پويش آزاد متوسط مولکولي  ماتريس تبديل M
ويسکوزيتة سينماتيکي  برداري که در جهت عمود بر ديواره n
چگالي  فشار ترموديناميکي p
ضريب تطابق ممنتوم مماسي  بردار شار گرما q
ضريب تخفيف  عدد رينولدز Re
هستة پخش  f

با توسعة سيستمهاي ميکروالکترومکانيکي، ميکروجريان بـهيکي از موضوعات مورد توجه محققان تبديل شده است. جريان سـيال در وسـايل کوچـک رفتـار متفـاوتي بـا رفتـار سـيال در هندسه هاي ماکرو دارد و نتـايج حاصـل از کارهـاي تجربـي دروسايل ميکروني با نتايج تئوري حاصل ا ز روش هاي مرسوم حل جريان سيال، اختلاف قابل ملاحظهاي دارد. ١- مقدمه
فرآيند ساخت ماشينهاي با ابعاد کوچک، در سالهاي اخيـر بـهشدت گسترش پيدا کـرده اسـت . ايـن وسـايل کوچـک اغلـببه عنوان حسگرهايي براي فشار، دما، دبي جرمي، سرعت، صـدا و به عنوان شتاب سنج هـايي بـراي حرکـت عمـودي و افقـي وهمچنين يک عضو ساده از موتـور گرمـايي ميکرونـي و پمـپ
گرمـ ايي ميکرونـ ي بـ ه کـ ار مـ ي رونـ د. سيسـ تمهـ اي با توجه به سخت بـودن و هزينـهبـر بـودن فـراهم آوردنميکروالکترومکانيک۱، به وسايلي که طول مشخصـهاي کمتـر ازامکانات آزمايشگاهي، دستيابي بـه روش هـا يي جهـت تحليـلmm ۱ و بيشتر از μm ۱ دارند اطلاق ميشود که شـامل اجـزايجريان در هندسههاي با ابعاد ميکرو ضروري به نظر مـي رسـد . مکانيکي و الکتريکي هستند [۱]. علــيرغــم ايــن کــه حــلهــاي تحليلــي در درک کيفــي

ميکروجريانها و همچنين در اعتبارسنجي روش هـا ي عـدديمهم هستند، اما آنهـا قطعـًاً تمـام نيازهـاي ديناميـک سـيالاتمحاسباتي کاربردي را پوشش نميدهنـد . در ميـان روش هـا ي مختلف عددي، روش بولتزمن شـبکه اي۲ کـه در اواخـر دهـة ۱۹۸۰ ارائه شده است، به دليـل رويکـرد مبتنـي بـر ذرة آن در شبيهسازي جريانهاي پيچيده توجهـات فراوانـي را بـه خـودمعطوف کرده است [۲، ۳ و ۴].
دي هوميرس [۵] روش بولتزمن شبکهاي با ضريب تخفيف چنـدتايي۳ را کـه دقـت و پايـداري بيشـتري نسـبت بـه روش بولتزمن شبکهاي استاندارد يا روش بولتزمن شبکهاي با ضـريبتخفيف منفرد۴ دارد، ارائه کرد.
آنسومالي و کارلين [6] روش بولتزمن شبکهاي را مبتنـي بـرتوابع انتروپي و تئوري H، موسوم بـه روش بـولتزمن شـبکهاي انتروپي۵ ارائه کردند. همچنين آنهـا [۷] نشـان دادنـد کـه روشبولتزمن شبکهاي انتروپي در شبيهسـازي جريـانهـاي همـدماي دوبعدي، افزايش قابل توجهي را در پايداري نسبت به مدلهاي بولتزمن شبکهاي معمولي ارائه ميدهد.
در چند سال اخير استفاده از روش هاي بـولتزمن شـبکهاي در شبيهسازي جريان در هندسههاي با ابعاد ميکرو مورد توجه محققين قرار گرفته است [۸ و ۹]. دليل عمده براي اسـتفاده از اين روش ها جهت شبيهسازي جريان در هندسههـاي بـا ابعـادميکرو، منظور نکردن هيچ شرطي براي پيوستار بـودن جريـاندر به دست آوردن معادلات حاکم در ايـن روش هـا اسـت . در ادامه به بررسي برخي از کارهاي انجـام شـده در شـبيهسـازي جريان هندسههاي ميکـرو بـا اسـتفاده از روش هـا ي بـولتزمنشبکهاي ميپردازيم.
نــي و همکــاران [۱۰] جهــت شــبيه ســازي جريــان درهندسه هاي با ابعاد ميکرو، ضريب تخفيف در روش بـولتزمنشبکهاي را با وارد کردن چگالي محلي در آن اصلاح کردنـد .
در محاسبة ضريب تخفيف از پـارامتري اسـتفاده شـد کـه بـامقايسة نتايج تجربي به دست آمده است. آنها روش خود را در مطالعة سرعت لغزشي روي ديواره و افت فشار غيرخطـي درطول ميکروکانال به کـار بردنـد. لـيم و همکـاران [۱۱] روش بولتزمن شبکهاي را ارائه کردند که جريان در يک ميکروکانال با اختلاف فشار را مدل ميکـرد . آنهـا بـا اسـتفاده از تئـوريسينتيک، عـدد نادسـن را در محاسـبة ضـريب تخفيـف واردکردند. نتايج جريانهاي کانال دوبعدي خـود را بـا داده هـايتجربي و همچنين حل تحليلـي آرکيليـک و همکـاران [۱۲] مقايسه کردند. نيو و همکاران [۱۳] روش بـولتزمن شـبکهاي انتروپي را در شبيه سازي جريان در يک ميکروکانال و جريـانميکرو کوئت به کار بردند. همچنـين جهـت در نظـر گـرفتن اثرات لغزشي روي ديوارهها شرط مرزي پخش مولکـولي 6 را معرفي کردند. تانـگ و همکـاران [۱۴] جريـان گـاز در يـکميکروکانال را بررسي کردند. آنها روش ني و همکـاران [۱۰] را که به منظور شبيهسازي جريان در ميکـرو کانـال وابسـته بـهدادههاي تجربي بود، اصـلاح کردنـد. جهـت در نظـر گـرفتنلغزش روي ديوارهها، شرط مرزي را ارائه کردند کـه ترکيبـياز شرايط مرزي کمانه کردن۷ و آينهاي۸ بود. آنهـا نتـايج کـارخود مثل توزيع سرعت و فشار در طـول ميکـروکانـال را بـاکارهاي عددي ديگران مقايسه کردند. ژانگ و همکاران [۱۵] روش بولتزمن شبکهايي را ارائه کردند که در آن براي در نظـرگرفتن اندرکنش ديوارة جامد و گاز، ضـريب تطـابق ممنتـوممماسي۹ را به کار بردند. شرايط مرزي آنهـا در حـالتي مشـابهترکيب روش کمانه کردن و آينهاي عمل ميکند. آنسـومالي وهمکاران [۱6] مدل بـولتزمن شـبکهاي انتروپـي را در شـبيه -سازي رفتار ميکروجريانهـا معرفـي کردنـد. آنهـا بـه منظـور ارزيابي روش خود جريان پـوازي را در محـدوده وسـيعي ازاعداد نادسن شبيهسازي کردند. شيراني و جعفري [۱۷] روش بولتزمن شبکهاي را در شبيهسازي جريان هاي در ابعاد ميکـرواستفاده کردند؛ آنها همچنين ترکيبي از شـرايط مـرزي کمانـهکردن و آينهاي را اعمال کردند کـه نتـايج بـه دسـت آمـده در توافق خوبي با ساير نتايج تحليلي و تجربـي بـود. پرومـال وهمکاران [۱۸] روش بـولتزمن شـبکهاي بـا ضـريب تخفيـفمنفرد را بـر روي شـبکة يکنواخـت در شـبيه سـازي جريـانميکروکانـال و ميکـروحفـره بـه کـار بردنـد و جريـان را در اعـداد نادسـن مختلـف شـبيه سـازي کردنـد. پرازيانـاکيس و آنسومالي [۱۹] شبيهسازي ميکـرو جريـان هـا را بـا اسـتفاده ازروش بـولتزمن شـبکه اي انجـام دادنـد. آنهـا جريـان کوئـت صفحهاي را در اعداد نادسن مختلف شبيهسـازي و بـا نتـايجتحليلي مقايسه کردند.
در سالهاي اخير توسعه روش بولتزمن شبكهاي بـه عنـوانيك ابزار محاسباتي مورد توجه فراوان قرار گرفته است. با اين وجود به واسطة محدوديت اساسي معادلة بولتزمن شبكهاي در شبكة يكنواخت، كاربرد وسيع اين روش در مسـائل مهندسـيمختل شده است. در بسياري از كاربردهاي عملـي، اسـتفاده ازيك شبكة غيريكنواخت به واسطة ايـن حقيقـت كـه مرزهـايانحنادار ميتوانند به صورت دقيقتر تشريح شوند و طرحهـايعددي با استفاده از آن داراي كارايي بهتري باشـند، نسـبت بـهشبكههاي يكنواخت همواره تـرجيح داده مـيشـوند . بنـابراينبايد طرحي را مورد نظر قرار داد كـه بتـوان بـا اسـتفاده از آنروش بولتزمن شبكهاي را بر روي شـبك ة غيريكنواخـت حـلنمود. عيب و نقيصه روش بولتزمن شبكهاي استاندارد (محدود به يكنواخت بودن شبكه) از نياكـان آن يعنـي ماشـين سـلوليشبكة گاز ناشي ميشود. در ماشين سلولي شبكة گـاز، تقـارنشبكه كه ايزوتروپي تانسور مرتبة چهار مربوط به سرعتهـايگسسته سازي شده را تضمين ميكند، يـك شـرط اساسـي در استخراج معادلات ناوير استوكز است. با استفاده از اين شـرط،در هر گام زماني يک ذره در يک گره بايد بـه گـره مجـاورشمنتقل شود بنابراين شـبک ة محاسـباتي بايـد يکنواخـت باشـد.
هرچند معادلة بولتزمن شبکهاي با استفاده از مدل بـيجـي کـيبهبودهاي زيادي را نسبت به ماشين سلولي شبکة گـاز ايجـادکرده است، لکن خصوصيت يکنواخت بودن شبکه را بـه ارثبرده است. روش بولتزمن شبکهاي با اين خصوصيت به لحاظ ماکروسکوپيکي مشابه بـا يـک حـل کننـده شـبکة يکنواخـتکارتزين است.
به لحاظ تئوري، ويژگي يکنواخـت بـودن شـبکه ضـروري
نيست؛ زيرا تابع توزيع چگالي در فضاي فيزيکي پيوسته اسـت . اخيرًا راهکارهايي براي اصلاح و بهبود روش بولتزمن شـبکه اي استاندارد ايجاد شده است به گونه اي که ميتوان آن را در مسـايلپيچيده به کار بـرد . برخـي از ايـن راهکارهـا عبارتنـد از: روش بولتزمن شبکهاي تکميل شده با ميان يـابي [۲۰]، روش بـولتزمنشبکهاي ديفرانسيلي[۲۱]، تکنيک ريز کردن تطبيقي شبکه۱۰ [۲۲ و ۲۳]، روش بولتزمن شبکهاي مبتني بر حداقل مربعات و بسـطسري تيلور [٢٤ و ٢٥] و غيـره . در ايـن تحقيـق از روش آخـراستفاده شده است.
در کار حاضر براي اولين بار روش هاي بـولتزمن شـبکهاي مختلف با استفاده از روش بولتزمن شبکهاي مبتني بـر حـداقلمربعات و بسط سري تيلور بر روي شبکهبندي غيريکنواخـت،در شــبيهســازي جريــان هــاي همــدماي دوبعــدي در يــکميکروحفره، يک ميکروکانـال و يـک ميکروکانـال بـا انبسـاطناگهاني در اعـداد نادسـن مختلـف اسـتفاده شـده و نتـايج بـا يکديگر مقايسه شدهاند.

مقدمهاي بر روش هاي بولتزمن شبکهاي مختلف
٢-١- روش بولتزمن شبکهاي استاندارد مدلهاي بولتزمن شبکهاي که اخيرًًا به کـار گرفتـه شـدهانـد بـااستفاده از يک مدل تقريبي که توسط بهاتنگار و همكـاران [۲6] ارائه شده است و اختصارا تقريب بيجيکـي ناميـده مـي شـود،ساده شده اند. با استفاده از اين تقريب، معادلة بولتزمن شـبکه اي به شکل زير نوشته ميشود:
f (i x c i t,t  t) f ( ,t)i x t f ( ,t)i x fieq(x,t) (۱)


که در آن fi تابع توزيع چگالي در جهت fieq ، i تـابع توزيـعتعادلي محلي متناظر با آن،  ضريب تخفيـف منفـرد،i تعـدادجهات شـبکه وci سـرعت ذرات در جهـات مختلـف شـبکههستند. با اعمـال بسـط چنـد زمانـة چـاپمن – انزکـوگ ۱۱ روي معادلة (۱)، ضريب تخفيف بهگونهاي بيان ميشود که معـادلاتناوير- استوکز قابل بازيابي باشند [۹].  به وسيلة رابطة زير بـا

شکل ١- شبکة 2 9D Q

ويسکوزيته ارتباط دارد [۲ و ۹]:
  cs2 t(0.5) (٢)
که  ويسکوزيتة سينماتيکي و cs سـرعت صـوت اسـت. در کار حاضر مسئله دوبعدي است و از يـک شـبکة مربعـي چنـدسـرعتي بـا عنـوان 9 2D Q اسـتفاده شـده اسـت (شـکل (١)).
571501116528

سرعت صوت در مدل شـبک ة 92DQ برابـر بـا 13 c اسـت . c 

xt سرعت ميکروسکوپيک ذرات است، کـه در آنx و
t به ترتيب فاصلهبندي شبکه و گام زماني هستند.
سرعت ذرات در جهات مختلف شبکه به شـکل زيـر بيـان ميشوند [۲، ۳، ۸ و ۹]:

00ci  0
1011181146633

  ci cosi 1 2c i 1,2,3,4 (٣)
sini 12

cosi  524
452629-108198

803911518165

 2sini  5 2 4c i 5,6,7,8 داراي اندازة يـک در جهـات ci c ,cix iy سرعت شبکه اســـت و مقـــدار آن برابـــر 2 در جهـــات i 1,2,3,4 .برابر يک است c .است i 5,6,7,8
هنگامي که توابع توزيع مشخص شدند، خواص ماکروسکوپيک از قبيل چگالي()، بردار سرعت (u ) و فشار(p)، به سادگي از روابط زير حاصل ميشوند [۲، ۳، ۸ و ۹]:
kk
fi , u ci if,p 

c2 (٤)
i 0i 0
توابع توزيع تعادلي به شکل زير تعريف ميشوند [۲، ۸ و ۹]:
870966150185

eq  c ui . 9 (c ui . )2 3 u2  fi  wi 1 3 c2  2 c4  2 c2  (٥)

که در آن ضريب وزني wi در i 0 برابر

، در i 1,2,3,4 برابر

و در i=5,6,8 برابر

است.
معادلة (١) به معادلة بـولتزمن شـبکهاي اسـتاندارد يـا روشبـولتزمن شـبکهاي بـا ضـريب تخفيـف منفـرد مشـهور اسـت.
اين معادله را ميتوان به دو گام برخورد و گـا م انتشـار در حـلعددي تقسيم بندي کرد:
f ( ,t)i x  f ( ,t)i x 

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

1f ( ,t)i x fieq(x,t) (6)
f (i x c i t,t  t)f ( ,t)i x (٧)

٢-٢- روش بولتزمن شبکهاي با ضريب تخفيف چندتايي معادلة بولتزمن شبکهاي با ضريب تخفيف چندتايي بـه صـورت زير نشان داده ميشود [۵، ۹ و ۲۷]:
f (i x c i t,t  t)f ( ,t)i x 
M S m x1  ( ,t) m xeq ( ,t) (٨)
که در آن گام برخورد توسط بردارهاي m و گام جريان توسط بردارهاي f پوشش داده ميشوند. M يک ماتريس تبديل يک به يک و خطي است، به گونه اي که داريم: (٩) 1m Mf , f M m
مــاتريس M در مــدل شــبکة 2 9D Q بــه ايــن صــورت است:
 111111111 

4 1 1 1 12222

 42 2 2 21111 

 0 1 0 1 0 1 1 1 1  M 0 2 0 2 0 1 1 1 1 
 00101111 1
 00202111 1

 011110000 

 000001 111

شکل ٢- حرکت ذرات در جهت i در يک شبکة غيريکنواخت

در معادلة (٨)، m x( ,t) و m xeq( ,t) بردارهاي ممنـت و
ممنت تعادلي هستند به طوري که m (m ,m ,m ,…,m0 1 2 n )T است. بردار ممنت m در مدل 9 2D Q به صورت زير است: (١٠) m   ,e, , j ,q , j ,q ,px x y y xx,pxyT که در آن  چگالي، e انرژي،  مربع انرژي، j   u , ux y بردار چگالي ممنتوم، qq ,qx y بردار شـار گرمـا وpxx و pxy مؤلفههاي تانسور تنش لزج هستند. مؤلفه هاي بردار ممنت meq بهصورت زير است:
m0eq  ,m1eq  23(j2x  j )2y
meq2 3(j2x  j ) ,2ym3eq  jx
eqeqeq
m4 jx ,m5  jy ,m6 jy
m7eq  (j2x  j ) ,2y m8eq  j jx yدر معادلة (٨)، S ماتريس تخفيف در فضاي ممنـت اسـت که در مدل 9 2D Q ، به صورت زير است:
2561310478874

8 7 5 3S diag(1.0,1.4,1.4,s ,1.2,s ,1.2,s ,s ) که در آن si نرخ تخفيف براي ممنت mi است به گونـه اي کـهs3 ، s7  s8 2 (1 6 ) و 5s دلخواه هستند و مـي تـوانمقدار آنها را يک قرار داد.

٢-٣- روش بولتزمن شبکهاي انتروپي
معادلة بولتزمن شـبکه اي انتروپـي دوبعـدي بـه همـراه تقريـب بيجيکي را ميتوان به اين صورت نوشت [6، ۷، ۱6 و ۲۸]:
961643358046

fi x c   i t,t t fi x,t t fieq x i (١٣)
2t,t f x,t
پارامتر  با استفاده از تابع H ، از حل معادلة غيرخطي زيـربه دست آمده است [۲۸]:
H f Hf feq f (١٤)
کـه بـراي مسـائل همـدماي دوبعـدي، شـکل گسسـتة تـابع H ميتواند به اين صورت نوشته شود [۲۸ و ۲۹]:
69265872397

H k f lni  wfii  (١٥)
i 0
که در آن wi ضرايب وزني مرتبط با سرعت گسستة ci اسـتو k تعداد جهات شبکه را مشخص ميکند.
معادلة (١٤) در هر محل از شبکه، بايد براي  حل شـود وضريب تخفيف به صورت محلي تنظيم شود. بـه منظـور کـاهشمحاسبات، ميتوان در بيشتر محدودة شبيهسـازي، را نزديـکبه مقدار تعادلي محلي آن يعني 2 eq در نظر گرفت.
همچنين تابع تعادلي fieq را به اين صورت داريم [۹ و ۲۸]:
cij
932688-170583

fieq wij 12 2 1 3 u2j 2uj 11 3uj u2j  c (۱6)

که در آن j انديس جهتهاي فضايي است. لازم به ذکر است که تـوان در معادلـة (١6) يعنـي ccij

فقـط مقـادير 1 و صـفر را اختيار ميکند.

٢-٤- روش بولتزمن شبکهاي مبتني بر بسط سري تيلور و حداقل مربعات
اين روش بر اساس اين واقعيت است که تابع توزيع يـک تـابعپيوسته در فضاي فيزيکي است و ميتواند بـه خـوبي بـراي هـرسيستم شبکهبندي تعريف شود.
شکل (٢) حرکت ذرات در امتداد جهـتi در يـک شـبکة غيريکنواخت را نشان ميدهد. در شبيهسازي عددي، ما تنهـا بـهتابع توزيع در نقطة شبکه براي تمام مراحـل زمـاني علاقـهمنـدهستيم. اکنون تعريف ميکنيم [٢٤]:
g  fi x ,y ,t  
fieq x ,y ,t   fi x ,y ,t  

 (١٧)
sT 1 x y x2

2
2 (١٨)
740664-72466

y 2  x y  Vfi     fi x fi y 2fi x2
222 (١٩)
 fi y  fi  x y
کـه در آنg حالـت پـس از برخـورد تـابع توزيـع در نقطـة  ام اســت؛sT يــک بــردار بــا شــش مؤلفــه اســت کــه توســط مختصــات نقــاط شــبکه شــکل گرفتــه اســت و در
آن  x x   cix t x0 و y    y ciy t y0 ، است.V بردار مجهولات در نقطةP است که شش مؤلفه دارد. هدف مـا بـه دسـت آوردن مؤلفـة اول آن V1  fi P,t t است. نقطـةP را بـا انـديس 0 و نقـاط مجـاور آن را بـاانديس 12, ,…,M بيان ميکنيم که M تعداد نقـاط مجـاورP است. هنگامي که مختصات نقاط شبکه داده شـده و سـرعتذره و گام زماني مشخص شـده باشـند، مـاتريسS مشـخصاست. سپس معادلة زير را داريم [٢٤]:
V S S S g Ag T 1 T  (٢٠)
که در آن A يک ماتريس 6M 1 بعدي است. از معادلة
(٢٠) داريم:
M 1 fi x ,y ,t00   tV1  a1,kgk 1 (٢١)
k 1
که در آن a1,k مؤلفههاي رديف اول ماتريس A هستند که قبل از اينکه روش بولتزمن شبکهاي اعمال شود، محاسبه ميشوند و در روند محاسبات تغييري نميکنند. بنابراين محاسبات کمتـريدر مقايسه با روش بولتزمن شبکهاي استاندارد انجام ميشود. از آنجا که معادلة (٢١) تنها به اطلاعات مختصات نقاط شبکه نياز دارد، بنابراين ميتوان گفت که براي هر ساختاري از شبکه قابل استفاده است.

روش حل ميکروجريانها
٣-١- محاسبة ضريب تخفيف بر حسب عدد نادسن
779526-7104882

پارامتر کليـدي در اسـتفاده از روش هـا ي بـولتزمن شـبکه اي در ميکروجريـان هـا، ضـريب تخفيـف اسـت. از تئـوري سـينتيک،ضــريب تخفيــف در تقريــب بــيجــيکــي را در ميــدان هيدروديناميکي مي توان به صـورت نسـبت پـويش آزاد متوسـطمولکولي( ) به سرعت گرمايي ميـانگين ( ) بيـان کـرد [۲، ۱۰، ۱۱ و ۱۹]:

22555222370


دیدگاهتان را بنویسید