شبكه در راستاي y.
σ تانسور تنش كلي
1−Γ,Γ ماتريس پـيششـرط سـازي و مـاتريس معکـوس
آن.
τ, ∂ ∂ξ, η∂ مشتق پارهای نسبت به زمان مصنوعی،ξ و η . نرخ تانسور كرنش اصلاح شده در مدل آشـفتگياسپالارت-آلماراس.
زمان
بردار سرعت ميدان جريان سيال.
بردار سرعت مياني ميدان جريـان سـيال در روش پيشبيني
سـرعت جريـان آزاد و سـرعت مشخـصه ب راي بي بعدسازي.
مؤلفه هاي ناورداي سرعت در راستاهاي ξ و η مؤلفه هاي سرعت كارتزين در راستاهاي y ،x و z..
مؤلفه هاي مكاني در دستگاه مختصات كارتزين بردارهاي ويژه ژاكوبين شار جابهجايي وناني
پارامتر ثابت تراكمپذيري مصنوعي نمو مكاني شبكه در راستاهاي ξ و η.
شار استهلاكي
کسر حجمی مايع، کسر حجمی بخار. S
t u u
U∞
U,V u,v,w x,y,z
X,X−1
علائم ي
β
∆ξ ∆η,
φi 1/2+ αl,αv

نيروي مقـاوم ناشـي از لزجـت را روي بدنـه جـسم بـه مقـدارقابلتوجهي كاهش ميدهند، و لذا رسيدن به سرعتهاي بالا را در زيـر آب امكانپـذير مـي سـازند[۱]. بـه عـلاوه، طيبعـت نـادائم كاويتاسيون نيز باعث ايجاد نيروهاي هيدروديناميكي نادائم، سـرو صدا، خوردگي سازهاي و مسائل ارتعاشي مـيشـود . بنـابراينلازم اســت پــيشبينــي دقيقــي از مقــدار و رفتــار جريانهــايكاويتاسيوني روي سطح اجسام داشته باشيم.
به منظور پيش بيني توزيع فشار و رفتار زمان مند جريان سـيال پس از گسترش مجموعه حباب هـاي كاويتاسـيون، مـدلهايي بـراي بيان نسبتﹰا دقيق رفتار جريان سيال شامل كاويتاسـيون ارائـه شـده است. وظيفة مدلهاي كاويتاسيون، پيش بيني آغاز شـكل گيـري ومدلسازي رشد حبابها، تكه تكه شدن احتمالي مجموعة حبابهـا و در نهايت تركيدن آنها در اثر ورود به ناحية پر فشار است. به طور كلي دو دستة مختلف از روشهاي مدلسازي كاويتاسـيون وجـود دارد كه اصطلاحﹰا به روشهاي تعقيب مرز مشترك ۱ و مدل جريان همگن۲ مشهور هستند . دستة دوم روشها خود به دو گروه تقسيم مي شوند. براي محاسبة ميـدان چگـالي در گـروه اول، از معادلـةحالت و در گروه دوم از يك معادلة انتقال استفاده مي شود.
در اين تحقيق، بهمنظور شبيهسازي عددي جريان كاويتاسيونيحول هيدروفويل، الگوريتمي براي حل ضمني معادلات چندفازيناوير- اسـتوكس تـراكمناپـذير در حالـت دو بعـدي در دسـتگاه مختصات عمومي منحنيالخـط بـا اسـتفاده از روش پـيششـرطسازي ارائه شده و در يك كد رايانهاي پيادهسازي شده است. اين الگوريتم ميتواند براي حل مسائل دائـم و نـادائم مـورد اسـتفادهقرار گيرد. براي مدلسازي كاويتاسيون از مـدلهاي مبتنـي بـر ايـدةجريان همگن تعادلي در مدلسازي جريانهاي چنـدفازي، اسـتفادهشدهاست. براي بيان جملات انتقال جرم بين فاز مايع و بخـار، ازمدلهاي بر مبناي فشار استفاده شده است.
معادلات حاكم، شامل معادلات پيوستگي و مومنتم مخلـوطو همچنين معادلة انتقال كسر حجمي فاز مايعاند. معادلـة انتقـالكسر حجمي بر اساس فرض جريان همگن تعادلي در مدلسازيجريانهاي چند فازي استخراج شده است. انتقال جرم بين فازهـابا استفاده از مدل ارائه شده توسط مركـل، شـبيهسـازي و بـرايافزايش كارايي حل از تكنيك پيششـرط سـازي اسـتفاده شـدهاس ت. در اي ن تحقي ـق ب راي گس سته س ازي جم لات ش ارجاب ه ج ـايي، ب ر خ لاف اغل ب پي اده س ازيهاي قبل ي روش تـراكم پـذيري مـصنوعي كـه در آنهـا از روش تفاضـل مركـزياستفاده شده، روش تفاضل بالادست مرتبه سوم بر مبناي تفاضلشار، مورد استفاده قرار گرفته است. لزجت مصنوعي اضافه شده توسط اين روش، منطبق بر فيزيك مـسئله و بـينيـاز از تعيـينپارامتر لزجت مصنوعي در روند حـل عـددي اسـت. همچنـينگسستهسازي جملات لزج از روش تفاضل مركزي مرتبه دوم وگسستهسازي جملات زمـان مـصنوعي از رابطـه اويلـر پـس رو مرتبه اول انجام گرفته است. سيستم جبري معادلات با يك رويه خط به خط تخفيفي حل ميشود. اثرات آشفتگي بـا اسـتفاده از يك ضريب لزجت گردابهاي كه بـه ضـريب لزجـت مولكـوليافزوده مي شود، شبيه سازي شدهاند. اين ضريب لزجت گردابهاي با استفاده از مدل يك معادلهاي اسـپالارت-آلمـاراس ۳ محاسـبه ميشود.
بهمنظور صحتسـنجي نتـايج خروجـي برنامـه، ابتـدا حـلجريان تكفـازي حـول هيـدروفويلNACA0012 در زوايـايحملة مختلف انجام و نتايج بـا اطلاعـات در دسـترس مقايـسهشده است . در ادامه، توانايي برنامـه در شـبيهسـازي جريانهـايكاويتاسيوني حول هيـدروفويل اصـلاح شـدةNACA0009 دراعداد كاويتاسيوني و زواياي حملة مختلف نشان داده ميشود وبا نتايج آزمايشگاهي و عددي در دسترس مقايسه خواهـد شـد.
نتايج از دقت قابل قبولي برخوردارند.

۲- تاريخچة مختصري از مدلسازيهاي عددي انجـام شده بر روي جريانهاي كاويتاسيوني بـا اسـتفاده از حل معادلات N-S [۲]
در اين قـسمت بـهطـور فهرسـتوار بـه معرفـي برخـي ازمدلسازيهاي عددي سالهاي اخير كـه بـر مبنـاي حـل معـادلاتناوير- استوكس و به منظور شبيهسازي پديده كاويتاسيون انجامگرفته است، مي پردازيم.
كابوتـا و همكـارانش در سـال ۱۹۹۲ بـا اسـتفاده از مـدلاستخراج شده بر اساس معادلة ريلـي- پلـست و بـهكـارگيري الگوريتم عددي نشان گذار و سلول۴ بـراي حـل معـادلات سـهبعدي ناوير- استوكس بدون در نظـر گـرفتن اثـرات آشـفتگي ، كاويتاسيون ابري را روي يـك هيـدروفويل در عـدد رينولـدز۱۰۵×۳ مدلسازي كردنـد. در ايـن تحقيـق، ناحيـه حبـاب بـهصورت يك ناحيه تراكمپذير با چگالي متغير مدلـسازي شـدهاست و ناپداريهاي عددي در نسبتهاي چگالي بالا گزارش شده است.
ﹺچن و هيستر در سال ۱۹۹۴ با استفاده از روش تعقيـب مـرز مشترك و به كارگيري الگوريتم عددي نشان گذار و سـلول بـرايحل معادلات دو بعـدي نـاوير- اسـتوكس بـدون در نظرگـرفتن
اثرات آشفتگي، كاويتاسيون لايـه اي را روي يـك جـسم متقـارن محوري در عدد رينولدز ۱۰۵×۳۶/۱ مدلسازي كردند.
دشـپاند و همكـارانش در سـال ۱۹۹۷ بـا اسـتفاده از روش تعقيب مرز مشترك و بهكارگيري الگوريتم عددي تـراكم پـذيري مصنوعي براي حل معادلات دو بعدي ناوير-استوكس بـدون در نظرگرفتن اثرات آشفتگي، كاويتاسيون لايه اي را بـراي سـيالهاي سرمازا مدلسازي كردند.
سينگال و همكـارانش در سـال ۱۹۹۷ بـا اسـتفاده از معادلـة انتقال كسر جرمي بخار با جملات چشمه مبتنـي بـر فـشار كـه توسط خود او ارائه شده بود، و به كارگيري الگوريتم عددي مبتني بر فشار سيمپل براي حل معادلات دو بعدي نـاوير -اسـتوكس و ستفاده از مدل آشفتگيk −ε ، كاويتاسيون لايـه اي را روي چنـد هيدروفويل در عدد رينولدز ۱۰۶×۲ مدلسازي كردند.
مركل و همكارانش در سال ۱۹۹۸ با استفاده از معادلـة انتقـالكسر جرمي بخار با جملات چشمه مبتني بر فشار و بـه كـارگيري الگوريتم عددي تراكم پـذيري مـصنوعي بـراي حـل معـادلات دوبعدي ناوير-استوكس و استفاده از يك مدل آشفتگي دو معادلهاي، كاويتاسيون لايه اي را روي چند هيدروفويل مدلسازي كردند.
كانز و همكارانش در سالهاي ۱۹۹۹ و ۲۰۰۰ بـا اسـتفاده از معادلة انتقال كسر حجمي با جملات چـشمه مبتنـي بـر فـشار،معادله پيوستگي ناپايـستار و اسـتراتژي پـيششـرط سـازي كـههمگي توسط خود او ارائـه شـده بـود و بـه كـارگيري الگـوريتم عددي تراكم پذيري مصنوعي بـراي حـل معـادلات سـه بعـديناوير-استوكس بـه همـراه مـدل آشـفتگيk −ε ، كاويتاسـيون لايه اي، ابري و ابركاويتاسيون را روي اجسام متقـارن محـوري و نيز روي دماغة يك پرتابه مدلسازي كردند.
ﹶاهوجا و همكارانش در سال ۲۰۰۰ با استفاده از معادلـة انتقـالكسر جرمي بخار با جمـلات چـشمه مبتنـي بـر فـشار، اسـتراتژيپ يش ش رط س ازي و اس تفاده از ش بكه ب ي س ازمان انطب اقي و به كارگيري الگـوريتم عـددي تـراكم پـذيري مـصنوعي بـراي حـلمعادلات سه بعدي ناوير-استوكس به همراه مدل آشـفتگيk −ε ، كاويتاسيون لايه اي را بر روي اجـسام متقـارن محـوري و چنـدين هيدروفويل در اعداد رينولدز ۱۰۵×۳۶/۱ و ۱۰۶×۲ مدلسازي كردند.
ادوارد و همكارانش در سال ۲۰۰۰ با محاسبة توزيع دمـا واستفاده از معادلة حالت سانچز براي تعيـين تغييـرات چگـالي وبه كارگيري الگوريتم عددي تراكم پـذيري مـصنوعي بـراي حـلمعادلات سه بعدي نـاوير-اسـتوكس بـه همـراه مـدل آشـفتگياسپالارت- آلماراس، كاويتاسيون لايه اي را روي اجـسام متقـارن محوري در عدد رينولدز ۱۰۵×۳۶/۱ مدلسازي كردند.
ونتيكاس و همكارانش در سال ۲۰۰۰ با محاسبة توزيع دمـاو استفاده از جداول آب- بخار براي تعيين تغييـرات چگـالي وبه كارگيري الگوريتم عددي مبتني بر فشار براي حل معادلات دو بعدي نـاوير -اسـتوكس بـدون در نظرگـرفتن اثـرات آشـفتگي ، كاويتاسيون را بر روي چند هيدروفويل مدلسازي كردند.
ونكاتسواران و همكارانش در سال ۲۰۰۱ با استفاده از معادلة انتقال كسر جرمي بخار با جمـلات چـشمه مبتنـي بـر فـشار واستراتژي پيش شرط سازي (ارائه شده توسط كـانز و ﹶاهوجـا) و به كارگيري الگوريتم عددي تراكم پـذيري مـصنوعي بـراي حـلمعادلات سه بعدي نـاوير-اسـتوكس بـه همـراه مـدل آشـفتگيk −ε ، كاويتاسيون لايه اي را روي اجـسام متقـارن محـوري درعدد رينولدز ۱۰۵×۳۶/۱ مدلسازي كردند.
سنوسك و همكارانش در سال ۲۰۰۱ با استفاده از معادلة انتقال كسر حجمي با جملات چشمه مبتني بر ديناميـك سـطح مـشترك حباب كه توسط خود او ارائه شـده بـود و بـه كـارگيري الگـوريتم عددي مبتني بر فشار براي حل معادلات سه بعدي ناوير-اسـتوكسبه همراه نسخههاي متفاوت از مدل آشـفتگيk −ε ، كاويتاسـيون لايه اي را روي اجسام متقارن محوري مختلف مدلسازي كردند.
ريبـود و كـوتير در سـال ۲۰۰۳ بـا اسـتفاده از يـك رابطـة باروتروپيك براي تعيين تغييرات چگـالي ، كاويتاسـيون ابـري را درون يك شيپورة همگرا- واگرا با انجام ويرايشهايي روي مـدل آشفتگي به كار گرفته شده، مدلسازي كردند.

۳- نظريه روش و معادلات حاكم
در جريانهـاي كاويتاسـيوني، گراديانهـاي شـديد چگـالي و لزجت در سـطوح مـشترك بـين سـيالهاي تقريبـﹰا تـراكم ناپـذيربهوجود ميآيد. پيشبيني دقيق جريان سيالي كه شامل اين گونهسطوح مشتركاند، مسائل عددي بسيار پيچيدهاي ايجاد ميكنـدو منجر به ايجاد مسائل سخت۵ ميشوند. براي تشخيص سـطحمشترك بين دو فاز از دو دسته فرمولبندي متفـاوت از معـادلاتحاكم بر جريان سيال استفاده مي شود.
۱) دستة اول، مدل چند سيالي (مدل اويلر ) است. در مدل چندسيالي، مجموعهاي از معادلات بقا، شامل معادلات مومنتم وپيوستگي، براي هر كدام از فازها در نظر گرفتـه مـيشـوند .
اثرات متقابل فازهاي مختلف در سطح مشترك آنها به عنوانجملات چشمه و چاه به معادلات بقاء اضافه ميشوند.
۲) دستة دوم، مدل سيال مخلـوط (يكنواخـت ) اسـت . در مـدلسيال مخلوط، معادلة مومنتم براي كـل مخلـوط و بـراي هـركدام از فازها نيز به صورت جداگانه يك معادلة پيوستگي- درشكل كسر حجمي يا كسر جرمي- نوشته مـيشـود . يكـي ازمعادلات پيوستگي فازها ميتوانـد بـا معادلـه پيوسـتگي كـلمخلوط جايگزين شود.[۳] بهمنظور در نظر گرفتن انتقال جرمبين فازهاي مختلف، عباراتي به عنوان جملات چشمه و چـاهبه معادلات پيوستگي مايع و مخلوط اضـافه مـيشـوند . ايـنروش، از آنجا كه فرض مي شـود در سـطح مـشترك دو فـاز،تعادل گرمايي، ديناميكي و پيوستگي سـرعت جريـان وجـوددارد به نام روش “جريان تعادلي همگن” شناخته مي شود[۴].
بهمنظور پيشبيني نسبتﹰا دقيق رفتار جريانهاي كاويتاسـيوني،يك درك فيزيكي از فرايند تشكيل و انهـدام حبابهـاي محتـويبخار، مورد نياز است تا بتوان نرخ انتقال جرم از آب به بخـار واز بخ ار به آب را مدل كرد. مدل پيشنهاد شـده توسـط مركـل وهمكارانش نرخ هاي انتقال جـرم از آب بـه بخـار و بـالعكس رامتناسب با كسر حجمي دو سيال و اختلاف بين فـشار محلـي وفشار بخار سيال قرار مي دهد.[۴]
شكل تانسوري معادلات توصيف كنندة جريان كاويتاسيونيشامل فاز مـايع و بخـار بـا اسـتفاده از فرمولبنـدي مـدل سـيالمخلوط، در مختصات كارتزين به صورت زير نوشته مي شود.
25907947565

25908140960

1∂p ∂uj⎛ 11 ⎞
ρ βmj⎝ lv ⎠
974598101043

∂ρm iu + ∂ρm iu + ∂ρm iu uj =− ∂p + ∂τij +ρm ig
∂t∂τ∂xj∂xi∂xj

llρ βmljl (۱)

τij = 2µm ijS −ρm u ui′ ′j = 2µm ijS + 2µt ijS
179679629641

= ⎢⎣⎡⎢(µm + µt )⎜⎛⎜⎝ ∂∂xuij + ∂∂uxij ⎟⎥⎞⎟⎠⎥⎦⎤
اين معادلات، شامل معادلات ناوير-اسـتوكس متوسـط زمـاني۶ و يك معادلة انتقال براي محاسـبة كـسر حجمـي فـاز مـايع اسـت. معادلة پيوستگي مخلوط از تركيـب معـادلات پيوسـتگي (انتقـال ) فازهاي بخار و مايع بهدسـت مـيآيـد كـه بـا اسـتفاده از شـگردپيششرط سازي، جملة مشتق زماني چگالي به آن اضافه و سپسبا ايدة مطرح شده در روش تراكمپـذيري مـصنوعي بـه صـورتتابعي از فشار جايگزين ميشود. در اين رابطه ρl و ρv ، چگـاليفاز مـايع و بخـار،p فـشار، ui مؤلفـههـاي سـرعت، τ زمـانمجازي، t زمان فيزيكي، 2β ضريب تراكمپـذيري مـصنوعي، β سرعت صوت مصنوعي، µm وµt به ترتيـب، ضـريب لزجـتجريان آرام و جريان آشـفته و بـالاخرهαl كـسر حجمـي مـايعاست. mv وml نيز نرخ انتقال جرم از فـاز بخـار بـه مـايع و ازمايع به بخار هستند كه تنها در مرز بـين دو فـاز، مقـدار غيرصـفردارنـد. در ايـن معادلـه µm وρm ضـريب لزجـت دينـاميكي و چگالي مخلوط اند كه از معادلات زير محاسبه ميشوند:
(۲) ρ =α +α ρ =α ∆ρ +ρµ =α +α µ =α ∆µ +µmm ll v vv v ll ll vv ;; ∆ρ = −ρ∆µ = −µll 11 vv سپس اين معادلات با استفاده از كميتهاي جري ان آزاد و مقيـاسطول مشخصه، بيبعد ميشوند. پس از بيبعد سازي، معـادلاتبه شكل بقايي و بـرداري نوشـته مـيشـوند . در نهايـت، انتقـالمعادلات از فضاي فيزيكي به فضاي محاسباتي توسط تبـديلاتانتقال صورت ميگيرد. شكل برداري معادلات دو بعدي نـاوير- استوكس چندفازي حالت دائم، بيبعد سازي شده در مختصاتعمومي منحنيالخط بهصورت زير استخراج ميشوند:
Γ∂τQˆ +∂ξ(Eˆ − Eˆ v )+∂η(Fˆ − Fˆv ) = S.ˆ (۳)
در اين معادله بردارهاي ˆFˆv ، Eˆ v ، Fˆ ، Eˆ ، Q و ˆS عبارت اند از:
Qˆ =

1[p,u,v,αl]T,
J
Eˆ = [U,ρmuU + ξ ρp x , mvU + ξ αp y,lU] ,T
Fˆ =[V,ρmuV + η ρp x , mvV + η αp y,lV,αgV] ,T
U =ξ +ξxuyv,V =η +ηxuyv,
34899672695

Eˆ v = J(µm +µt )[0,(2ξ +ξ2x2y)uξ Re
+ ξ η +ξ η(2 xxyy)uη +ξ ξx yvξ +ξ ηyxv ,η
(ξ + ξ2×2 2y)vξ + ξ η + ξ η( xx2 yy)vη
+ξ ξx yuξ +ξ ηxyuη ,0,0] ,T
32080277503

Fˆv = J(µ +µmt )[0,(2η +η2x2y)uη Re
+ ξ η +ξ η(2 xxyy)uξ
+ξ ηxyvξ +η ηxyvη ,(η + η2×2 2y)vη
+ ξ η + ξ η( xx2 yy)vξ +ξ ηyxuξ
+η ηxyuη ,0,0] ,T
28575060146

Sˆ = 1[ 1( − 1 )(mv + ml ) , 0, 0 , mv + m ,0] ,lT
Jρv
(۴)
كه در آنRe=ρlU L∞

µl عدد رينولدز و L و ∞U ، به ترتيبطول مشخصه و سرعت مرجع جريان هستند . ξ و η ها متريك وJ ، ژاكوبين انتقال ، U وV ، مؤلفههاي ناورداي سـرعتانـد . در ضمنΓ ماتريس پيششرط سازي است كه با فرض چگالي ثابت فازهاي مايع و بخار به صورت زير محاسبه مي شود:
35661670954

⎡ 1000 ⎤
⎢ρmβ2⎥
⎢ 0ρm0u∆ρl ⎥
Γ=⎢⎢ 00ρmv∆ρl ⎥⎥ (۵)
⎢ αl⎥

2001 ⎥ ⎢⎣ρmβ⎥⎦

۴- مدل انتقال جرم
تفاوت مدلهاي مختلف كاويتاسيون، در مدل سيال مخلـوط،عمدتﹰا در جملاتي است كـه بـرايm , mv l بيـان مـيكننـد . درمعادلة (۴) m , mv l به ترتيب، نرخ انتقال جرم از مايع به بخـارو از بخار به مايع، بر اساس مدل ارائه شـده توسـط مركـل [۴] هستند كه از معادله (۶) محاسبه مي شوند.

(۶) mmlv ==CCdestprodα(l1MIN(0,P−αl )MAX(0,P− P )vρ−v P )v كه در آن *Pv فشار بخار مايع (بـا بعـد) و σ عـدد كاويتاسـيونطبق معادله (۷) به يكديگر مربوط مي شوند.

(۷) P

PU
مقـادير ثابتهـاي Cdest و Cprod ب ه هندسـه و شـرايط جريـان وابـسته انـد، كـه بـا تجربـه عـددي و از طريـق تطبيـق بـا نتـايج آزمايشگاهي كاليبره ميشوند. در اين تحقيق، بـا توجـه بـه تـشابههندسه و شرايط جريان با مسائل مورد مطالعه در مراجع [۴] و [۵] مقادير اين ضرايب ۱۰ = Cdest و۸۰ = Cprod قرار داده شد هاند.

۵- گسسته سازي عددي
گسستهسازي معادلات نـاوير اسـتوكس چنـدفازي از روشتفاضـل محـدود انجـام شـده اسـت. گسـسته سـازي جمـلات جابهجايي از روش تفاضل بالادسـت بـر مبنـاي روش تفاضـلشار، و گسستهسـازي جمـلات لـزج از روش تفاضـل مركـزيمرتبه دوم انجام گرفته است. جملات مشتق زماني در معـادلاتمومنتم از رابطه اويلر پس رو مرتبه اول گسسته مي شوند.
براي تشكيل تفاضل شارهاي مثبت و منفي (دلتاي شارها ) و ژاكوبين بردار باقيمانـده در رويـه تفاضـل بالادسـت بـر مبنـايتفاضل شار، ژاكوبين شار جابهجايي و لزج مـورد نيـاز هـستند.
ماتريسهاي ژاكوبين شار جابه جايي عبارتاند از:
Aˆ =

∂Eˆ
∂Q
⎢⎡⎢ξ0x ρm(uξξ +xxU)ρmξuyξyuU0∆ρl ⎥⎥⎤ (۸)
= ⎢⎥
⎢ξyρmvξxρm(vξ +yU)vU∆ρl ⎥
⎢⎣ 0α ξl xα ξl yU ⎥⎦
براي اينكه در ژاكوبين شار جابهجايي، مقادير و بردارهاي ويـژهبه نسبت چگالي و كسرهاي حجمي وابـسته نباشـند، معكـوسماتريس پيششرط در آن ضرب و سپس به دو ماتريس ژاكوبينمثبت و منفي به صورت زير تبديل مي شود:
⎡⎢ 0β ρ ξ2 m x β ρ ξ2 m x0 ⎤⎥
⎢⎢ξxuξ +xUuξ0 ⎥⎥
A=Γ−1Aˆ = ⎢⎢⎢ρξmyy⎥⎥⎥ (۹)

vξxvξ +yU0 ⎥
⎢ρm⎥
⎢⎣ 000U⎥⎦
در اين بين ماتريس ژاكـوبين شـار نيـز طبـق رابطـه زيـر قابـلاستخراج است:
Aˆ =Γ =Γ ΛAXA A AX−1 , (۱۰)
در اين رابطه ΛA ، ماتريس مقـادير ويـژه ژاكـوبين A ، عبـارتاست از:
diag U,U⎡⎤
375666155128

Λ =A 2 ⎣ 2 +2c ,Uξ 2 −c ,Uξ ⎦ (۱۱) Cξ = U +β ξ +ξ( x y ) 
كه در آن XA و 1X−A ماتريس بردارهـاي ويـژه سـمت راسـت وچپ ژاكوبين A ، هستند.cξ ، مؤلفه سـرعت صـوت مـصنوعي درراستاي ξ است. دربارة ژاكوبين ˆB نيز روند مشابهي طي ميشود.
براي تعيين جهت تفاضل مكاني از علامت مقـادير ويـژه ژاكـوبينشار جابهجايي اسـتفاده مـيشـود . بـه عنـوان نمونـه، مـشتق شـارجابه جايي در راستايξ، توسط معادله زير تقريب زده مي شود.

∂EEi 1/2 − Ei 1/2 (۱۲)

شار عددي +Ei 1/2 ، از معادله زير تعيين مي شود.
Ei 1/2+= 0.5⎡⎣E Qˆ ( i 1+ )+ E Qˆ ( i )−φi 1/2+ ⎤⎦ (۱۳)
+φi 1/2 ، يك جمله شار استهلاكي است كه به صورت صريح بهشار جابهجايي اضافه ميشود. رويـه بالادسـت مرتبـه سـوم بـامعادله زير داده مي شود.
φi 1/23+ =−

13 ⎡⎣∆Ei 1/2+− −∆Ei 1/2++ +∆Ei 1/2−+ −∆Ei 3/2−+ ⎤⎦ (۱۴) :تفاضلات شار در معادله (۱۴) به صورت زير محاسبه ميشوند

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

∆Ei 1/2±+= A± (Q)∆Qi 1/2+ ; (۱۵)
∆Qi 1/2+= Qi 1+ −Qi
ماتريس ژاكوبين مثبت (منفـي ) ±A ، فقـط داراي مقـادير ويـژهمثبت (منفي) است.
مشتق زماني در معادله (۳) با كاربرد يك فرمول اويلـر پـسرومرتبه اول گسسته ميشود و شكل دلتاي معادلات (۳) را مي دهد.
Γ(Qˆ n 1+ −Qˆ n ) =−Rˆ n 1+ +Sˆn 1+

∆τ (۱۶)
بالانويسn ، كميتهـا را در مرحلـه تكـرار زمـان مـصنوعي n ام نشان ميدهد. بردار ˆR ، بردار باقيمانده است. بعد از خطيسازي طرف راست به علت استفاده از فرمولبندي ضمني داريم:
nn
8915941728


پاسخ دهید