US بردار مقدار متغيرها در گره هاي داخـل دامنـه محلـي اسـت وA(x) ماتريس وزن١٤ ناميده ميشود:
n
A(x) = W (x) (x ) ˆ i P PiT (xi) (٧)
i=1
W (x)ˆ i W(x -x )ˆi (٨)
ماتريس B(x) در رابطه (٥) به صورت زير تعريف مي شود:
B(x) = [W (x) (x ) W (x) (x ) ˆ1 P 1 ˆ 2 P 2  W (x) (x ) ]ˆ n P n (٩) و جايگذاري در رابطـه (١) رابطـه a(x) با حل رابطه (٥) براي :زير حاصل ميشود
n u (x) =h i (x)ui = T (x)US (١٠)
1i=در اينجا (x) بردار تابع شکل MLS براي n گره داخل ناحيـهمحلي نقطه دلخواه x است که به صورت زير محاسبه مي شود: (١١) φT(x) = {= PφT1((x) x) Aφ-21((x)B(xx)  )φn (x)}(1×n)

٣ – تئوري ورق ها
يک ورق با دامنه  را مطـابق بـا شـکل (١) درنظـر بگيريـد.
مقادير جابه جايي در راسـتاي محـورهـاي x, y,z بـه ترتيـب بـاu,v,w نشان داده ميشود.
با توجه به فرضيات کيرشف مقاديرu,v را به صورت تابعي از z
(فاصله تا صفحه مياني) مي توان بيان کرد.
  
u-z x 
865598-100741

   u =     v = -z y  w = Lu w (١٢)
   w 1 

با جايگذاري روابط جابه جايي در معادلات کرنش داريم:
2 
942563-39435

    x2 
 = xxyy   =  y22  w = zLd w
xy  2 

 2 x y روابط تنش ها نيز بهصورت روابط زير بيان مي شود:

شکل 1- نماي یک ورق و سیستم مختصات آن

xx
= yy == zcLd w کــه در مــواد ايزوتروپيــک

xyماتريس سختي به صورت زير است [١٨]:
E1 0
278130-22583

c (12) 0 0 11  0/2 در مواد کامپوزيت که به صورت مواد ارتوتروپيک مدل مي شوند در حالت تنش صفحه اي ماتريس سختي بـه صـورت زيـر بيـانمي شود [١٩]:
Q11Q12Q16
105918-197134

Q Q12Q22Q26
Q16Q26Q66
کهQ

ij با استفاده از ماتريس انتقال زير محاسبه مي شود:
 cos2sin2

Tsin2cos2

sincos sincos
 2sincos 
2sincos 
cos2sin2
 (١٧)
1 0 0

R  0 1 0

0 0 2 (١٨)

Q T QRTR 11 (١٩)
 زاويه پيچش الياف است، Qij مولفه هاي ماتريس سـختي دردستگاه مختصات اصلي (در جهت الياف و در جهت عمـود بـرالياف) هستند. اين ماتريس برحسـب خـواص فيزيکـي ورق درجهات اصلي بهصورت زير بيان مي شود:
Q11 Q120 
Q Q12 Q220  (٢٠)
 00Q66
که در آن
413766-1357

1917954-1357

Q11 1 E12 211 Q22 1 E12 212 Q12 1 12 212 21E Q66  G12 (٢١)
12 2E 21 1E
از روابط بيان شده مي توان نتيجه گرفـت، کـه معـادلات تـنش،توابع خطي برحسب فاصله عمودي تا صفحه ميـاني (براسـاسفرضيات) مي باشند.
در اينجا دو پارامتر شبه کرنش و شبه تنش١٥ بـه صـورت زيـرتعريف مي شوند که در مقطع ورق ثابـت و مسـتقل از مقـدارz هستند: (٢٢) εp = Ld w
σp = Dεp = DLd w (٢٣)
ماتريس D در مواد ايزوتروپيک و کامپوزيت به ترتيب به صورت زير بيان مي شود:
Eh31 0
329184-29743

D 121( 2) 0 0 11 ( 0) /2 (٢٤)
n
358902-31065

D =ij13 k 11 Qijk zk3  zk31 (٢٥)

٤ – اعمال شرايط مرزي اجباري
شرايط مرزي در ورق ها به صورت زير بيان ميشود [١٨]:
(٢6) uΓ = ub Γu = Γw Γθ ub برداري شامل جابه جايي عرضي و چرخشـي روي مرزهـايشامل شرايط اجباري در ورق ها است، که به صورت زير تعريف مي شود: (٢٧) ub = Lb W
Lb بردار عملگر ديفرانسيلي است کـه در شـرايط تک يـه گـاهيمختلف به صورت زير بيان ميشود:
تکيه گاه ثابت
 1 
Lb =    (٢٨)

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

n تکي ه گاه مفصلي Lb = 01 (٢٩)

٥ – روش بدون شبکه گالرکين EFG
در سال ١٩٩٤ روش حـل بـدون شـبکه EFGبـر مبنـاي تـابعتقريب MLS توسط بليچکو16 و همکارنش ارائـه شـد [٢٠]. از تابع تقريب MLS در روش فرم ضـعيف گـالرکين بـراي ايجـاددستگاه معادلات جبري استفاده شد. در اين روش دامنـه مسـئلهتوسط توزيع نقاط١٧ (گره ها) مشخص مي شود. در روش تقريب MLS، فقط از مجموعه نقاطي که داخل دامنه محلي است براي ايجاد تابع شکل استفاده مي شود. يک سري سـلول پـس زمينـهجهت انتگرال گيري عددي در روش فرم ضعيف گالرکين ب هکـارمي رود. بليچکو و همکارانش ادعا کردند کـه روش حـلEFG خيلي دقيق، سرعت همگرايي آن از ديگر روش هاي عددي مثلا المان محدود بيشتر و توزيع نامنظم گره هـا در عملکـرد روش EFGتاثير نمي گذارد. روش EFG به طور موفق در تحليل مسائل خطي، غير خطي، دوبعدي، سـه بعـدي، شکسـت، رشـد تـرک،تحليل ميد انهاي الکترو مغناطيس به کار رفته است و اينها همـهنشان مي دهد کـه ايـن روش، يـک روش حـل قـوي در زمينـهروش هاي حل عـددي اسـت. روش فـرم ضـعيف گـالرکين درنتيجه استفاده از تابع تقريب MLS يک دستگاه معادلات جبـريخوش فرم١٨ و پايدار را تشکيل مي دهد.
در اين روش با استفاده از تابع شکل MLSتغييـر مکـان درهر نقطه از ورق را به صورت تقريبي برحسب مقادير جابه جايي گرههاي داخل دامنه محلي١٩ آن نقطه بهصورت زير بيان مي کند
w (x) =h i(x)W i (٣٠)
i S nدر روشEFG چون از تابع تقريب MLS استفاده مي شـود، و ازآنجا که اين تابع تقريب خاصيت دلتاي کرونکر را نـدارد رابطـه تغييرات مورد اسـتفاده در روش حـل فـرم ضـعيف گـالر کـينبه صورت زير است [١].
(L wd ) (T DL wd )d(L wu )Tbd
806958-42511

T

T

20543525426

S(L wu ) t du

(L wb u)T
(L wb u)d0
Lb ماتريس اعمال شرايط مـرزي ، مـاتريس ضـرايب پنـالتيمي باشد، ضـرايب پنـالتي مـي تواننـد تـابعي از مختصـات و بـايکديگر متفاوت باشند اما اغلب آنها را به صورت اعداد ثابـت وبزرگ درنظر مي گيرنـد . در ايـن تحقيـق جهـت اعمـال شـرايطمرزي از روش لاگرانژ به جاي روش پنالتي استفاده مي شود لـذامعادله (٣١) به صورت زير بيان ميشود [١].
(L wd ) (T DL wd )d

(L wu )TbdS (L wu )T t d
1100328-628

u T (L w ub  )du L wb T  d0
با قرار دادن معادله تقريـب (٣٠) در معادلـه تغييـرات (تعـادل ) (٣٢) و ساده سازي فرم ماتريسي معادله تعادل بـه صـورت زيـرحاصل ميشود:
GKTG0          U  QF
K ماتريس سختي، U بردار تغيير مکان، F بردار نيرو،  بردار ضرايب لاگرانژ، Q بردار نيـروي مجـازي وG مـاتريس سـختيمجازي که ناشي از اعمال شرايط مرزي است.
هر کدام از ماتريسها به صورت زير محاسبه مي شود.
KIJ = ΩB DB dTIJ Ω (٣٤)
-I,xx 

BI = LdI = -I,yy 
 -I,xy  (٣٥)
f =I BTubd + t BTut ds  (٣6)
-I,x 

Bu = -I,y  (٣٧)

 -I 

شکل2- نگاشت از محیط منحنیالشکل به محیط مستطیلی شکل

650748323373

GIJ = Γu NTI J d (٣٨) QI  N u dTI  (٣٩)
رابطه (٣٣)، دستگاه معادلات جبري حاصـل از روش حـل عـددي EFG همراه با روش اعمال شرايط مـرزي لاگرانـژ اسـت. از حـلرابطـه (٣٣) پارامترهـاي جابـه جـايي گـره هـا حاصـل مـي شـود و جابه جايي هر نقطه با توجه به ايـن نتـايج از رابطـه (٣٠) محاسـبهمي شود. اين روش در مقايسه با ديگـر روش هـا در اعمـال شـرايطمرزي دقيق تر است اما با توجه به اضافه شدن مجهولات  حجم محاسبات نيز افزايش مي يابد.
روش بدون شبکهEFG بر اساس پروسه حل فرم ضعيف کلـيگالرکين است. در اين روش براي انتگـرال گيـري عـددي بـه يـکشبکه بندي پس زمينه نياز است لذا اين روش حل کاملا بدون شبکه نيست.

6- نگاشت انتقال
همان طور که ملاحظه شد معادلات ديفرانسيل حاکمـه و معـادلاتشرايط مرزي براي ورق ها در مختصات کارتزين ارائه شـده اسـت،لذا ورق هاي با هندسه نامنظم را نمي توان به راحتي تحليل کـرد . بـهاين دليل توسط يـک نگاشـت محـيط منحنـي الخـط را بـه محـيطمستطيلي شکل نگاشته مي شود. اين نگاشت توسط توابع شکل کـهاغلب در المان محدود به کار مي رود صورت مي گيرد. هرچه درجـهتابع شکل بالاتر باشد دقت نگاشت نيز بهتر است بنابراين در اينجـااز توابع شکل درجه سه استفاده مي شود يعني مـيتـوان هـر ضـلعورق مورد بررسي را با يک تابع درجه سه مدل کرد [٢١].
در حالت كلي يـك مسـئله بـا دامنـه منحنـي الخـط در صـفحهمختصاتx, y در نظر بگيريد كه هر ضلع آن را با يك تـابع درجـهسه بتوان مدل كرد. حال اين دامنه منحني الخط توسط يك نگاشـتبـه يـك دامنـه مسـتطيلي (1,1 1 1   ) در مختصـات طبيعي , انتقال داده ميشود. شکل (٢) اين نگاشـت را توسـطتوابع شكل مرتبه سه بيان ميکند:
= 12 N (i ξ, ).x i (٤٠)
i=1
= 12 N (i ξ, ).y i (٤١)
i=1
x ,yii مختصات نقطه i ام روي مرز مسئله است:
N =i

( +1 ξ ξi )( +1 η ηi )[ (9 ξ2 +η2)-10] (٤٢)
i 12 3 4, , ,
Ni =

(1ξ2)( +1 η ηi )( +1 9i ) (٤٣)
i 5 6 7 8, , ,
N =i

(1η2)( +1 ξ ξi )(1 9 i ) (٤٤)
i 9101112,,,

٧- نتايج عددي
پس از استخراج روابط و بيان چگونگي عملکرد روش بدون شبکه گالرکين، برنامه اي در نرم افـزار متلـب بـراي اجرايـيکردن روش فوق نوشته شـده اسـت [٢٢]. بـراي نشـان دادنصحت اين برنامه کامپيوتري به مقايسه نتايج اين نرم افزار بـانتايج نرم افزار آباکوس و با نتايج حل دقيق مسائلي کـه حـلتحليلي آنها وجود دارد پرداخته مـي شـود. پـس از صـحتسنجي برنامه کامپيوتري EFG، به تحليل مسـائلي جديـد بـهکمک اين نرم افزار پرداخته خواهـد شـد. بـراي نشـان دادنصحت برنامه نوشته شده، يک ورق مستطيلي بـا مشخصـاتجدول (١) که حل تحليلي آن وجود دارد مورد بررسي قـرارمي گيرد.
براي اينکه بتـوان نتـايج را عموميـت بخشـيد، خيزهـا بـدون بعـدمي گردند که در هر قسمت رابطه مربوطه بيان مي شود. همچنين در کليه محاسبات فرمول خطا بهصورت زير است:
50977893600

(٤٥) 100Error = (εexatεexat-ε p)× ورقي به ضخامتm ١/٠ تحـت نيـروي گسـترده 2mN ١٠٠ کـه ازچهار طرف تحت تکيه گاه ساده (مفصلي) قرار دارد در نظـر گرفتـهمي شود. فرمول خيز بدون بعد شده در اين حالت بـه صـورت زيـراست[٢٣]:
1203963498


دیدگاهتان را بنویسید