ei f h
F h ,hxy
IhH
IHh

١- مقدمه
گسستهسازي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جز يي از نـوعبيضوي توسط كليه روشـهاي گسـسته سـازي، نهايتـﹰا منجـر بـهتشكيل دستگاه معادلات خطي به شكل ماتريس ي زير م يشود:
A uhh = f h (۱)
در معادله (۱)، Ah ماتريس ضرايب (تانسور ضريب) بوده كـ ه نوعﹰا تن ك و با ابعاد بزرگ است. بـردارuh شـامل مجهـولات وf h بردار معلومي است كه معمو ﹰلا به شرايط مرزي و جملههاي چشمه در معادلات ديفرانسيل بستگ ي دارد . در اين معادله نمـادبالانويس برا ي بردار و نماد پايين نـويس بـراي تانـسور بـه كـ ار ميرود. نمادh براي مشخص كردن اجزاي مربـوط بـه شـبكه ريز بهكار ميرود.
بزرگ بودن ابعاد (مرتبه) ماتريس ضرايب، لـزوم اسـتفاده ازيك حلگر مؤثر را ايجاب ميكند چرا كه اسـتفاده از حل گرهـاي مستقيم (مثل روش حذفي گوس-جردن) هزينه محاسبات بسيار بالايي به همراه دارد. از طرفـي روشـهاي ت كـراري ا يـ ستا (مثـلروش گوس-سايدل) در شب كههاي بس يار ر يز، همگرا يي ك نـدي دارند. نرخ پايين همگرا يي در روشـهاي تـك شـبكهاي از آنجـاناشي مـي شـود كـ ه فركانـسهاي پـايين خطـا توسـط روشـهاي همواركننده متداول به سـادگي حـذف نمـي شـوند . ايـده اصـليروشهاي چند شبكهاي آن است كه فركانسهاي پايين خطا را بـهشـبكه اهـ ي درشـت منتقـل كـرده و ايـن گـروه از خطاهـا در شبكه هاي درشت حذف شود. در دهههاي اخير روشـهاي چنـدشبك هاي هندس ي [۱] و چند شبكهاي جبري۱ (AMG) [۲-۵] به دليل مؤثر بودنشان در حل ا ينگونه مسائل بـسيار مـورد توجـهقرار گرفته اند. در يك سيكل از روشهاي چند شبكهاي، دامنه هركدام از طيفهاي فر كانس خطا در مرتبه درشـت۲ (در ا يـن مقالـهلفظ “مرتبه” -كه مناسبتر است- بـه جـاي لفـظ ” شـبكه” مـورداستفاده قرار مي گيرد، ز يرا در روشAMG ه يچ شـبكه درشـتهندسي وجود ندارد.) مربوط به آن طيف كاهش مـييابـد و بـهاين ترتيب كليه مؤلفههاي خطـا در هـر سـيكل چنـد شـبكهاي كاهش مييابند. چنـد شـبكه هندسـي ك لاسـيك در مـسائل بـاهندسه پيچيده [۶] و همچنين در مسائل با تفاوت مرتبه بزرگـي ضرايب [۷ و ۸] و يا در مسائل ناهمگن [۹] محدوديتهايي دارد .
در برخ ي موارد كاربران براي مقاصد محاسباتي مـورد نظرشـاننياز به حلگرهايي دارند كه بتوان از آنها به صورت جعبه سـياه۳ استفاده كرد [۱۰] (يعني از ورودي تنها ماتريس ضرايب و بردار معلوم را گرفته و در خروجي بـردار جـواب را نتيجـه دهـد) و بتوانند به سادگي آن را به كد الحاق كرده و به كـار گ يرنـد . ايـ ن عوامل باعث افزايش تقاضا بـراي چنـد شـبكهاي جبـري شـدهاست. در نوع كلاسيك چند شـبكهاي جبـري مراتـب درشـت،بدون ن ياز بـه اطلاعـات هندسـي مـسئله و تنهـا بـا اسـتفاده ازاطلاعات ماتر يس ضرا يب، به طور خودكار تول يـ د مـي شـود. در AMG مراحل درشتسازي۴ (كه مرحله نصب۵ ناميده ميشـود ) هزينه محاسـباتي ز يـادي نـسبت بـه نـوع هندسـي دارد كـه ازمحدوديتهاي AMG محـسوب مـيشـود . در عـوض بـه سـببالگوريتم مرحله نصب درAMG اين روش نسبت به چند شبكه هندسي قابليت تطبيـ ق ب يـشتر ي دارد. بـا توجـه بـه ك اربردهـاي موفقيتآميزAMG ، تلاشـهاي بـسياري در جهـت تعمـيم ا يـن الگوريتم به حالات كل يتر صورت گرفته است. از جمله مي توان به تعم يم الگور يتم به اعداد مختلط [۱۱] و تعم يم آن براي طيف گسترده تري از ماتريسها ي ضرايب [۱۲] اشاره كرد.
هدف اين مقاله بهكارگيري روش چند شـبكهاي جبـري بـراساس الگور يتم درشت سازي ۶RS [۳ و ۴] و بررسـي عمل كـ رد تكنيكهاي مختلف درشتسازي برا ي حل مسائل ديفيوژن است . بررسي نتا يج نشان خواهد داد كه چه انتخابها يي براي حـل ايـ ن نوع مسائل مفيد است . در بخش (۲) نظريه چند شبكهاي جبر ي بر اساس الگوريتمRS و انتخابهاي مختلف آن تشريح ميشـود . در بخش (۳) مسائل نمونهاي توسط كد تـدوين شـده بـه ازاي پارامترهاي مختلف درشتسازي حل شـده و نتـايج بـه دسـت آمده تحل يل م يشود. در نها يت در بخش (۴) نت يجهگيري انجـامميشود.

۲- چنـ د شـ بكهاي جبـ ري بـ ر اسـ اس الگـ وريتم درشت سازي RS
در اين بخش به طور مختصر مروري بر الگوريتم ك لاسـيك AMG خواه يم داشت . توضيحات ب يشتر در مراجع [۳، ۴ و ۱۳-
۱۵] به طور مفصل آورده شده است. از آنجـا كـ ه اصـول چنـدشبكهاي در تمامي روشها يكسان است در اينجا مفاه يم اول يـ ه ازقبيل هموارساز ي، درشت سازي، عملگرها ي انتقال وسـيكلهاي چند شب كهاي را دانسته شده فـرض مـيك نـيم ( بـراي اطلاعـاتبيشتر به پيوست (الف) و يا مرجع [۱۶] رجـوع شـود). قبـل ازشرح مفاه يم مذ كور، ابتدا تعريف قطر غالب۷ و قويﹰا قطر غالب۸ را در ماتريس ضرايب بيان م يكنيم [۱۷]:
قطر غالب : اگر مجموع اندازه (قدرمطلق) درايه هـاي خـارجقطر هر سطر ماتريسAh كوچكتر از اندازه درايه روي قطـرباشد، آن سطر قطر غالب محسوب مي شود.
قويﹰا قطرغالب : اگر مجمـوع انـدازه(قـدرمطلق ) درا يـه هـاي خارج قطر هر سطر ماتريسAh كوچكتر از ۵% اندازه درا يـ ه روي قطر باشد، آن سطر قويﹰا قطر غالب محسوب مي شود.

۲-۱- درشت سازي استاندارد
براي سـادگي تنهـا يـك مرحلـه درشـت سـازي را بررسـي

شکل ۱ – الگوريتم درشت سازي استاندارد۱۰ [۴]

مي كنيم. فرض م يكنيمAh ماتر يس بـا قطـر غالـب بـوده وعناصر قطر ي آن همگي غ يـر صـفر و مثبـت باشـند. اجـزاي مربوط به شبكه درشت را بـا انـديسH و شـبكه ر يـ ز را بـاانديسh نشان مي دهـيم. در مـواردي كـه تـشخيص انـديس مربوطه واضح است، به منظور خلاصه نو يـسي از نوشـتن آنخودداري شده است.
سطرi ام از ماتريسAh نما يانگر اثر ساير گرهها بر گره i ام است. عليرغم همسا يگي فيزيكي برخـي گـرههـا بـا گـرهi ام، ممكن است اين گرهها بر گرهi ام تأثير نداشـته و 0=aij ب اشـد.
لذا مجموعه Ni را به عنوان مجموعه گره هاي همسايه ي مؤثر بـرگرهi تعريف مي كنيم ({Ni ={j:aij ≠ 0 ).
از بين گرههاي عضو مجموعهN i، كه براي گرهi مـشخصشدهاند، بعض ي از آنها اثر بيشتري بر اين گره دارند. اين گروه راكه زيرمجموعه اي از Ni هستند در مجموعه Si قرار م يدهيم:
(۲) { j بر i قويﹰا مؤثر باشد Si= { :∀j∈ Ni ملاك انتخاب اعضاي مجموعهSi ايناست كه نسبت انـدازهaij به حداكثر اندازه درايه غيرقطر، از كميت εstr بزرگتر باشد[۳]:

ij
a

ij

a

max(a )ik ≥εstr (۳)
kكهεstr يك ضر يب ثابت بين صفر و يك است . در كـ د تـدوين شده اين مقدار بـه پيـ شنهاد مرجـع [۳] برابـر بـا ۲۵/۰ در نظـرگرفته شده است.
از طرف ي هم ين گرهi ميتواند بر ساير گرهها قو يﹰا مؤثر باشدكه مجموعه گرههايي كه گرهi بر آنها قويﹰا مـؤثر اسـت، بـاSiT نمايش مي دهيم:
(۴) { i بر j قويﹰا مؤثر باشد =∀ ∈Ωj h : i ∈S j : { SiT كه در معادله (۴)،Ωh دامنه تمام انديسهاي گره هاي مجهول دردستگاه معادلات رابطه (۱) است.
براي درشت سازي، به ز ير مجموعهاي از گره هـا ي مجهـو ﹺلشبكه ر يز (شبكه واقع ي حل عددي) نياز است . اين عمل تجزيه درشت و ريز۹ نام يده م يشود. تجزيه درشـت و ريـ ز در حالـتايدئال با يد بهتر ين دقت را براي انتقال خطا از شبكه درشت بـهشبكه ريز فراهم آورد.
الگوريتم پيشنهادي روژ -اشتوبن۱۰ بـراي تجز يـه درشـت وريز كه درشتسازي استاندارد۱۱ ناميده ميشود، سه مجموعهU وF وC را مورد استفاده قرار ميدهد. ابتدا همـه گـرههـا درU قرار داده شده و مجموعههاي F (گرههاي ريز) وC (گـره هـاي درشت) تهي هستند. سپس مراحل زير انجام م يشود:
۱. كليه گرههايي كه سطر متناظر آنها در ماتريس Ah قو يـﹰا قطـرغالب است، از مـاتريسU خـارج و بـه مـاتريس F منتقـلمي شوند.
۲. از بين گرههاي باقيمانده درU ، گرهk كه بالاتر ين اولو يـ ت به عنوان گره درشت را دارد، انتخاب و به مجموعهC منتقل شده و كليه گرههايي كه گرهk بر آنهـا قو يـﹰا مـؤثر اسـت وهن وز در U هـستند، } U}SiT ∩، ب ه مجموعـه F منتق ل ميشوند. ملاك اولويت گره درشـت پـارامترλk اسـت كـ ه چنين محاسبه مي شود:
771906-55771

λ =i

SiT ∩ +U 2SiT ∩F
۳. مرحله ۲، تا صفر شدن λk تكرار شود.
۴. چنانچه در پايان الگور يتم هنوز گره هـايي درU باشـند، بـهمجموعه F اضافه شوند.
در پا يان الگوريتم، دو مجموعهF وC حاو ي گرههاي ريز و درشت هستند . روند الگور يتم فوق در شكل (۱) مشخص شـدهاست.
۲-۲- درشت سازي خشن
الگ وريتم ديگ ر ي ني ز ب را ي درش تسـازي، تحـت عنـوان درشتسازي خشن ۱۲، به كار م يرود. اين الگـوريتم تعمي مـي ازدرشت سازي استاندارد است. در ا ين روش، با توجـه بـه اينكـ ه گرههايي با چندين واسطه بر گره مورد بررسي مؤثرنـد، فـرضميشود كه گره مجاور مؤثر با طول ۱ و گرههاي مؤثر دورتر كه باl واسطه به اين گره وصل هستند، بـا طـولl باشـند. بنـابراين مفهوم اتصال قوي با طول بلند چنين تعريف مـي شـود: گـرهi داراي اتصال قوي با گرهj بـه طـولl اسـت اگـر دنبالـهاي از
گرهها(درحقيقت گـره هـاي واسـطه) i ,i ,0 1 ,il كـهi0 = i وil = j وجـــود داشـــته باشـــد بـــه طـــوري كـــه بـــراي
k = 0,1,2, ,l −1 داشته باشـيم: ik 1+ ∈Sik . از طرفـي مـسير رسيدن از گرهi به گرهj م يتواند بيش از يك مـس ير باشـد. لـذااگر در حالت كلي تعداد اين مسيرها را p بناميم، به ازاي مقـاد ير l ≥1 وp ≥1 ، گرهi دارا ي اتـصال قـوي بـا گـرهj اسـت بـااستفاده از اين تعري ف معادله (۲) را بازنويس ي ميكنيم:
با توجه به( p وj ،(l بر i قويﹰا مؤثر باشد
p,lh (۵)
Si ={j∈Ω : i }
بقيه مراحل مطابق الگوريتم درشتسازي استاندارد است.
در كد تدو ين شـده بـراي درشـت سـازي خـشن حالتهـاي p =1,l = 2 و p = 2,l = 2 مــورد اســتفاده قــرار مــيگيــرد.
همچنين اين روش تنها براي نخست ين مرحله درشتسازي مورداســتفاده قــرار گرفتــه و بقيــه مراحــل بــه روش اســتاندارددرشتسازي م يشود. دو حالت مذكور به ترتيب درشت سـازي 1A و 2A ناميــده مــيشــود. در كــد تهيــه شــده، تكنيــك درشتسازي خشن بر اساس مطالب بيان شـده در نظـر گرفتـهشده است.

۲-۳- عملگر ميانيابي
پس از آنكه تجز يه درشت و ريز انجام شد عملگر ميان يـابي۱۳ راميتوانيم محاسبه كنيم. وظيفه اصل ي عملگر ميانيابي انتقال خطـااز شب كه درشت به شب كه ريز اسـت . بـه عبـارت ديگـر تخمـين مقدار خطا در گره هاي ر يز از طريـ ق عملگـر ميان يـابي صـورتميگيرد.
دو روش متـداول بـرا ي ايـن منظـور وجـود دارد: ميانيـابي مستقيم و ميانياب ي استاندارد.
اي ن روشها با استفاده از معادله زير بنا شدهاند [۵]. (۶) a eii i + j N∑∈ i a eij j = 0 , i∈F
كه در آن ei مؤلفه خطا مربوط به گرهi ام است.
در ميانيابي مستق يم مقاد ير مربوط به گرههاي شـبكه درشـتبدون تغيير به گره متناظر (i∈C) در شبكه ريز انتقال مي يابد.
در معادله (۶) هدف محاسبهei است اما با توجه بـه اينكـه پس از درشتسازي برخ ي از مقـادير خطـاej (كـ ه مربـوط بـههمساي ههاي ر يز گرهi ميشوند) در دسترس نيست لـذا مجبـورهستيم وزن تأثيرگذاري اين مؤ لفه ها را به ساير گره هاي درشـتهمسايه منتقل كنيم. بيان ر ياضي اين فرايند در معادله (۷) ارائـهشده است.
ei = ∑ωik ke
k P∈ i
⎧−
ω =ik ⎪⎩⎪⎨−α−βi iki ikaa/ a (k/ a (kiiii∈∈P )P )ii+ , (۷)
∑ j N∈ i− aij∑ j N∈ +aij

α =i ∑ j P∈ i− aij , β =i ∑ j P∈ i+i aij
به اين ترت يب برا ي سا ير گرههاي ر يـز (i∈F ) از معادلـه فـوقاسـتفاده مـيشـود. در معادلـه (۷) Pi (مجموعـه ميانيـاب) بـه صــورت Pi = C ∩Si (مجموعــه گــره هــاي درشــت داراي همبستگي قوي با گرهi ) تعريف ميشود و براي هر مجموعهM شامل اعداد حقيقي غير صفر، +M به صورت زير مجموعه اي از M كه فقط شامل همه عناصر مثبت M است تعريف ميشـودو −M ن يز به طور مشابه فقط شامل همه عناصر منفيM است . البته معادله (۷) بر مبناي نظريه خطاي جبري هموار۱۴ شده، قابل استنباط است [۵] اما بيان قضا يا و فرضيات مورد نياز آن خـارجاز حوصله اين مقاله است.
در مسائل مورد بررسي اين مقاله ، +Pi تهـي اسـت ز يـرا درمسائل د يفيوژن، همه عناصر غير قطـري Ah منفـي هـستند . در ايـن صـورت 0β =i و معادلـه (۷) بـه صـورت زيـر اصـلاح مي شود:
ω =−αiki ika/ a (kii∈P )i
aii = +aii ∑ aij (۸)
+j N∈ iبه هر حال به منظور جامعيت كد بـراي حـل مـسائل مختلـف،احتمال وجود عناصر مثبت در مجموعه ميانياب در نظـر گرفتـهشده است.
عملگر م يانيابي نه تنها براي انتقال خطا از شبكه درشـت بـهشبكه ر يز بهكار مي رود بل كـ ه در تـشكيل عملگـر محدودسـاز، معادله (۱۱)، و تشكيل عملگر شبكه درشت نيـ ز نقـش اساسـي دارد، لذا دقت اين عملگر بر روي كارايي چنـد شـبكهاي تـأثير بسزايي دارد . يكي از روشهاي افزايش دقت ميان يـابي اسـتفاده از ميانيابي استاندارد (نسخه اصلاح شده ميانيابي مـستقيم) اسـت .
در م يانيابي مستق يم بـراي گـرهi تنهـا از گـره هـاي موجـود درمجموعهC كه دارا ي ارتبـاط قـوي بـا گـرهi هـستند اسـتفادهمي شود. در م يانيابي استاند ارد علاوه بر گرههاي مورد استفاده درميانيـابي بـه روش مـستقيم، آن دسـته از گـره اهـ ي موجـود در مجموعه F كه دارا ي ارتباط قوي با گرهi هستند نيـ ز بـه طـورغيـر مـستقيم در ميانيـابي نقـش دارنـد. بـرا ي ايـن منظـور در معادلــــه (۶) هــــر ej كــــه j∈F∩Si بــــه صــــورت
ej →−∑k N∈ j ajk ke/ ajj جا يگزين م يشود. به اين ترت يـ ب معادلات ر يز مربوط به همسايههاي ر يز دارا ي همبستگي قـوي، با معادله مربوط به گرهi ادغام شده و باعث بهبود دقت ميانيابي ميشود. در اين صورت معادله جديد حاصـل مـيشـود كـ ه بـاجمع آوري ضرا يب گرهها مي تـوان آن را بـه شـكل معادلـه (۶) نوشت. اگر ضرا يب جمع آوري شده را با بالانويس “مد” نمايش دهيم خواهيم داشت:

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

a eˆii i +∑ a eˆij j = 0 ,
j N∈ˆ i (۹)
Nˆ i ={j: j ≠ i,aˆij ≠ 0}
مجموعــــه ميانيــــاب در ايــــن حالــــت بــــه صــــورتPi =C [S∩ ∪ ∪i(j F S∈ ∩ i S )]j (مجموعه گره هـاي درشـت داراي همبستگي قوي با گره i و يا با همسايه ريز i) تعريف ميشود و با جايگزين كردن تمامa ها با ˆa وNi باNˆ i در معادلـه هـاي (۷) و (۸) فرمول ميانيابي استاندارد به دست ميآيد.
اگر تجز يه درشت و ريز بر اساس الگـوريتم درشـت سـازي خشن باشد (و يا در مواردي خاص در درشتسازي استاندارد ) امكان استفاده از ميانيابي استاندارد و مـستقيم تنهـا بـراي تعـدادمحدودي از گرهها ام كانپذير اسـت. در ايـ ن مـوارد از ميان يـابي چندگذر۱۵ استفاده ميشـود . بـراي گـره هـايي كـه ميان يـابي بـهروش هاي مــذكور امكانپ ـذير اســت ( ∅≠Pi ) از معادلــه (۷) استفاده ميشود. گرههايي كه م يانيابي شـدهانـد را بـا *F نـشانميدهيم. سپس برا ي تمام گره هـاي باق يمانـده ( *i∈ −F F) كـ ه ∅≠ *Si ∩ F ، ميانيابي به اين طر يق انجام ميشود كه در معادله
(۶) تمــ ام گــ ره هــ اي مثــ ل j كـــه *j∈Si ∩F ، بــ ه صورتej →∑ωjk ke جا يگزين مي شـود. بـه ايـ ن ترت يـ ب
k P∈ j
معادلهاي مشابه معادله (۹) حاصل مـي شـود و فرمـول ميان يـابي همانند آنچه در ميانيابي استاندارد انجام شد به دست م يآيد. در
اين حالت مجموعـه ميانيـ اب بـه صـورتj S∈∪iF* Pj تعر يـ ف ∩
مي شود.
براي افـزايش دقـت ميان يـابي بـه خـصوص در مـواردي كـ ه درشتسازي خشن انجام ميشود م يتوان از هموارساز ژا كـوبي۱۶ استفاده كـرد. در ايـ ن حالـت ابتـدا عملگـر م يانيـ اب بـه يكـي ازروشهاي مستق يم يا استاندارد محاسبه شده سپس بـراي هـر گـرهريز (i∈F) در معادله (۶)، همه گره هـاي j∈ =FiF∩ Ni ، بـهصورتej →∑ωjk ke جا يگزين م يشود. (معادلـه اي مـشابه
k P∈ j
معادله (۹) همانند ميانيابي اسـتاندارد حاصـل مـيشـود .) در ايـ ن حالت مجموعه ميانياب به صورت (C∩ ∪ ∪N ) (ij F∈ i P )j تعر يف ميشود. ميانيابي به روش فوق ميانيابي ژا كوبي كام ﹰلا هموار شـدهناميده ميشود[۳ و ۴]. البته ا ين فراينـد مـيتوانـد بـيش از يكبـار مورد استفاده قرار گيرد كه موجب افزايش دقت ميانيابي م ي شـود . در برخ ي موارد به جاي آن كه همه گرههاي j∈Fi به صورت بيان شده جا يگزين شود، تنها جايگزيني برا ي گرههايj انجام ميشود كــــه j∈F∩Si و مجموعــــه ميانيــــاب بــــه صــــورت
(C∩ ∪ ∪N )i (j F S∈ ∩ i P )j تعريف مي شود. استفاده از ميانيابي ژاكوبي، به دليل وجـود گـره هـاي داراي همبستگي غير مستق يم در مجموعه ميانياب، مم كن است باعـثافزايش تعداد اجزاي غ ير صفر۱۷ در عملگر ميانياب و در نتيجـهافزايش هز ينه محاسبات برا ي تشكيل عملگرها شود. بـه منظـوراجتن اب از م شكل م ذكور، در فرم ول مياني ابي، معادل ه (۷)، ض رايبي كـه نـسبت آنه ا ب ه بزرگت رين ض ريب، از ف اكتور
مقايسهεtr (در عمـل 0.2ε =tr[۳]) كـوچكتر بـوده حـذف وضرايب باقيمانده در عددي ضرب شده به طـوري كـه مجمـوعآنها نسبت به حالـت اوليـ ه عـوض نـشود. البتـه در حـالتي كـ ه ضرايب مثبت و منفي هر دو در فرمـول ميان يـابي وجـود دارنـدبراي اصلاح ضرايب به طور جداگانه عمل ميشود. (در مـسائلمورد بررسي اين مقاله چنين حـالتي وجـود نـدارد ولـي بـراي عموميت دادن به كد، الگور يتمهاي مربوط به اين مورد نيز لحاظشده است.)
سرانجام عملگر ميانيابي با اسـتفاده از روشـهاي مـذكور بـهصورت زير محاسبه ميشود:
⎧ eH if i∈Ch eih = (I ehH H)i =⎪⎨⎪∑i h ωik kh eH if i∈Fh (۱۰)
⎩k P∈ i

1201666-1566501

شکل۲- فضاي حل و شرايط مرزي مسئله براي دو حالت مختلف شرايط مرزي (۱) و (۲)
عملگر محدودساز ۱۸ به صورت ترانهاده عملگر ميانياب محاسبه مي شـود : IHh = (Ih TH) و سـرانجام عملگـر شـبكه درشـت بـااستفاده از اصل گالركين محاسبه مي شود:
AH = I A Ih h HHh (۱۱)
آنچه بيان شد خلاصـهاي از نظريـه مربـوط بـه الگـوريتمAMG است. اين الگور يتم در كدي به زبانC++ پيادهسازي شده اسـت.
در اين مقاله نتايج عددي، بر مبناي كد مذكور ارائه ميشود.

۳- حل معادله انتقال گرماي دائم دو بعدي به روش AMG
معادله پخش گرما در حالت دائم براي مسائل دو بعـدي دردستگاه مختصات كارتزين با فرض ضريب هدا يت ايزوتروپيك و عدم وجود چشمه گرمايي به صورت زير است:
143256106162

∂2T2 +∂2T2 = 0 (۱۲)
∂x∂y
كه در آنT دما و x وy مختصات فضايياند. گسـسته سـازي بـهروش تفاضل محدود به صورت پـنج نقطـه اسـتاندارد۱۹ صـورتمي گيرد. دو حالت براي شرا يط مرزي در نظر گرفته شده است. در حالت (۱) همه شرايط مرز ي از نوع ديريكله است . در حالـت (۲) شرايط مرزي شامل دو شرط نويمن مي شود. براي گسستهسازي در روي دو مرز بالا و پايين در حالت (۲) كـ ه شـرط عـايق بـودن را نشان ميدهد از تقريب مرتبه اول استفاده شده است.
ف ضاي ح ل و ش رايط م رزي مط ابق ش كل (۲) اس ـت.
شبكه حل و ترتيب گرهها در آن و پارامتر هاي گسسته سازي در شكل (۳) نشان داده شده است.


پاسخ دهید