در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

بررسي کوپلينگ پيزوالکتريکي و آنيزتروپي بر انتشار امواج صوتي
در بلوره صوتي ليتيوم نيوباته

شاهرخ رضائی، مرتضی اسکندري قادي و محمد رحیمیان*
دانشکده فنی، دانشگاه تهران

(١٣٩٥/٠٣/٠٨ :دريافت مقاله: ٢٤/٠٨/١٣٩٤ – دريافت نسخه نهايي) DOI: 10.18869/acadpub.jcme.36.1.161

چكيده- سرعت صوت در اغلب مواد بستگی به الاستیسیته و چگالی مواد دارد، ولی بررسی انتشار امواج در بلورههاي صـوتی پیزوالکتریکـی بهسبب آنیزتروپی و بهویژه کوپلینگ پیزوالکتریکی یک مسأله کاربردي مهم و چالش برانگیز است. در این مقالـه بـا اسـتفاده از حـل تحلیلـی- عددي معادله کریستوفل اصلاح یافته، براساس مفهوم سرعت گروهی، اثر کوپلینگ پیزوالکتریکی و آنیزتروپی بر سـرعت امـواج صـوتی (شـبهطولی، شبه عرضی عمودي و شبه عرضی افقی) در ویفرهاي مختلف بلوره صوتی لیتیوم نیوباته (آنیزتروپی قوي) بررسی میشـود و بـا دادههـايآزمایشی تصدیق میشود و دامنه سرعتهایی که این بلوره صوتی میتواند دارا باشد، تعیین میشود. نتایج ایـن مطالعـه بـراي طراحـی فرامـوادصوتی و بلورهاي فونونی و موجبرهاي پایه پیزوالکتریکی کاملاً اساسی است. واژههاي کليدي: بلوره صوتی، لیتیوم نیوباته، انتشار امواج صوتی، کوپلینگ پیزوالکتریکی.

Investigation of Piezoelectric Coupling and Anisotropy Effect on
Acoustic Wave Propagation at LithiumNiobate Crystalloacoustic

S. Rezaei, M. Eskandari-Ghadi and M. Rahimian*

School of Engineering, University of Tehran, Tehran, Iran

Abstract: The acoustic wave velocity depends on elasticity and density at most materials, but because of anisotropy and especially piezoelectric coupling effect, the acoustic wave propagation at piezoelectric based crystalloacoustic materials, is an applied and challenging problem. In this paper, using modified Christoffel’s equation based on group velocity concept, the effect of anisotropy and piezoelectric coupling at different wafers of lithium niobate crystalloacoustic (strong anisotropy) on acoustic wave velocity (semi-longitudinal, semi-vertical transverse wave and semi-horizontal transverse wave) is investigated, and validated by experimental data. Then, the acoustic wave velocity ranges that can be supported are determined. The result of this study can be essential at acoustic metamaterials design, Phononic crystal and piezoelectric based wave-guides.

Keywords: Crystalloacoustic, Lithium niobate, Acoustic wave propagation, Piezoelectric coupling.

* : مسئول مكاتبات، پست الكترونيكي: shrezaei@ut.ac.ir
فهرست علائم
بردار جابهجایی ui تانسور ضرایب الاستیسیته c
ijkl
چگالی ماده  میدانهاي بردار جابهجایی الکتریکی Di
تانسور تنش کوشی ij میدان الکتریکی
Ei
پتانسیل الکتریکی 
ثوابت پیزوالکتریسته eijk

۱- مقدمه
در
شاخهاي از مصالح مهندسی هوشمند موسـوم بـه پیزوالاسـتیک(پیزوالکتریک) مورد توجه محققان قرار گرفتـه اسـت بـه ویـژه اینکه این مواد در کنترل ارتعاشات صوتی از طریق تبدیل انرژي مکانیکی به الکتریکی و برعکس بهکار گرفته مـی شـو ند. نشـانداده شده است که چگونه مـی تـوان تـنش هـا را بـا اسـتفاده ازمیدانهاي الکتریکی کنترل کرد[ 1]. اگرچه سـرعت صـوت درمواد بستگی بـه الاستیسـیته و چگـالی آنهـا دارد، امـا بـه سـبب آنیزتروپی در بلورههاي صوتی1 نظیر پیزوالکتریکها و بـه ویـژه بــهســبب کوپلینــگ پیزوالکتریکــی، انتشــار امــواج در محــیط پیزوالکتریکی با درنظر گرفتن کوپلینگ یک مسـأله کـاربردي ومهم و چالش برانگیز است زیرا آنیزتروپی در بلورههاي صـوتیمنجر به خلق پدیدههاي کیفی با خواص منحصر بهفـرد جدیـدبهویـژه در طراحـی فرامـواد2 صـوتی مـی شـود . انتشـار امـواجمکانیکی یا صوتی در یـک محـیط همـوژن و نامحـدود امـواجصوتی حجمی3 نامیده میشوند. براي بلورههایی که داراي درجه بالایی از تقارن هستند، اگر جهت انتشار همراستا با جهتهـا ي اصلی باشد، در آن صورت سرعت فازي موج بـه سـادگی قابـلمحاسبه است، ولی براي یک جهـت دلخـواه کـه نیازمنـد حـلمعادله مشخصه4 یا معادلـه ک ریسـتوفل 5 از طریـق تعیـین مقـایراصلی6 است ،مسأله کاملاً پیچیده میشود، زیرا انتشار امـواج درمحیطهاي آنیزتروپی7 مستلزم حل معادلات جبري درجـه سـومیا بالاتر است که فقط بـراي حالـتهـا ي سـاده پاسـخ هـا ي آن مقدور است. محققان حالتهاي خاصی از انتشار مـوج دلخـواهدر این محیطها را بررسی کردهاند [1، 2، 3 و 4]. بررسی انتشار امواج الکتروالاستیک در پیزوالکتریکها به لحاظ طراحـی هـا ي کـــاربردي در حـــوزه پـــردازش ســـیگنال، فرســـتندههـــاي رادیوفرکانسی، کنترل ارتعاشـات صـوتی و طراحـی فیلترهـايبالاگذر8و پایینگذر9 صوتی در زمینه کنترل فرکانسهاي صوتی کاملاً حائر اهمیت است[ 5، 6، 7، 8، 9، 10 و 11]. از آنجا کـهسرعت امواج صوتی در پیزوالکتریکها در حدود صد هزار بار کمتر از سرعت انتشار امواج الکترومغناطیسـی در ایـن مصـالحاست، از ایـنرو فـرض مـی شـو د کـه امـواج الکترومغناطیسـیبهصورت بلادرنگ منتشر خواهنـد شـد و میـدان الکتریکـی ازپتانسیل الکتریکی بهدسـت مـی آیـ د. ایـن فـرض تقریـب شـبهاستاتیکی10 نامیده میشود که در نتیجه میتوان فرض نمود کـهدر یک محیط هموژن و بینهایت، امواج به فرم امواج مسطح11 منتشر میشود. تئوري محورهاي صوتی12 بهوسیله مرجـع [10] توس عه یاف ت ک ه در آن جه ته اي انتش ار ام واج را ب راي بلورههاي صوتی غیرمقید ارائـه نمـود. تئـوري وي وابسـته بـهمحورهاي مختصات بود، بنابراین معیارهاي متعـددي بـه منظـور مستقل نمودن انتشار امواج از دستگاه مختصـات ارائـه شـد[ 4، 11 و 12]. اثر آنیزتروپی بر انتشار امواج صوتی توسـط مرجـع
[13] ارائه شد. تفسیر سطوح کندي13 (عکـس سـرعت فـاز) وسرعت فازهاي مختلف توسط مرجع [14] ارائـه شـد. سـرعتامواج در بلورههاي ارتـوتروپی 14 و شـش وجهـی15 در مرجـع [15] ارائه شد. همچنین [16] شرایط لازم و کافی براي حضـورامواج طولی و عرضی در این بلورهها را ارائه نمود .
این مقاله به بررسی اثر کوپلینگ پیزوالاستیکی و آنیزتروپـیبر انتشار امواج صوتی در بلوره صـوتی لیتیـوم نیوباتـه16 (ایـنبلوره بهواسطه خلوص ذاتی و حساسیت شیمیایی ویژه آن و نیز قابلیت ساخت مینیاتوري با استفاده از آن، یک کاندیداي مناسب براي تجهیزات الکتروصـوتی اسـت ) کـه داراي سـاختار بلـور ة
تریگونال17 است از طریق حل عددي معادله کریستوفل اصلاح شده میپردازد و دامنه سرعتهـا یی کـه بلـوره صـوتی لیتیـومنیوباته میتواند داشته باشد را نشـان مـی دهـد . سـپس درسـتیمحاسبات از طریق نتایج آزمایشگاهی براي امتـدادهاي خـاصتصدیق میشود.

– امــواج الاســتیک در محــیط کریســتال صــوتی پیزوالکتریکی
2-1- معادلات حاکم
بدینمنظور محیط باز B شامل ماده مگنتوالکتروالاستیک درنظـر گرفته میشود. اگر دستگاه مختصات دکارتی(O : X ,X ,X1 2 3 ) به ایــن محــیط نصــب شــود و اگــر تانســورتنش کوشــی بــاij(i, j 123, , ) و جرم حجمی محیط با نمایش داده شـود ، معادله حرکت در هر نقطه ودر هـر 0t ، در غیـاب نیروهـايحجمی بهصورت زیر نوشته میشود:
97776113984

ij(x , x , x ,t1 2x j3 ) 2u (x , x ,x , t)i1 2t23
با فرض اینکه محور 3x بردار عمود بر صفحه تقارن در ساختار شــبکهاي مونوکلینیــک باشــد، معــادلات پیزوالکتریــک کوپــل برحسب معادله حرکت و شارژ الکترواستاتیک به فـرم اندیسـیبهصورت زیر بیان میشود [10]:
2u
5481841691

cijkl  x xl k j ekij  x k2 xj 2tu2i
20553064892

2ui ki  x k2 xi 0
ekij  xk xj
و رابطه وابسته به آن بهصورت زیر بیان میشود:

 ij c sijkl kl ekij xk

Dk e skij ij ki xi
253251399397

همچنین رابطه تغییرمکان – کرنش نیز بهصورت زیر بیان میشود: (6) sij 1xuij  uxij 
2
Ek xk (7)
که ui مؤلفههاي بردار تغییر مکان و تانسور تنش در هـر نقطـهij است و میدان الکتریکی و جابهجایی الکتریکی بهترتیب بـاتوابع برداري Ei و Di نشان داده میشود .بهعلاوه در روابـطفوق ij،cijkl بهترتیب تانسور الاستیسیته و مـاتریس ضـرایبديالکتریک است. eijk تانسور پیزوالکتریک و  نیز پتانسـیلاسکالر الکتریکی است.
ماتریس ضرایب پیزوالکتریک اغلب شبیه ماتریس ضـرایب
بردار پلاریزاسیون اسـت کـه برحسـب نـوع کریسـتالوگرافی وگروههاي کوري18 در 17 گروه تعریف میشود. بهدلیل کوپلینگ پیزوالکتریــک، دو کــلاس از ایــن مصــالح کــه متعلــق بــه گروههاي”2″ و “m” گروههـاي کـوري هسـتند، داراي تقـارن مونوکلینیک هستند و شرایط کوپلینگ پیزوالکتریکی (اثر مستقیم و معکوس) را به نمایش میگذارند. فرم ماتریسی جهت کلاس گروه “m” کوري به فرم زیر بیان میشود:
11 c1111 c1122 c113300c1112 e211 e2110 s11
22 c1122 c2222 c223300c2212 e122 e2220 s22
33 c1133 c2233 c333300c3312 e133 e2330 s33
23  000c2323 c2331000e32323
13  000c2331 c3131000e33113
12 c1112 c2212 c331200c1212 e112 e2120 12
D1  e111e122e13300e11211120 E1
D2  e211e222e233e3230e3310e212012202220033 EE23 (8)
D3   000

و فرم تانسوري جهت کلاس گروه “2” کوري به فرم زیر بیان میشود:
11 c1111 c1122 c113300c111200e311s11
22 c1122 c2222 c223300c221200e322s22


33 c1133 c2233 c333300c331200e333s33
23  000c2323 c23310e123 e2230 23
13  000c2331 c31310e131 e2310 13
12
D1 

D2 
D3 
 c1112 
 0
 0

e311 c2212
0
0 e322 c3312
0
0 e333 0
e123 e223
0 0
e131 e231
0 c1212
0
0 e312 0
11 12
0
0e312 12
120 E1
0220 EE32
33 

.کرنشهاي برشی هستند  ij 2s ,iij  j

2-1- انتشار امواج در یک محیط نیم بینهایت پیزوالکتریک شکل جواب جهت معادله حرکت براي یک موج مسطح به فرم زیر میتواند باشد:
uk A expik  t (k x1 1k x2 2k x )3 3  expi t (k x1 1k x2 2k x )3 3  (11)
در روابط فوق ،uk، مؤلفه k امین میدان جابهجـایی نسـبت بـه
1552148-40703

مبداء ،Ak دامنه موج ،1 ،i   فرکـانس زاویـهاي و k
بردار موج ،x بردار مختصات و اندازه بردار k برابر با / 2 است بهطوري که طول موج است.
پاسخهـا ي نـوع اول منجـر بـه 3 نـوع مـوج آکوسـتیکی وپاسخهاي نوع دوم منجر به موجهاي الکترومغناطیسی میشـود.با جايگذاري این عبارات در معادلـه حرکـت و معادلـه شـارژالکترواستاتیک، روابط زیر بهدست میآیند:
 2u c kkuiijkl j l k e kkmij j m
0e k k ujkl lj k mjk kj m
443343502550

جهت بررسی موجهاي آکوستیکی، پارامتر  حذف و برحسب u حل میشود. مؤلفههاي بردار موج بهصورت زیر بیان میشود: (14) ki  Ni
که در این رابطه  سـرعت و فرکـانس زاویـهاي بـوده وNi کسینوس هاديهاي موج نرمال یا زوایاي بردارهاي هـادي هسـتند.در این صورت معادلات حرکت بهصورت زیر بیان میشوند [8]:
7103795876

73283495876

1 cijklN Njl  N em mijNNm mjjN eNj jklNl 2uk 0
 1 ik 
j
(15)
جمله اول داخل کروشه، معادله کریستوفل کلاسیک اسـت کـهاندرکنش موج مسطح در مصالح الاستیک را برحسب نرمالهاي جبهه موج و ضـرایب الاستیسـیته بیـان مـیکنـد و جملـه دوماندرکنشهاي موج مسطح با مصـالح پیزوالاسـتوالکتریک را بـادرنظر گرفتن عوامل برشـمرده فـوق در حالـت کوپـل درنظـر میگیرد. با توجه به معادله فوق مشاهده میشود که جملـه دومداراي ارتبــاط معنــیداري بــراي انتشــار امــواج در برخــی ازجهتهاي مشخص اسـت، در حـالی کـه بـراي جهـات دیگـرمشخص نیست یعنی قطبش مدها دقیقاً موازي یا عمود بر بردار موج نمیشود و سطوح کندي براي مـواد پیزوالکتریـک شـامل سطوح محدب، مقعر و زینی خواهند بود که بهوسـیله خطـوطپارابولیک تقسیمبندي میشوند و بـراي هـر نـوع مـوج در هـرامتداد دلخواه، داراي مقداري خاص است. بـه همـین جهـت درانتشار امواج در بلورههاي صوتی پیزوالکتریکی، جهت مـوج وسرعت هر دو بهصورت توأم در انتشار امواج مؤثرند.
در قالب ماتریسی براي جمله اول معادله فوق میتوان نوشت:
31916458270

Cik  1c N Nijkljl
جهت لحاظ نمـودن انـدرکنشهـاي پیزوالکتریکـی ، از عملگـرماتریسی ثانویه استفاده میشود [8]:
Ci N e Nm mijj
مزیت این عملگر این است، ضرایب تانسور پیزوالکتریکی eijk (3-1i,j,k=) بـــــه ضـــــرایب ماتریســـــیi=1-3) eim و
6-1m=) تبدیل میشود. از سوي دیگـر ضـرایب دي الکتریـک
[10] بهصورت زیر بیان میشود:
C N N m mjj (18)
بنابراین فرم کامل معادله اصلاح شده کریستوفل [10]، بـه فـرمزیر در میآید [8]:
52636092041

CCik  2 ik uk 0 (19)
Cik  C 
692857606686

شرط وجود جواب غیرصفر براي معادله اصلاح شده کریستوفل آن است که دترمینان ضرایب صفر باشد [8]، یعنی: (20) 0det C ik  C Ci k  2 ik 
 C 
اما بهکارگیري عملی معادله( 15)، بهواسطه عدم دقت در تعیین عمود بر سطوح کندي (عکس سرعت فاز) ،بهویـژه در سـطوحکندي سه بعدي و نیز بهواسـطه فقـدان مرکـز تقـارن در مـوادپیزوالکتریک، و عدم جداسازي کامل مقادیر ویژه بسامد مشکل است و بـراي دقـت هـا ي مـورد نیـاز بـراي طراحـی مهندسـیهزینههاي محاسباتی (بهواسطه اسـتفا ده از فرضـیات اضـافه) وآزمایشگاهی افزایش مییابد. دلیل آن اسـت کـه قطـبش مـدهادقیقاً موازي یا عمود بر بردار موج نمیشود (بههمین دلیـل نیـزامواج در محیطهاي »آنیزتروپی قوي« با مـدهاي شـبه طـولی وشبه عرضی افقی و شبه عرضی عمودي تعریـف مـی شـو ند) و سطوح کندي براي مواد پیزوالکتریـک شـامل سـطوح محـدب،مقعر و زینی است که بهوسیله خطوط پارابولیـک تقسـیم بنـدي میشوند و براي تفکیک آنها از یکدیگر بایـد نقـاط بـا انحنـايصفر تعیین شود و یافتن این نقاط به روشهاي عددي، بر عدم قطعیتهاي پارامترهاي مورد نیاز طراحان مهندسـی مـی افزایـد .
علاوه بر این ،روشهاي مبتنی بر تفکیـک مـوج هـا ي طـولی وعرض ی در مح یطه اي آنیزتروپ ی، اغل ب در مح یطه اي ب ا آنیزتروپی ضعیف کارآمـد هسـتند و جداسـازي کامـل آنهـا درمحیطهاي با آنیزتروپی قوي با تقریب زیادي همـراه اسـت کـهفرضیات اضافهاي بر مسأله تحمیل مـی کنـد (مـثلاً حـل مسـأله بهطریق روشهاي عددي مبتنی بر آشوب). روش »تکرار خارج قسمت رایلی« یک روش عددي مبتنی بر تکـرار اسـت کـه درهمه الگوریتمهاي مبتنی بر یافتن مقدار ویژهها، مؤثر و کارآمـداست، ولی مشروط به اینکه بردار اولیه به بـردار ویـژه مـاتریسمورد مطالعه نزدیک باشد. این الگوریتم میتواند در محیطهـا ي با آنیزتروپی ضعیف (نظیر بلوره صوتی کوارتز) کارآمد باشد.
یک راه حل بـراي بـه کـار گیري عملـی معادلـه کریسـتوفلاصلاح شده و جداسازي امواج در مصالح بـا آنیزتروپـی قـوي،این است که بر مبناي مفهوم سرعت گروهی امواج، عمل شـود،زیرا سرعت گروهی امواج به معناي انرژي امواج تخـت اسـت.
سرعت گروهی، مقدار بردار سرعت گروهی است که وابسته به زاویه انتشار است و این مقدار منحصر بهفرد است و میتوان با »اندیس کریستالوگرافی میلر«، آن را تصدیق نمود.
همانگونـه کـه از محتـواي دترمینـان مشـاهده مـی شـو د ،سرعت و امتداد هر دو در داخل دترمینـان ظـاهر شـدهانـد، ازاینرو در انتشار امواج در محیط پیزوالکتریکی هر دو پـارامترمؤثرند. یعنی بـا معلـوم بـودن سـرعت، مـیتـوان امتـدادهايمجهولی را بهدسـت آورد کـه در آن امتـدادها، مـوج قابلیـتانتشار دارد یعنی انتشار موج به جهت انتشار موج نیز بهسـبب آنیزتروپی وابسته است.
از آنجا که اصلاح پیزوالکتریک19 کوچک است:
591007-45780

Cik CCik C
Cik C uik  k 2ui
سرعتهاي فازي از معادله اخیر بهدست میآیـد کـه مـیتـوانبراي گروههاي مختلف کـوري مصـالح پیزوالکتریـک محاسـبهکرد.

2-1-1 – حل مسأله براي کریستال صوتی لیتیوم نیوباته لیتیوم نیوباته بهواسطه خلوص ذاتی و نیـز نداشـتن حساسـیتشیمیایی و قابلیت آن در ساخت ساختارهاي تناوبی یک کاندید مطلوب از میان بلورههاي متنوع صـوتی اسـت . لـذا بـه جهـت کاربردهاي متنوع آن در زمینه مهندسی آکوستیک و نیز ابزارهاي آزمون غیرمخرب، این بلوره صوتی انتخاب میشود. ضرایب الاستیسیته عبارتند از:
4700


پاسخ دهید