εr,εθ σ سختي خمشي ورق ماتريس تنش- كرنش مدول الاستيسيته
ماتريس سختي خمشي ماتريس سختي هندسي توابع شكل
ضخامت ورق
ميدان جابه جايي در جهت r ميدان جابه جايي در جهت z D
Db
E
Kb
KG
N t
u
w

١- مقدمه
آزمايشات وتجربيـات نـشان داده اسـت كـه رفتـار بعـد ازكمانش ورقها با رفتار بعد از كمانش ستونها متفاوت اسـت، بـهطوري كه بار بحراني براي يك ستون را ميتوان بـه عنـوان بـارنهايي در نظر گرفت ولي يك ورق نازك بعـد از كمـانش خـودميتواند باري به مراتب بزرگتر از بار بحراني خـود را كـه درآنبار كمانش شروع ميشود تحمل كند؛ كه علـت ايـن امـر مهـمرفتار غشايي و تغيير شكل ورق به سمت يك سطح ناگستردنياست كه مورد اخير نيز به نوعي رفتار غشايي محـسوب شـده وبه طور خلاصه ميتوان رفتار غشايي را به عنوان عاملي در كناررفتار خمشي ورق مؤثر دانست.
طبيعتﹰا مقاومت چشمگير پس از كمـانش صـفحات، دسـتاندركاران علوم مهندسي وصنعتي را در اين فكر فرو ميبرد كـهدر مورد سازههايي كه در آنها محدوديت وزن وجود دارد ماننـدهواپيمــا، ســفينه هــاي فــضايي، ميكروســويچها و تيــر ورقهــا حتي المقدور از ظرفيت يا استحكام بعـد از كمـانش آن اسـتفادهشود. مقاومت بع د از كمانش ورقها داراي چنان اهميتي است كهگفته ميشود اگر در طراحي بدنه هواپيما از اين مقاومت استفادهنميشد هيچ هواپيمايي قادر به بلند شدن از زمين نبـود. تحليـلچنين رفتاري كه بعد از كمانش به وقوع ميپيوندد با فرمولبندي مسئله در تغيير شكلهاي بزرگ امكانپذير است.
را براي مقادير مختلف ضخامت و سختي بـستر الاسـتيك ارائـه تواني به بررسي رفتار بعد از كمانش ورقهاي لايه لايـهاي مـدوركردنـد. رائـو و راجـو [١٠] ١٩٨٧ بـا اسـتفاده از روش اجـزاي در حالت متقارن پرداخت و ميزان رهايي انرژي در حالتهاي قبل
بنا به دلايل فوق در مـورد اهميـت مـسئله مقاومـت بعـد ازكمانش صفحات، تحقيقات دراين خصوص از سال ١٩١٠ شروعشد و تا كنون در اين زمينه پيشرفتها ي قابل توجهي حاصل شـدهاست. ورق مربع مستطيل با تكيه گاه ساده كـه از اطـراف كـاملامهار شده باشد، به علت سادگي در هندسه و درونيابي ميـدانهاي جابهجايي از جمله اولين مسائل تحقيقاتي است كه در اين زمينـهانجام شده ؛ و ارجاع به كتابهاي نظريه صفحات و پوستهها ماننـدتيموشنكو [١و٢]، يوگرال [٣]، ردي [٤] و داگلاس [٥] خواننـدهرا به تاريخچه موضوع آشنا ميسازد. رائو و راجـو [٦] ١٩٧٨ بـااستفاده از روش اجزاي محدود به بررسي رفتار بعـد از كمـانشورقهاي مـدور ايزوتروپيـك، بـا شـرايط تكيـه گـاهي مفـصلي وگيردار، تحت بارگـذاري يكنواخـت شـعاعي پرداختنـد. ردي وهمكاران [٧] ١٩٨٠ با استفاده از روشتفاضل محدود رفتار بعـداز كمانش ورقهاي حلقوي ايزوتروپيك و اورتوتروپيك را تحتاثر بارگذاري يكنواخت شـعاعي در داخـل وخـارج، بـا شـرايطتكيهگاهي مختلف مورد بررسي قرار دادند. دومر و همكاران [٨] ١٩٨٤ با استفاده از روشترتيب نقاط متعامد به تحليل رفتار بعداز كمـانش ورقهـاي حلقـوي اورتوتروپيـك در حالـت متقـارن پرداختند و نتايج خود را براي حالتهاي مختلـف شـرايط مـرزيارائه كردند . رائو و راجو [٩] ١٩٨٥ بـا اسـتفاده از روش اجـزاي محــدود بــه بررســي رفتــار بعــد از كمــانش ورقهــاي مــدورايزوتروپيك، با در نظر گرفتن اثـر بـرش، تحـت اثـر بارگـذارييكنواخت شعاعي، بر روي بستر الاستيك پرداختند و نتايج خـودورقهاي مدور با تغييـر ناگهـاني ضـخامت (پلـه اي) تحـت اثـربارگذاري يكنواخت پرداختنـد و نتـايج خـود را بـراي حالتهـايمختلف شرايط مرزي ارائه و مشاهده كردند كه اندازه پلـه تـأثيرب سيار مهم ي در كم انش و رفت ار بع د از كم انش ورق دارد.
همچنين ايشان [١٥] ١٩٩٤ با استفاده از روش اجزاي محدود بـهبررسي رفتار بعد از كمانش ورقهـاي مـدور ايزوتروپيـك، بـا درنظر گـرفتن اثـر بـرش، بـر روي بـستر الاسـتيك كـه در مقابـلچرخش مقاومت ميكند را در حالتهاي ورق تحت اثر بارگذاريو دماي يكنواخت شعاعي مورد بررسـي قـرار دادنـد. ازهـري وهمكاران[١٦] ١٩٩٥ با استفاده از روشنوار محدود رفتار بعـدازكمانش ورقهاي مربع مستطيل با شـرايط مـرزي مختلـف مـوردبررسي قرار دادند. وانگ [١٧] ١٩٩٨ با استفاده از روش سريهاي
مح دود ب ه بررس ي رفت ار بع د از كم انش ورقه اي حلق ويايزوتروپيك، تحت بارگذاري يكنواخت شعاعي در داخل حلقـهپرداختند. راماچاندرا و همكاران [١١] ١٩٨٩ با اسـتفاده از روشاجزاي محدود به بررسي كمانش و رفتار بعد از كمانش ورقهـايمدور و حلقوي تحت اثر بارگذاري يكنواخت شعاعي پرداختند،در تحقيق ايشان از مادهاي كه رفتارش در كشش و فشار متفاوتبود استفاده شده است و آنها نتايج خود را براي حالتهاي مختلفشرايط مرزي ارائه كردند. رائو و راجو [١٢] ١٩٩١ با اسـتفاده ازروش اجزاي محدود به بررسي رفتـار بعـد از كمـانش ورقهـايمدور ايزوتروپيك، تحت اثر دماي يكنواخـت شـعاعي، بـر رويبستر الاستيك كه در مقابل چرخش مقاومت ميكند، پرداختنـد ونتايج خود را بـراي مقـادير مختلـف ضـخامت و سـختي بـسترالاستيك ارائه كردند. رائو و راجو [١٣] ١٩٩١ با استفاده از روشاجزاي محدود به بررسي رفتار بعـد از كمـانش ورقهـاي مـدوراورتوتروپيك، در حالت متقارن، بر روي بـستر الاسـتيك كـه درمقابل چرخش مقاومت ميكند را بررسي و نتايج خـود را بـرايحالتهاي مختلف بستر ارئه كردند. همچنين ايشان [١٤] ١٩٩٣ بـااستفاده از روش اجزاي محدود به بررسي رفتار بعـد از كمـانشو بعد از كمانش براي وقتي كه ورق داراي يك ترك ريـز اسـترا محاسبه كرد. برادفورد و همكـاران [١٨] ١٩٩٨ بـا اسـتفاده ازروشگالركين به تحليل رفتار كمانشي ورقهاي مربع مـستطيل ومثلثي پرداختنـد و بـار بحرانـي را بـراي آنهـا محاسـبه نمودنـد.
سعادتپور و همكاران [١٩] ١٩٩٨ بـا اسـتفاده از روش گـالركينتحليل استاتيكي غيرخطي ورقهاي مربـع مـستطيل بـا تكيـهگـاهمفصلي را مـورد بررسـي قـرار دادنـد. شـهيدي [٢٠] ٢٠٠٠ بـااسـتفاده از روش گـالركين تحليـل رفتـار بعـد از كمـانش ورق متوازي الاضلاع و يا چهـار ضـلعي دلخـواه را بـا شـرط مـرزيمفصلي مورد بررسي قرار داد. وانـگ [٢١] ٢٠٠٠ بـا اسـتفاده ازروش سريهاي تواني به بررسي رفتار بعد از كمانش ورق مـدوردر حالت متقارن پرداخت و پديدهكمانش ثانويه را مورد مطالعـهقرار داد و در انتها بار بحراني را براي اين حالـت محاسـبه كـرد .
سين و پائول [٢٢] ٢٠٠٣ با استفاده از روش ريلي – ريتـز تغييـرشكل متقارن بزرگ ورق در حالت اسـتاتيكي بـراي ورقهـاي بـاهندسه هاي زير مورد بررسي قرار دادند :
ورق مربعي با سوراخهاي مربع و مدور در مركز
ورق مدور با سوراخهاي مربع و مدور در مركز
3240025-761

بزرگ ميشود و كشيدگي در ميان صفحه ورق به وجود مـيآيـدديگر از نظريه تغيير شكلهاي كوچك كيرشـهف-لاو١ نمـي تـواناستفاده كرد و بايـد بـه سـراغ نظريـهاي رفـت كـه بتوانـد تغييـرشكلهاي بزرگ الاستيك را مدل كند كـه در ايـن مقالـه از نظريـه ون-كارمن٢ يراي اين منظور استفاده و فرمولبندي مـسئله بـر ايـناساس انجام شده است. نكته مهمي كه در اسـتفاده از ايـن نظريـه بايد به آن توجه كرد، محدود بودن جابهجاييها است به طوري كهشكل ١ در اين نظريه براي نسبت ماكزيمم خيز به ضخامت ورق كمتـر از ٢ جوابها مورد قبول اسـت و بـراي بيـشتر از ايـن نـسبت ديگـر
آنها نتايج خود را در مقايسه با اجزاي محـدود بـسيار دقيـقنمي توان از اين نظريه استفاده كرد [٣].
ديدنــد. وانــگ و همكــاران [٢٣] ٢٠٠٣ بــا اســتفاده از روش
شوتينگ به بررسي خمش و رفتار بعداز كمانش ورقهاي مـدوراز جنس اف جـي ،ام تحـت اثـر بارهـاي گرمـاي ي و مكـانيكيمتقارن پرداختند و يكي از نتـايج آنهـا ايـن بـود كـه ايـن مـادهمقاومت بيشتري نسبت به فلزات در مقابل خمش از خود نشانميدهد. يانگ پينـگ و همكـاران [٢٤] ٢٠٠٣ بـا تركيـب روش نيوتـون و هارمونيـك بـالانس روش تحليلـي تقريبـي را بـراي تحليـل رفتـار بعـداز كمـانش ورق حلقـوي تحـت اثـر فـشار يكنواخت هيدرواستاتيكي پايه گذاري كردند و نتايج خود را درمقايسه با حـل دقيـق بـسيار عـالي ديدنـد. ازهـري، شـهيدي وسعادتپور [٢٥] ٢٠٠٤ بـا اسـتفاده از روش ريلـي- ريتـز رفتـاربعـداز كمـانش ورقهـاي مربـع مـستطيل بـا تغييـرات ناگهـاني ضخامت و شرايط تكيهگـاهي مختلـف را مـورد بررسـي قـراردادند. وانگ و همكاران [٢٦] ٢٠٠٥ براي معـادلات سـه بعـدي٢- دستگاه مختصات
در بسياري از مسائل مكانيـك محيطهـاي پيوسـته كـه درعمل با آن مواجهايم، شكل هندسي سيستم مـورد مطالعـه بـهگونهاي است كه تحليل مسئله در دستگاه مختصات كارتزين،مشكل و شايد ناممكن باشد . لذا انتخاب دسـتگاه محورهـايمختصات ديگر ضروري است. به عنوان مثال در حل ورقهايدايرهاي از دستگاه مختصات قطبي استفاده ميشـود . ولـي دراين مقالـه بـراي سـادگي بيـشتر در محاسـبات و اسـتفاده ازانتگرالگيري عددي بـه روش گـوس، از دسـتگاه مختـصاتطبيعي كه بين- ١تا ١ تغيير ميكند استفاده شده؛ كه بااستفادهاز يك نگاشت به صورت رابطه (١) ارتبـاط بـين دو دسـتگاهمشخص ميشـود . مراحـل نگاشـت در شـكل (١) مـشخصاست.
حاكم بر رفتار كمانشي ورق، حلي مناسـب ارائـه كردنـد و بـاربحراني را براي ورق با شرايط مرزي مفصلي و گيردار محاسـبهكردند.
هدف از انجام اين مقالـه تحليـل رفتـار بعـداز كمـانش ورقمـدور تحـت اثـر بارگـذاري يكنواخـت شـعاعي داخـل سـطح (In-plane) با استفاده از روش ريلي- ريتز است كـه در حالتهـايمخنلف اين بارگـذاري بـر روي مـرز داخلـي يـا خـارجي قـرارميگيرد. در تحليل رفتار بعداز كمانش بهدليل اينكه تغييـر شـكلها
r =

a2(1−ξ +)

b2(1+ξ)θ=π(1+η) (١)

٣- درونيابي ميدانهاي جابه جايي و توابع شكل
327676833632

ميدانهاي جابهجايي در ميان تار ورق داراي دو مؤلفه مستقلجابه جايي w,u به ترتيب در امتدادهاي, z, r هستند كه به شكل زير بيان ميشود (٢) Up = u w T با استفاده از توابع درونيابي مناسب، ميدان جابهجايي به صورتزير درونيابي مي شود
n u

Nui uˆi
n (٣)
w =∑ Nwi wˆ i
=i 1 كه در روابط فوق ˆ ˆw,u مختصات تعميم يافته ناميده مي شـوند .
همچنـين Nui توابـع شـكل داخـل سـطح و Nwi توابـع شـكل خ ارج س ـطحاند. در ادام ه رابط ه (٣) به ش كل ماتريسي زير
⎨⎧ ⎫wu⎬=∑n ⎡⎣⎢N0uiN0wi ⎤⎥⎦⎨⎩⎧wuˆˆii ⎬⎭⎫ (٤)
⎩ ⎭i 1=
و يا به صورت زير بازنويسي ميشود
n
Up =∑ Ni ∆i (٥)
=i 1 همچنين در حالت كلي مي توان نوشت (٦) ∆Up = N
توابع شكل بهكار رفته در خارج از سـطح در جهـت شـعاعيξ شامل ده تابع چند جملهاي بوده كه چهـار تـابع اول آن، توابـع هرميت درجه سه هستند كه در شرايط مـرزي مختلـف، ممكـناست تعدادي از آنها حذف شوند. شش تابع ديگـر نيـز از نـوعتوابع شكل طبقاتياند كه در مختصات طبيعي از فرمول كلي زيرتبعيت ميكنند.
r
664464-109914

N ( )r ξ =∑2 ( 1) (2− nnr −2n −7)!!( )ξ r 2n 1− − (٧)

توابع شكل بهكار رفتـه در داخـل سـطح در جهـت شـعاعي ξ شامل ده تابع چنـد جملـهاي بـوده كـه دو تـابع اول آن، توابـعلاگرانژ مرتبه اول بوده كـه در شـرايط مـرزي مختلـف، ممكـناست يكي از آنها حذف شود. هشت تابع ديگر نيز از نوع توابعشكل طبقاتي اند[٢٨].

٤- فرمولبندي مسئله بر اساس روش ريلي- ريتز
٤-١- كمانش

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

انـرژي كرنـشي ناشـي از خمـش ورق بـا شـعاع داخلـي a وخارجي b را مي توان به صورت زير بيان كرد[٢] (٨) Ub =

12 ∫∫A κTDb κ dA
كه در آنDb ماتريس تنش كرنش مسئله ورق بوده كه به شـكلزير نوشته مي شود:
Db = 12(1

Et−ν3 2) ⎡⎢⎣ν1 ν1⎤⎥⎦ (٩)
كه ν ضريب پواسون و t ضخامت ورق و E مـدول الاستـسيتهميباشد. همچنين بردار انحنا در ميان صفحه ورقκ به صورتروابط زير ارائه ميشود
⎡∂2⎤


⎧κr ⎫ ⎢0∂r2⎥⎧ ⎫u κ =⎨⎪⎪κ ⎪⎬=⎢⎢⎥⎥⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪w (١٠)


85802869342

⎩ θ⎭ ⎢⎢01r ∂∂r + r12 ∂θ∂22 ⎥⎥⎦⎩ ⎭
⎣با جاگذاري رابطه (٧) در رابطه فوق داريم
κ = L Ubp = L Nb ∆= Bb∆ (١١)
كه در رابطة فوق Bb , Lb به ترتيب اپراتورهاي مـشتق گيـري دررفتار غشايي و ماتريس حاصل از اثر آن بر توابع شكل هـستند.
حال ميتوان معادله (٨) را به شكل زير بازنويسي كرد (١٢) ∆Ub =

12 ∫∫A ∆T TB D Bb b b∆ dA =

12∆T Kb كه در آنKb ماتريس سختي خمش ورق، به صورت زيـر بيـانمي شود
Kb = ∫∫A B D B dATbbb (١٣)
كارانجام شده ناشي از بار شعاعي Nr وارد شده به ميان صفحه را مي توان به صورت زير نوشت
⎡ ∂w ⎤

⎢ ∂r ⎥
W

⎣⎦⎢⎡⎣θ⎥⎤⎦⎢⎢⎢1 ∂ ⎥⎥⎥dΩ (١٤)


⎣r ∂θ⎦
كه در رابطه فوقσθ , σr مقادير تنشهاي داخل سطحانـد كـهبراي ورق تحت فشار خـارجي بـه صـورت زيـر و بـراي ورقتحت فشار داخلي به صورت رابطه(١٦) تعريف ميشوند[٢٩]
2 22
367284107565

σ =r a b Nro 1 − b Nro b22 2−a2 r2 b2 −2a2 (١٥)
467868141992

a b N1b N σ =−θro −ro
b2 −a2 r2b2 −a2
454914115313

σ =−ra b N2 2ri 1 + a N2ri
2 2b2 −a2 r2b22 −a2 (١٦)
380238140626

a b N1a N σ =θri +ri
b2 −a2 r2b2 −a2
كه در روابط فوقNri و Nro بـه ترتيـب نيروهـاي داخلـي وخارجي بر واحد طول وارد شده به ميان صفحهاند. با استفاده از تعريف ماتريس مشتقات توابع شكل در رفتار كمانشي به شـكلزير
⎡∂ ⎤
0

15392479888

⎢⎢⎢1∂r ⎥⎥⎥⎨ ⎬⎧ ⎫⎩ ⎭wu = BG∆ (١٧)
⎢⎣r ∂θ⎥⎦
رابطة (١٤) به صورت زير بازنويسي ميشود (١٨) ∆W =−

12 ∫∫Ω ∆T TBGσBG∆ dΩ =

12∆T KG كه در آنKG ماتريس سـختي هندسـي بـوده و بـه شـكل زيـرمحاسبه مي شود
KG = ∫∫A BGT σBG dA (١٩)
كه در روابط فوقσ ، ماتريس شامل مؤلفههاي تنش داخل سطحاست. انرژي پتانسيل كل ورق ناشي از نيروهاي خارجي وارد بهميان صفحه و خمش به شكل زير بيان مي شود (٢٠) ∆Π = Ub −W =

12∆T Kb∆-

12∆T KG
بر اساس روش ريتز، بـراي برقـراري تعـادل، تغييـرات انـرژيپتانسيل ارائه شده در رابطه فوق به صورت زير و مساوي صـفراست
δΠ δ= U+δW =δ∆T (Kb −KG )∆= 0
با توجه به اختاري بودن ∆δ رابطة فوق به شـكل رابطـه زيـرنوشته ميشود
(Kb −λKG)∆=0
رابطه فوق يك مسئله مقدار ويژه است كه با حل آن،λ مي نيمم مقدار ويژه بار بحرانـي ورق و بـردار ويـژه نظيـر آن، مـود اولكمانشي است. ارتباط بار بحرانـي بـا ضـريب بـار بحرانـي بـهصورت زير است.
Ncr =λcr

bD2

٤-٢- رفتار بعداز كمانش
٤-٢-١- ميدان جابه جايي هوكين
ميدان جابهجايي هوكين دراكثر موارد كاربردهـاي صـفحاتنازك در صنعت، سـخت كننـدههـايي روي جـداره آنهـا تعبيـهميكنند كه موجب افـزايش تـوان بـاربري ورق مـيشـود . ايـنسخت كنندهها ممكن است شامل صفحات ضخيمي باشد كه بهورق جوش شدهاند و يا ميتواند لبـه تاشـدة خـود ورق باشـد.
عمدتﹰا سختي اين سخت كنندهها در مقابـل سـختي ورق بـسيارزياد است به طوري كه ميتوان براي تحليل رفتار پس ازكمانشصفحات فرض را بر اين گذاشت كه صفحه ازاطراف به قطعاتصلب متصل است و يا حداقل بار از طريق قطعـات صـلب بـهورق منتقل ميشود كه بسته به نوع محل قرار گرفتن اين سختكنندهها مسائل متفاوتي مطرح ميشود. با توجه به اين كه عمدتﹰادر كاربرد صفحات نازك درصنعت بار از طريق سخت كنندههـابه ورق منتقل ميشود ميتوان براي تحليل رفتار بعد از كمـانشصفحات كنترل مسئله را روي جابهجاييهاي مرزي كه به ميـدانجابه جايي هوكين معروف است قرار داد.
درتحليـل رفتـار بعـد از كمـانش بـه علـت اينكـه خيـز يـاجابهجاييها بزرگتر از ضخامت ورق ميشوند، ديگر نمي تـوان ازتنش و كرنش كه در ميان صفحه بهوجود ميآيد صرف نظر كـرد.
پس با تعريف انرژي كرنشي ناشي از كشيدگي ميان صـفحه دررابطه (٢٤) به ادامه فرمولبندي مسئله ميپردازيم[١] (٢٤) Um

(
)
2
2
2
A
Et
2(1
)
θ
θ
ε+ε+νεε
=
−ν
∫∫


پاسخ دهید