در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

u2x,y,z,t  u20, x,y,t -z uy0 (١)
u x,y,z,t  u0x,y,t
که در آن ,10u20, ، u و 0u به ترتيب مؤلفه هـاي تغييـ ر مکـان درراســتاي y ، x وz دســتگاه مختصــات، در يــک نقطــه از ميان صفحه z 0 است.
معادله ديفرانسيل حاکم بر تغ ييـر مکـان ورق هـا تحـت اثـر بارگذاري خارجي بهصورت زي ر است:
44577068426

(٢)  4u x4u4 2 x2 24uy y4u4  pzDx,y در رابطه فوق u تابع جابه جايي عمود بر ورق، pz بارگـذاري خارجي و ثابت D بيـ انگر سـخت ي خمشـي ورق اسـت کـه از رابطه زي ر به دست مي آيد:
12 1

Eh32 (٣)
مــدول الاستيســيته مــاده ورق،  نســبت پواســون وh ضخامت ورق است. در اي ن تحقيق مقادير اين سه پارامتر ثابـتفرض مي شود. با استفاده از عملگر لاپلاس دو بعدي رابطـه (٢) را مي توان به صورت زير تعريف نمود:
D 2 2u x, y  pz x, y (٤)
اين رابطه معادله ديفرانسيل پاره اي ناهمگن مرتبه چهـارم بـاضرايب ثابت است که معادله باي هارمونيک غ يـر همگـن نيـ ز ناميده مي شود. پاسخ دقيق اين رابطه با برآورده کردن معادلـهديفرانسيل و شرايط مرزي مربوط بـه مسـئله ورق بـه دسـت مي آيد. از آنجا که رابطه (٤) يـک معادلـه د ي فرانسـيل مرتبـهچهارم است، در هر نقطه از مرز نيـ از بـه وجـود سـه شـرطمرزي است.
توابع مجهول ميدان جاب هجايي ورق در هر گره را مـي تـوانشامل سه عضو تغيير مکان در راستاي قائم، شيب در جهـتx و شيب در جهت y در نظر گرفت. بنابراين حل مسئله ورق بـااستفاده از اين روش با فرض وجود سه درجه آزادي در هر گره انجام م يشود: (٥) u  u ux uyT
که در آن ux و uy بهترتيب مشتق u نسبت به x و y است.

٣- فرمول بندي روش بدون شبکه توابع پايه نمايي حل يک مسئله معادله ديفرانسيل عـلاوه بـر ارضـاي معادلـه دردامنه حل، نيازمند برآورده ساختن شرايط مرزي آن مسئله است. به طور کلي مسئله معادله ديفرانسيل را مي توان به صورت زير در نظر گرفت:
Lu fin 
L uD fDon D ,DD   NN (6)
L uN fNon N
که در آنL عملگـر اصـلي معادلـه د يفر انسـيل وLD و LNبه ترتيب عملگر هـاي شـرايط مـرز ي ضـروري و شـرط مـرزي طبيعي است. هم چنين D ،  و N به ترتيـ ب نشـان دهنـدهمرز مسئله، مرز ضروري و مرز طبيعي است.
حل معادله بـه صـورت مجمـوع دو حـل همگـن و خصوصـي نوشته مي شود: (٧) u u h up
با استفاده از رابطه (٧) نتايج زير حاصل مي شود:
Luh 0in 
Lup fin 
L uDh  fD L uDpon D (٨)
L uNh  fNL uNpon N
تابع مجهول u را مي توان به صورت ترکيب خطي از توابع پايـ ه به صورت زير در نظر گرفت:

u c Vk k (٩)
1kدر رابطه فوق Vk ، توابع پايه و ck ضرايب ثابـت هسـتند . در روش مورد استفاده توابع پايه به صـورت توابـع نمـايي بـه فـرم
exp( x y) در نظر گرفته مي شود که در آن  و  مقادير ثابت مختلط هستند. با در نظر گرفتن تعداد محدودي از جملات رابطه (٩)، بخش همگن تابع مجهول را مي توان به صـورت ز يـر نمايش داد:
mh uh c exp(hk hkxhky) (١٠)
1kدر رابطه فوق mh تعداد پايه هاي حل همگن اسـت. بـه منظـورتعيين ضرايب ثابت، شرايط مرزي مربوطه در نظر گرفته مي شود.
فرم برداري اين رابطه را مي توان بهصورت زير تعريف کرد: (١١) uh V ch h
که در آن uh مقادير معـلوم مـرزي و Vh ماتريس توابع پايـ ه همگن به ازاي مختصـات نقـاط مـرزي اسـت . بنـابراين بـردارضرايب از رابطه زير تعيين مي شود: (١٢) ch  Vh1 uh بالانويس1 در رابطه فوق نشان دهنده وارون تعميم يافته مور پنروز است. اين وارون در حالتي که ماتريس مورد نظـر مربعـي نباشد، مورد استفاده قرار مي گيرد و براي يـ ک مـاتر يس مربعـ ي غيرتکين با وارون عادي آن يکسان است. بـا جاي گـذاري رابطـه(١٠) در معادله ديفرانسيل همگن باي هارمونيـ ک، عبـارت ز يـ ر حاصل مي شود:
hk 2   hk 22 0
بنابراين مي توان نوشت:
    hkhk ii hkhk ((folded rootsfolded roots)) پايه هاي توليد شده با اسـتفاده از رابطـه فـوق همـان پا يـه هـاي به دست آمده براي معادلـه د ي فرانسـيل لاپـلاس اسـت. بـا ايـ ن تفاوت که رابطه (١٣) داراي ريشه هاي تکراري اسـت. بنـابراين اين معادله داراي تعدادي جواب گمشده است. به منظور تکميـ ل سري جواب، يک چندجمله اي خطي بهصورت ax by c  در پايه هاي قبلي ضرب مي شود. بـا انتخـاب مقـادير ضـرايب ايـ ن رابطه به شکل زير جواب هاي گمشده قابل تعيين است: (١٥) 0a  b 1, c 
لازم به ذکر است افزودن هـر ترک يـب مسـتقل خ طـي جد يـد از ضرايب b ، a و c براي ساخت پا يـه هـاي حـل، نـه تنهـا بـهافزايش دقت حل محاسبات کمکي نخواهد کرد، بلکـه موجـبافزايش حجم و هزينه هاي محاسـبات مـ يشـو د [٣٣]. بنـابراين پايه هاي حل معادله ديفرانسيل باي هارمونيـ ک بـه صـورت ز يـر است:
u  c exp(1   kx i ky)  c exp(2   kx i ky) c exp(i3  kx ky)  c exp( i4  kx ky)  c5 x  y exp(   kx i ky) (١6)
پايه حل همگن شامل دو عضو ديگر است کـه همـان مشـتقاترابطه فوق نسبت به x و y است. بنابراين ابعاد ماتريس توابـعپايه در هر گره برابر mh3 است. مؤلفه هـاي مـاتريس توابـعپايه حل همگن در هر گره بهصورت زير قابل توسعه است:
f1  exp(kx  i ky) x exp(kx  i ky) y exp(kx  i ky)T
1109472-316127

2030730-316127

f2 exp(kx  i ky) x exp(kx  i ky) y exp(kx  i ky)T
f3 exp(ikx ky) x exp(ikx ky) y exp(ikx ky)T

(١٧)
بنابراين ماتريس توابع پايه حل همگن در هر گره به صورت زير تعريف مي شود:
Vkh f1f2 f3  f8 (١٨)

٤- حل مسـئله ورق بـه روش بـدون شـبکه توابـع پايه نمايي
جهت بررسي دقت روش توابع پايه نمايي در حل مسائل هموار ورق، يک ورق مستطيلي به طول دو و عرض ي ک در نظر گرفته شده است. گسسته سازي به صورت منظم بر روي مرز دامنه انجام شـده کـه در آن نقـاط بـا فاصـله h 0 05/ از يکـديگر قـرار گرفته اند. تابع حل دقيق در نظر گرفته شـده بـراي ايـ ن مسـئله بهصورت رابطه زي ر است: (١٩) 2u  x y3  xy3  y
در شکل هـای (١) و (٢) بـه ترتيـ ب تـابع حـل دقيـ ق بـردارجابه جايي و اختلاف آنها با حل تقريبي به دست آمـده نشـانداده شده است. نرم خطاي به دسـت آمـده بـراي هـر يـ ک از مقادير ux ، u و uy بـه ترت يـب برابـر مقـادير 14 /2 78 10، 14 /8 75 10 و 13 /1 72 10 اســـت. شـــکل (٣) شـــيب
c6 x  y exp(   kx i ky)  c7 x  y exp(i  kx ky) 
c8 x  y exp( i kxky)
با توجه به وجود سه درجه آزادي در هر گـره، مـاتريس توابـعهمگرايي حاصل از حل مسـئله ورق بـهروش بـدون شـبکه توابع پايه نمايي را نشان مي دهد. قابل ذکـر اسـت کـه شـيب بهترين خط برازش شده به نقاط نمودار به عنوان شي ب در نظر گرفته شده و روي شکل نشان داده شده است.
٥- توسعه روش بدون شبکه توابع پايه نمايي بـراي حل مسائل تکين
همان گونه که در بخش هاي قبل بيان شد به دليل همـوار بـودنتوابع پايه در روش مورد استفاده، عملکرد ايـ ن روش در حـلمسائل تکين از کارايي مناسبي برخوردار نيست. وجـود نقـاطتکين در دامنه حل مسائل موجب کاهش شديد دقـت حـل وشي ب همگرايي ا يـن روش مـ ي شـود. از اينـرو لازم اسـت بـابه کارگيري تمهيداتي ويژه، فرمول بندي ايـ ن روش بـه گونـه اي توسعه يابد که حل مسائل تکين با دقـت و شـيب هـم گرايـي مطلوبي حاصل شود. راهکار پيشنهادي در اين تحقيق، اضـاف ه کردن توابع پايه تکين متناسب بـا شـرايط مسـئله اسـت . ايـ ن پايه ها داراي ناپيوستگي مناسب در نقطه تکين بـوده و معادلـهديفرانسيل مربوطه را برآورده مي کنند [٣٤]. اين کـار بـه شـکلزير انجام مي شود:

92964-1698921

(الف) (ب) (پ) شکل ۱- حل دقيق مسئله ورق، (الف) u ، (ب) ux و (پ) uy

95250-1642534


دیدگاهتان را بنویسید