از آنجا كه در اكثر موارد زمين واقعـي تحـت مطالعـه دارايپيچيدگيهاي ذاتي است لذا انجام مدلسازيهاي يك بعدي و يـاحتي دو بعدي براي نيل به مقاصد اكتشافي كافي نبوده و نياز بهانجام مدلسازي سه بعدي به خوبي احساس مـي شـود . ولـي بـهدليل پيچيدگيهاي محاسباتي موجود در فرايند مدلسازي پيـشروسه بعدي، انجام مدلسازي با مشكلات متعددي مواجه است. لذا تلاشهاي زيادي براي تسهيل محاسـبات مربـوط بـه مدلـسازيپيشرو صورت گرفته است كه از آن جمله ميتوان به محاسباتمبتني بر روش تفاضلات محـدود مكـي و همكـاران (۱۹۹۴) واسميت (۱۹۹۶)، روش اجزاي محـدود وانـاميكر و همكـارانش(١٩٨٧)، روشهاي مبتني بر معادلات انتگرال واناميكر (١٩٩١) و

شكل ۱- تصوير راست نمايش حالت ناهم مبدا و تصوير چپ حالت هم مبدا را براي توابع برداري E,H نشان مي دهد.

روشهاي مبتني بر استفاده از چند جملـهايهـا پيـر آنـدره چنـگ(۱۹۹۹) اشاره كرد[۳ و ۴]. موارد ياد شده پيـشگامان مدلـسازيسه بعدي پيشرو مگنتوتلوريك محسوب ميشوند و تلاش برايبهينه ساختن محاسبات عددي مورد نياز براساس روشهاي فوقهمچنان در دستور كار محققان قرار دارد [۵].
از ميان روشهاي فوق، روشهاي تفاضلات محدود بـه دليـلساده بود ن الگوريتم گسستهسازي براي تشكيل ماتريس ضرايبو قابليت ساخت مدلهاي پيچيـده از اهميـت بـالايي برخـورداراســت. مكــي و همكــارانش (۱۹۹۶) بــا اسـ تفاده از روش گسستهسازي ناهم مبدا ارائه شده توسط يـي (۱۹۵۶) الگـوريتممدلسازي پيشرو سه بعدي براي مگنتوتلوريك را ارائه كردند. از جمله مهمترين مشكلات اين روش عدم امكـان ارضـاي كامـلمعادلات ماكسول و عدم امكان استفاه از الگوريتم يـاد شـده درحالت دو بعدي به دليل استفاده از انتگرالهاي سه بعـدي اسـت.
لازم به ذكر است كه موثرترين روشـهاي مدلـسازي پيـشرو دوبعدي مگنتوتلوريك از طريق استفاده از روش اجزاي محـدود ودر حالت هم مبدا حاصل شده اند[۶ و ۷].
با توجه به موارد ياد شده، اين تحقيق به ارائه روشي نـو دراين خصوص ميپردازد. روش حاضر بر پايه تفاضلات محـدوددر حالت هم مبدا اجرا شده و در طـي آن از الگـوريتمي بـرايدستيابي به پاسخ كاملا سه بعدي مگنتوتلوريك استفاده مي شود. در اين تحقيق نخست نحـوه مدلـسازي عـددي بـا بررسـيچگونگي ايجاد مش درانجام حل عددي و شرايط مـرزي مـوردنياز براي روشهاي حل عددي بررسي ميشـود . در ادامـه روشاصلي استفاده شـده در تحقيـق حاضـر يعنـي روش تفاضـلاتمحدود سه بعدي به طور كامـل تـشريح شـده و ضـمن بررسـيمشكلات موجود، تكنيكهاي لازم براي حل آنها ارائه شده است.

۲- مدلسازي پيشرو مگنتوتلوريك به روش تفاضلات محدود
به طور كلي براي انجام مدلسازي پيشرو، توزيع مؤلفـههـايميدان بر روي شبكه مسئله به دو صورت زير قابل تصور است،شكل (۱)
در حالت هم مبدا، شكل (۱- چپ ) بر روي هر نقطه واقـعبر شبكه هر سه مؤلفهy،x وz ميدان در نظر گرفته ميشـوند امـادر حالت غير هم مبدا، شـكل (۱- راسـت) مؤلفـههـايy،x وz ميدان منطبق برهريك از يالهاي متـوازي مربـوط بـه خـود( در شكل (۱) براي ميدان الكتريكي) و يا به صورت عمود بر وجوه(در شكل (۱) براي ميدان مغناطيسي) در نظر گرفته مـيشـوند .
بدين ترتيب واضح است همه مولفههـاي ميـدان در يـك نقطـهحاضر نخواهند بود.
روش ناهم مبدا نخستين بار توسط مكـي همكـارانش(۱۹۸۹) براي مدلسازي پيشرو سه بعدي مگنتوتلوريك به كار گرفته شد[۶] كه در سالهاي (۱۹۹۳) و (۱۹۹۴) بهبـود يافـت [۷] و از آن زمـانمبناي انجام كليه مدلسازيهاي سه بعدي پيـشرو مگنتوتلوريـك بـهروش تفاضلات محدود قرار گرفته است. به عنوان مثال ميتوان بهروش كورالت و همكارانش (۲۰۰۷) اشاره كرد [۸].
در روشهاي ناهم مبدا ميدانهاي الكتريكـي و مغناطيـسي بـهصورت به هم وابسته ظاهر ميشوند و درواقع با استفاده از يكياز آنها ديگري قابل محاسبه خواهد بود. اما اشـكال عمـده ايـنروشها عدم امكان ارضاي همزمان معادلات مربـوط بـه ايـن دوميدان است [۷]. همچنين خطـاي محاسـبه ميـدانها بـه يكـديگروابسته خواهند بود[۹]. ضمنا به دليل ماهيـت سـه بعـدي روشحل، اصولا امكان استفاده از ايـن روشـها در حالـت دو بعـديميسر نيست [۶ و ۷].
اما در حالت هم مبدا اين امكان وجود دارد كه بتوان مقـاديرمربوط به ميدانها را به طور مستقل از يكديگر محاسبه كرد و درهر نقطه از محيط مسئله كليه مؤلفههاي ميدان را به دست آورد.
به دلايل ياد شده، براي نخستين بار، اين روش مبناي مدلـسازيپيشرو سه بعدي مگنتوتلوريك به روش تفاضـلات محـدود درتحقيق حاضر قرار گرفته است.

۲-۱- فرمولبندي مدلسازي پيشرو مگنتوتلوريك هم مبدا
در حالت هم مبدا لازم است روابـط پايـه مـورد نيـاز بـرايگسستهسازي هريك از ميدانها به شكلي مستقل به دست آيد. به عنـوان مثـال بـه دو رابطـه ذيـل كـه منـتج شـده از معـادلاتماكسول اند اشاره مي شود[۹]:
∇×∇× = ωµ σEi0 E (۱)
∇×⎜⎝⎛

σ1 ∇×H⎟⎠⎞= ωi µ0H (۲)
در حالت كاملتر اين امكـان وجـود دارد كـه ميـدانهاي اوليـه وثانويه به صورت مجزا از يكديگر مورد بررسي قرار گيرند. ايـنامر در نهايت بـه ارائـه تحليلـي بهتـر از نتـايج مـسئله خواهـدانجاميد. از اين رو، با فرض تخت بودن مـوج الكترومغناطيـسياوليه، روابط ارائه شده توسط هامن (۱۹۸۳) مبناي مدلسازي درتحقيق حاضر قرار گرفته است[۵]:
245516459885

∇2Es +∇⎝⎛⎜E .s

∇σσ ⎠⎞⎟+k E2s =−k Ea2p −∇⎛⎝⎜E .p ∇σσa ⎞⎠⎟ (۳)
∇2Hs +σ ∇×(Hs)×∇⎛ ⎞⎜ ⎟1 +k H2 s
⎛σa⎝ ⎠⎞σ (۴)
=−k Ha p2− σ∇⎜⎟×Ep
⎝ σ ⎠
كـه در آنهـا E و H بـه ترتيـب معـرف ميـدانهاي الكتريكـي و مغناطيسي،ω معرف سرعت زاويهاي، p وs به ترتيـب معـرفمؤلفههاي اوليه و ثانويه، 0µ گذردهي مغناطيسي خلأ،σ معـرفرسانش الكتريكي وσa معرف اختلاف رسـانش الكتريكـي درهر نقطه از محيط مسئله با همان مقدار در حالـت حـذف تـودهناهمگن است. k وka نيز به صورت زير تعريف ميشوند:
304800-37070

k = iωµ σ ka = iωµ σ00 a

۲-۲-گسسته سازي مورد نياز براي تفاضلات م حدود هم مبدا بــه طــور كلــي دو روش بــراي گســسته ســازي در روش تفاضلات محدود تاكنون پيـشنهاد شـده اسـت، نخـست روشگسستهسـازي بلـوكي ارائـه شـده توسـط اريـستاگليو و هـامن(۱۹۸۳) كه از نظر مبنايي داراي مـاهيتي نظيـر اجـزاي محـدوداست و دوم روش گسستهسازي نقطهاي كه روشـي سـادهتـر و متداول در اكثر گسسته سازي هاست[۵ و ۱۰].
گسسته سازي به روش بلوكي ياد شده به كمك انتگرال گيري از روابط ديفرانسيلي امكانپذير بـوده و در حالـت دو بعـدي بـهخوبي مورد استفاده قرار گرفتـه اسـت [۱۰]. همچنـين اگـر درمسائل شرط نيومان ظاهر شوند گسستهسـازي بلـوكي يكـي ازبهترين حالتها براي پوشش دادن چنين شرطهايي خواهد بود. اما در گسستهسازي بلوكي در حالت سه بعدي ممكن است بعـضياز مؤلفههاي مربوط به مـشتقات ظـاهر شـده در معـادلات (۳) و(۴) صفر شوند [۱۱]. در روش گسـستهسـازي نقطـهاي چنـينمشكلي ايجاد نخواهد شد. روش گسستهسازي نقطهاي بر مبنايارائه سري تيلور و محاسبه تخميني از تابع با حـذف قـسمتهايياز اين سري استوار است كه به عنوان مثال گسستهسازي جملـه سمت چپ معادله (۳) براي مؤلفهx به صـورت ارائـه شـده درپيوست انجام شده است.
لازم به ذكر است طراحي مش مورد نياز براي گسستهسازي نيز بر اسـاس پيـشنهادات ارائـه شـده توسـط ويـور (۱۹۷۴) و واناميكر(۱۹۸۷) صورت گرفته و براي هوا نيز حـداقل ۱۰ لايـهبراي حذف اثر قطبيدگي مغناطيسي لحاظ شده است[۴و۱۳].

۳- شرايط مرزي لازم براي انجام مدلـسازي پيـشرو مگنتوتلوريك
3665232586995

درحالت كلي دو دسته شرط براي حل مسائل مگنتوتلوريكقابل تصور است . نخست شرط حاكم بر مرزهايي كه محيطهـايبـا مقاومـت ويـژه متفـاوت را از هـم تفكيـك مـي كننـد و دوم شرايطي كه در مرزهاي اطراف شبكه مسئله حاكماند. شـرطهايمربوط به مرزهاي داراي تغيير در مقاومـت ويـژه الكتريكـي بـااستفاده از روابط ارائه شده توسط تلفـورد و همكـاران (۱۹۷۴) تــامين مــي شــوند [۱۲]. امــا در مــورد مرزهــاي اطــراف درمدلسازيهاي پيشرو مگنتوتلوريك استفاده از شرط ديريكله امريمعمول است [۴ و ۱۳]. از اين رو به طور دلخواه از شرط مرزيميدان ثانوي برابر صفر در مرزهاي شبكه استفاده شده است كـهاين امر مستلزم گسترش بسيار زياد ابعاد مسئله تا ۸ برابر عمـقپوستهاي ميشود( عمق پوسته برابر اسـت بـا1σ.freq 500 ).
البته براي كاستن از ابعاد فـضاي مـسئله مكـي و همكـارانش ازمدلسازي معكوس دو بعدي در چهار پروفيل دو بـه دو متعامـددر مرزهاي جانبي استفاده كردهاند كه از جمله محـدوديت ايـنراه حل، نياز بـه در دسـت بـودن داده هـاي برداشـت صـحراييمحسوب ميشود. همچنـين لزومـا فـرض زمـين دو بعـدي درمرزهاي نزديك صحيح نخواهد بود. گرچه استفاده از روشـهايچند شبكه اي نيز پيشنهاد شده اند[۷].
در تحقيق حاضر فرض بر استفاده از زمـين همگـن و شـرطمرزي صفر براي ميدانهاي ثانويه است و مقاومت الكتريكي ويـژههوا نيز مقدار ۱۰۶ اهم متر لحاظ شده اسـت. بـراي اعمـال كليـهشرايط مـرزي از روش پيـشنهاد شـده توسـط هـوبنر (۱۹۷۵) بـااعمال ضرب يك عدد بزرگ دلخواه در كليـه مقـادير مربـوط بـهمرزها در ماتريس ضرايب و بردار مقادير استفاده شده است[۱۴].

۴- روش حل معادله ماتريسي نهايي
پس از تشكيل معادله ماتريسي نهايي و تامين شـرايط مـرزي،امكان حل معادله فراهم ميشود. در حالت كلي دو دسته روشهايمستقيم و روشهاي تكرار، قابل استفادهاند. توضـيح آنكـه در ايـنبررسي كليه روشهايي كه ميتوانند به محاسبه مـاتريس معكـوسمنجر شوند، جزو روشهاي مستقيم طبقهبندي شده اند.
روشــهاي حــل مــستقيم در حــال حاضــر بــا توجــه بــهپرداشگرهاي فعلي رايانههاي شخصي توصيه نميشوند چرا كـهدر انواع مختلف اين روش حـل يـك معادلـه ماتريـسي بـسياربزرگ كه حاصل مدلسازي پيشرو سه بعدي مگنتوتلوريك استنيازمن د تعري ف اعــداد بسيار بزرگ بــراي ذخيره ســازيحاصلضربهاي مورد نياز براي روشهاي مستقيم در حافظه رايانهخواهد بود . همچنين در صورت حضور خطـا فقـط در يكـي ازدرايهها اين خطا به صورت حاصل ضرب به سـاير درايـههـايمربوط به اعماق بيشتر تسري يافته و جواب مـسئله را بـه كلـيدگرگون مي سازد[۶].
روشهاي تكرار، عموميترين ابزار بـراي حـل مدلـسازيهايمگنتوتلوريكاند و مزاياي اصـلي آنهـا سـرعت بـالا و احتمـالكمتر براي انتشار خطا، هستند. اما مـشكل اصـلي در كليـه ايـنروشها واگرايي در مسئله است. در ميان روشهاي اسـتفاده شـدهدر اين تحقيق، روشهاي ژاكوبي و گوس- سايدل به كلي واگـراشده و فاقد نتيجه خواهند بود. روشـهايي كـه مقاومـت بهتـرينسبت بـه واگرايـي از خـود بـروز دادنـد از خـانواده روشـهايگراديان مزدوج (CG) هستند. از مهمترين روشهاي اين خانوادهميتوان بهBiCGstab ،Bi-CG وBiCGstab(2) (حالت بهبـوديافته BiCGstab) اشاره كرد، شكل (۲) [۱۵].
در ايــن بــين روشBiCGstab ، از نظــر همگرايــي دارايوضعيتي نامعلوم است و امكان دارد رفتـاري بهتـر ازBi-CG ازخود نشان دهد و يا اينكه كاملا واگرا شود. لازم به ذكـر اسـتدر كلي ه م واردي ك ه در تحقي ق حاض ر از روشBiCGstab استفاده شد، واگرايي در پاسـخها شـديدتر از مـوارد مـشابه بـاروش Bi-CGبـوده اسـت. روش BiCGstab(2) پايـداري قابـل توجهي از خود نشان داد اما به دليل نياز به عمليات پيچيده تـر،زمان بيشتري را به خود اختصاص ميدهد. بهطور مثال در يـكمورد ۴۰۰ مرتبه تكرار را در مدت ۷۰ دقيقه به اتمام رساند امـادر عين پايداري به همگرايي مورد نظر منجر نشد.
براي افزايش سرعت همگرايي مسئله پيش شـرط سـازهاييمعرفي شدهاند كه كارامدترين آنها پيش شرط ساز استفاده شـده توسط مكي و همكارانش تحت عنوانHYPRE است كه خـودمستلزم تشكيل ماتريس معكوس است[۶و۷]، لذا در حل مسائلبسيار بزرگ استفاده از آن ميسر نيست. پيش شرط ساز ديگـريكه توسط اسميت (۱۹۹۶) معرفي شده است نيز در مواردي كـهفواصل گرهي زياد باشد بازدهي خود را از دست مي دهد [۷].
لذا عملا استفاده از هر دو پيش شرط سـاز نيازمنـد كـاهشابعاد مسئله است.

۴-۱- ماهيت واگرايي و راهكارهاي مقابله با آن:
چنانچه اشاره شد، مشكل عمده پيش رو بر سر به دست آوردنجواب در مدلسازي پيـشرو سـه بعـدي مگنتوتلوريـك، ايجـادواگرايي در روش حل مسئله به روشهاي تكـرار اسـت[۷ و ۹].
براي حذف واگرايي روابط زيربايد تامين شوند[۹]:
∇.H = 0 (۵)
∇.(σ =E)0 (۶)
براي ارضاي روابط فوق ميتوان تابعي را براي حذف واگرايـيبه صورت ذيل فرض كرد. ψ=∇.A

شكل ۲- پايداري روشهاي خانواده گراديان مزدوج با تكرار
كهA ميتواند برابرH ياσE باشـد. حـال مـيدانـيم در حالـتايدئالψ بايد برابر با صفر باشد اما بهدليـل اينكـه داراي مقـداراست تابع Ф به صورت زير تعريف مي شود:
∇∇φ=ψ.
با به دست آوردنФ ميتوان تـابعA را بـه شـكل زيـر اصـلاح كرد:
Anew = Aold −∇φ
لذا د ر هر مرحله ازعمليات به شـكل قابـل تـوجهي بـر آهنـگهمگرايي مسئله افزوده مي شود، شكل (۳).

۵- بررســي مــشكلات عمــده مدلــسازي و ارائــه راهكارهاي اصلاحي
۵-۱- ايجاد تكينگي كاذب
از جمله مشكلاتي كه در انجـام مدلـسازي بـروز مـيكنـد،وجود حالت تكينه در ماتريس ضرايب مسئله است. اين مـسئلهاز آنجا كه هيچ الكترود جريان (نظير حالت جريان مـستقيم) يـاعامل حقيقي ايجاد تكينگي ديگري حضورندارد، عجيب به نظـرميرسد. در واقع درمسئله سه بعدي پيشروMT ، هيچ دو سـطربا ستون با مقادير قدرمطلق تحقيقﹰا مساوي وجود نـدارد و كليـهسطرها و ستونها بردارهاي مستقل خطي از يكديگرند. علاوه بر اين عامل ايجاد تكينگي، از قبيـل الكترودهـاي بارگـذارينيـز درمـسائل مدلـسازي مگنتوتلوريـك حـضور ندارنـد.
واقعيت آن است كه گرچه هـيچ دو بـردار وابـسته خطـيدرماتريسA درمعادلهAx = b قابل شناسايي نيست، وليرفتار تكينه خود را درحـين انجـام عمليـات حـل معادلـهآشكار مي كند.
به طور مشخص ايجاد رفتار تكينه در ماتريسهايي بـا دو يـاچند ستون و يا سطر مشابه اتفاق ميافتد. در مورد فوق پـس ازبررسي مشخص شد كه در ماتريس تنك ضرايب بسياري از غيرصفر، كوچكتر از آن هستند كه تـأثيري برحـل معادلـه بگذارنـدهمچنين بعضي از ضرايب واقع بر قطرها از نظر مقـدار حقيقـيمشابه عنصر مجاور خود در سطر يا ستونانـد بـه عنـوان مثـالموارد زيرامكان وقوع دارند:
| aii | | a≅ i,i 1+ | (الف)
| aii | | a≅ i 1,i+ | (ب
براي رفع اين مشكل، مراجعه به چگـونگي مدلـسازي صـورتگرفته چاره ساز شد:
براي مثال در مورد ميدانH ، اگر روابط زير نمايش قـسمتياز رابطه جبري منتج از گسستهسازي براي ضرايب روي قطـر و

مرحله

هر

در

خطا

مطلق

قدر

مرحله

هر

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

در


پاسخ دهید