2- فرمولبندي روش مرسوم
براي سادگی کریستال فونونیک دوبعدي درنظر گرفته میشـو د .
این فرمولبندي را میتوان به آسانی به حالت سه بعدي تعمـیمداد .آخالها در راستاي محور z قرار گرفته و درون صـفحهxy تکرار میشوند. انتشار امواج الاسـتیک بـا معـادلات زیـر قابـلتوصیف است:
 vi ij,j (1) v ui  i (2)
(3)  ij Cijmnum,n در این معادلات ui ، Cijkl(x,y) ،(x,y) وvi بهترتیـب چگالی، تانسور استحکام الاستیک13، مؤلفـهi ام جابـه جـا یی و مؤلفه i ام سرعت ساختار است. قرارداد جمع روي اندیسهـا ي تکراري اعمال میشود. با توجه به فرض انتشار موج الاسـتیکدرون صفحه xy، جابهجایی، سرعت و تانسور تنش شبکه بـهz بســتگی نــدارد یعنــی:ui  u (x,y,t)i و vi  v (x,y,t)i و
. ijij(x,y,t)
حال معادلات (1) تا( 3) را میتوان گسسـته سـازي و بـا روشمرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان حل کرد. فرض کنید کـ ه آخالها و زمینه ایزوتروپیک باشند و مد ترکیبی مورد نظر باشد ،در آن صورت فرم گسستهسازي شده معـادلات (1) تـا ( 3) در گره نمونه (l,m) در گام زمانی n+1 بهصورت زیر بیان میشود: (4) v1l,m;n12/ v 1l,m;nt / l,m12/ [(11l12/ ,m;n 11l12/ ,m;n )/ x 
(12l,m12/ ;n 12l,m12/ ;n )/ y ]
v2l12/ ,m12/ ;n12/   t /v2ll12/ ,m12l/ ,m ,m12/ ;n12// ;n[(12/22l12/ ,ml,m121/ ;n;n )/ x22l12/ ,m;n])/
y( 1211212
(5)
u1l,m;n1 u1l,m;n v1l,m;n12/ t
u2l12/ ,m12/ ;n1 u2l12/ ,m12/ ;n v2l12/ ,m12/ ;n12/ t
11l12/ ,m;n  C(u11l2l12/ ,m12/ ,m(u121/ ;nl1,m;nu2l12u/ ,m1l,m;n12)/ ;n/ x )/ yC12l12/ ,m( )8
12l,m12/ ;n (Cu44l,ml12/ ,m12/ [(12u/ ;n1l,m1;nu2l12/ ,mu1l,m;n12/ ;n) /) /yx] (9)
2
22l12/ ,m;n  C 11l12/ ,mCl(12u/ ,m2l12/ ,m(u1l112,m;n/ ;n uu2l1l,m;n12/ ,m)/12/ ;nx )/( )10
y12

معادله( 4) نشان میدهد که براي بهروزرسانی مؤلفه x سـرعتدر گره (l,m)، لازم است تا مؤلفههاي تانسـور تـنش در چهـار مختصــــات (یعنـــ ی:12l,m12/ ;n ،11l12/ ,m;n ،11l12/ ,m;n و 12l,m12/ ;n) محاسبه شود .همان طـور کـه معـادلات( 8) و( 9) نشان میدهد محاسبه هر یک از این مؤلفههاي تانسور تنش بـهعملیات پایه حسابی قابل توجهی نیاز دارد. براي بهدست آوردن طیف عبور یک کریستال فونونیـک از مؤلفـه هـا ي جابـه جـا یی تبدیل فوریه گرفته میشود. بنابراین مؤلفـه هـاي تانسـور تـنشمحاسبه شده تأثیر مستقیمی در محاسبات ندارند.

3- فرمولبندي بر مبناي جابهجایی
همانطور که در بخش 2 گفته شد، روش مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان به محاسبه مؤلفههاي تانسور تنش نیـاز دارد کـهاین مؤلفهها تنها در بهروزرسانی مؤلفههاي جابـه جـایی کـاربرددارند. با بهدست آوردن فرم بر مبناي جابهجایی معادلات مـوجالاستیک و گسستهسازي معادلات نتیجه، مـی تـوان مؤلفـه هـا ي تانسور تنش را از معادلات بهروزرسانی حذف کـرد. ایـن کـارمعادلات بهروزرسانی بهینه را حاصل میدهد که به عملیات پایه حسابی کمتري نسبت بهروش مرسوم تفاضل محدود در حـوزهزمان نیاز دارد. بنابراین هزینه محاسباتی مورد نیاز این معادلات بهروزرسانی بهینه از روش مرسوم کمتر است .فرایند اسـتخراجاین معادلات بهروزرسانی در ادامه توضیح داده میشود.
براي نقاط دور از تداخل آخال و زمینه میتوان نوشت:
 ij,j Cijmnum,nj
با قرار دادن معادله( 11) در معادله( 1) فرمولبنـدي بـر مبنـايجابهجایی معادلات انتشار موج الاستیک در کریستال فونونیـکبهصورت زیر بهدست میآید:
 v Ciijmnum,nj
حال مـی تـوان بـا اسـتفاده از تفاضـل محـدود، معادلـه بـر مبنـاي (17)
جابهجایی( 12) را در هر دو حوزه زمان و مکان گسستهسازي کرد .
فرم گسستهسازي شده معادله( 12) که در این مقالـه روش تفاضـلمحدود بر مبناي جابهجایی در حوزه زمان نامیده میشـو د در ادامـهارائه میشود. براي گسستهسـازي معادلـه ( 12) همـه مشـتقات بـاتقریب تفاضل مرکزي14 جایگزین شدهاند. معادلات بـه روزرسـانی حاصل را میتوان براي بهدست آوردن سرعت و جابهجـا یی نقـاطغیرتداخلی15 شبکه بهکـار بـرد. بـراي نقـاط تـداخلی شـبکه فـرمگسستهسازي شده معادلات (1) تا( 3) اعمال میشود .
فرض کنید که جنس ماده آخال و زمینه ایزوتروپیک باشـد.
براي مطالعه مد ترکیبی در این حالت معادله( 12) بهصورت زیر قابل بازنویسی است:
 v1C u11 111, C u44 122, (C12 C )u44 212,
,44 211 v2 C u11 222, (C12 C )u44 112, C u براي نمایش مناسب فرم گسستهسـازي شـ ده معـادلات ( 13) و
ضرایب زیر معرفی میشوند:
 1l,mC11l,m / x 2
 2l,mC44l,m / y 2
 l,m3(C12l,m C44l,m)/( x y  )

1l12/ ,m12/  C11l12/ ,m12/ / y 2
2l12/ ,m12/  C44l12/ ,m12/ / x 2
3l12/ ,m12/  (C12l12/ ,m12/ C44l12/ ,m12/ )/( x y  )
ضرایبی را که معادله( 15) معرفی میکند میتوان قبـل از حلقـهزمانی روش تفاضل محدود بر مبناي جابهجایی در حوزه زمـانمحاسبه و در ماتریسهاي مناسب ذخیره کرد. در این صورت به محاسبه آنها در هر گام زمانی نیازي نیست .گسستهسازي معادله (13) با استفاده از تکنیک تفاضل محدود به معادلـه زیـر منجـرمیشود:
v1l,m;n12/  v1l,m;n12/   ( t / l,m )
که در آن:
  2( 1l,m2l,m )u1l,m;n 1l,m (u1l1,m;n  u1l1,m;n )
2l,m (u1l,m1;n  u1l,m1;n )l,m3 (u2l12/ ,m12/ ;n 

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

u2l12/ ,m12/ ;n  u2l12/ ,m12/ ;n u2l12/ ,m12/ ;n )
فرم گسستهسازي معادله( 14) بـه صـورت زیـر قابـل توصـیف :است v2l12/ ,m12/ ;n12/ (v 2lt /12/ ,ml12/ ,m12/ ;n1212// ) (18)
که در آن:
 2( 1l12/ ,m12/ 2l12/ ,m12/ )u2l12/ ,m12/ ;n 
1l12/ ,m12/ (u2l12/ ,m3 2/ ;n  u2l12/ ,m12/ ;n ) 

2l12/ ,m12/ (u2l3 2/ ,m12/ ;n  u2l12/ ,m12/ ;n ) 
l312/ ,m12/ (u1l 1,m 1;n  u1l1,m;n  u1l,m1;n  u1l,m;n )
(19)
سپس مؤلفههاي جابهجایی ساختار توسـط معـادلات( 6) و(7) قابل بهروزرسانی است. بـا مقایسـه معـادلات( 16) و( 17) بـامعادلات (4)، (8) و( 9) بهینه بودن روش تفاضـل محـدود بـرمبناي جابهجایی در حوزه زمان به آسانی قابل درك است. ایـنمقایسه نشان میدهد که عملیات پایه حسابی معـادلات ( 16) و
(17) در حدود 50 درصد کمتر است.

4- مثالهاي عددي
فرض کنید که موج الاستیک درون صفحه xy منتشـر مـی شـو د .
بنابراین جابهجایی شبکه و تانسور تنش آن به z بستگی ندارد. با

شکل 1 – کریستال فونونیک با آرایش مربعی فولاد در اپوکسی: نمونهاي با 5 سلول واحد (سمت چپ)، ناحیه بریلئون کاهش یافته (سمت راست)

این فرض، مد ترکیبی که جابهجایی آن درون صـفحهxy اسـتاز مد جانبی16 که جابهجایی آن در راستاي محور z است مجـزامیشود. در مثالهایی که در ادامه مـی آیـد، انتشـار مـد ترکیبـیدرون صفحه xy تحلیل میشود. در محاسبات عـددي، آرایـشمربعی استوانههـا ي فـولادي در زمینـه اپوکسـی درنظـر گرفتـهمیشود. در اعمال روش تفاضل محدود بر مبناي جابه جـایی در حوزه زمان، شبکهاي متشکل از 60×60 نقطه در سـلول واحـدفرض میشود. چگالی و ثابتهـا ي الاسـتیک 11C و 44C فـولاد بهترتیب 7780 کیلوگرم بر مترمکعـب، 264 و 81 گیگاپاسـکالاست. این مقادیر براي اپوکسـی بـ هترتیـب 1142 کیلـوگرم بـرمترمکعب ،54/7 و 48/1 گیگاپاسکال است. معـادلات حرکـتدر ضمن217 گام زمانی حل شدهاند. مثالهاي عددي بـه کمـک یک برنامه که براساس پردازش موازي در نرمافزار فرترن نوشته شده است محاسبه شدهاند. برنامه فوق گرههاي شبکه را به چند بخش تقسیم و بهروزرسانی جابهجایی هر یک از این بخشهـارا به یک هسته پردازنده محول میکند.

4-1- کریستال فونونیک فولاد در اپوکسی بهعنوان مثال اول، عبور امواج الاستیک توده اي17 درون کریستال فونونیک مربعی فولاد- اپوکسی بررسی میشـو د. ثابـت شـبکه وش عاع اس توانهه اي ف ولادي ب هترتی ب a و r هس تند. نس بت پرکنندگی18 ( 2 2f r /a) 4/0 فرض میشـو د. بـراي محاسـبهطیف عبور کریستال فوق نمونهاي متشکل از 5 سـلول وا حـ د در راستاي x و یک سلول واحد در راستاي y درنظر گرفته میشـو د (شکل (1)). این نمونـه در راسـتايГX ناحیـه بریلئـون19 قـرارگرفته و توسط دو ناحیه همگن احاطه شده است. بهعنوان شـرطمرزي جاذب20، در راستاي محور x از لایههـا ي کـاملاً منطبـق21 [22 -21] استفاده شده است. براي مرزهایی که در راستاي y قرار دارند شرط مرزي متناوب اعمال شـد. در ناحیـه همگـن سـمتچپ یک موج گوسی در راستاي x ایجاد شده اسـت . بـا اعمـالتبدیل فوریه به میانگین مؤلفه x جابهجایی (مؤلفه y جابـه جـا یی) نقاط واقع روي خطی با طول ثابت شبکه در ناحیه همگن سمت راست، طیف عبور امواج طولی (عرضی) بهدست میآیـد . شـکل(2) طیف عبور کریستال را براي حالتی که موج اعمالی طولی یـاعرضی باشد نشان میدهد. ایـن نتـایج بـه کمـک روش تفاضـلمحدود بر مبناي جابهجایی در حوزه زمان بهدست آمده است.
شکل( 2) نشان میدهد که در محدوده فرکانسی بدون بعد 8/3 تــا 7/8 کریســتال از انتشــار مــوج الاســتیک در راســتايГX جلوگیري میکند خواه موج اعمالی عرضی باشد خـواه طـولی.بهعبارت دیگر شکل( 2) نشان میدهد که یـک شـکاف22 بـین8/3 تا 7/8 وجود دارد. شکاف نواري محاسبه شـده بـر نتیجـهمحاسبه شده از روش مرسوم تفاضل محـدود در حـوزه زمـانبسیار منطبق است (5/8-8/3) [23].
زمان مورد نیاز براي محاسـبه طیـف عبـور مـوج طـولی (یـاعرضی) در روش تفاضل محدود بر مبناي جابهجـا یی در حـوزهزمان 3 دقیقه و 28 ثانیه و براي روش مرسوم تفاضل محـدود درحوزه زمان 5 دقیقه و 47 ثانیـه اسـت. محاسـبات بـه کمـک 10 هسته پردازنـده GHz Intel Xeon CPU3 انجـام شـده اسـت. دربهدست آوردن طیف عبور، سلول واحد بـه شـبکهاي متشـکل از60×60 نقطه گسستهسازي و معادلات در طی216 گام زمانی حل شدهاند. بنابراین زمان محاسباتی روش تفاضل محدود بـر مبنـايجابهجایی در حوزه زمان 40 درصد از روش مرسوم کمتر است.

4-2- هدایت کننده کریستال فونونیک ابرسلولی23 متشکل از 12×5/8 سلول واحد درنظر گرفتـه شـدهاست. عرض هدایت کننده( فاصله بین دو اسـتوانه همسـایه در دو سمت هدایت کننده) 6 میلیمتر است. شرایط مـرزي ماننـد مثال قبل است. دو ناحیه همگن ابرسلول را احاطه میکنند. یکموج گوسی در راستاي محور x در ناحیه همگـن سـمت چـپایجاد میشود. معادلات حرکت طی 2 گام زمـانی کـه هـر یـک08/7 نانو ثانیه طول میکشد حل شدهاند. با اعمال تبدیل فوریه به میانگین مؤلفه x جابهجایی روي عـرض هـدایت کننـده (درناحیه همگن سمت راست) و همپایـه نمـودن24 آن بـه کمیـتمتناظر در حالتی که بهجاي کریستال فونونیک نیز ناحیه همگـنقرار گیرد، ضریب عبور محاسبه مـی شـو د. شـکل (3) ضـریبعبور هدایت کننده را براي موج اعمالی طولی نشـان مـی دهـ د .این شکل بهکمک روش تفاضل محدود بر مبناي جابهجـا یی در حوزه زمان بهدست آمده است.
شکل (3) نشان میدهد کـه بـراي فرکـانس هـا ي زیـر 104 کیلوهرتز و محدوده فرکانسی 156 تا 175 کیلوهرتز یک شکاف وجود دارد. روش مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمـان نشـانداده است که براي فرکانسهاي زیر 102 کیلـوهرتز و محـدوده155 تا 172 کیلوهرتز شکاف وجود دارد [15]. بنـابراین روش تفاضل محدود بر مبنـاي جابـه جـا یی در حـوزه زمـان و روش

شکل 2 – طیف عبور کریستال در راستاي ГX که بهکمک روش تفاضل محدود بر مبناي جابهجایی در حوزه
زمان بهدست آمده است: موج اعمالی طولی (خط پر) و عرضی (خط تیره)

شکل 3 – ضریب عبور هدایت کننده که توسط روش تفاضل محدود بر مبناي جابهجایی در حوزه زمان محاسبه شده
مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان تطابق بسیار خوبی دارند.

5- نتیجهگیري
در این پژوهش روش تفاضل محدود بر مبنـاي جابـه جـا یی در ح وزه زم ان ب راي ش بیهس ازي انتش ار م وج درون کریس تال فونونیک ارائه شده است. در ابتـدا فـرم بـر مبنـاي جابـه جـا یی معادلات موج الاستیک استخراج و پس از آن ایـن فـرم توسـطروش تفاضل محدود گسستهسازي شده است.
انتش ار ام واج الاس تیک درون کریس تال فونونی ک مربع ی فولاد- اپوکسی و هدایت کننده مربوطه بهکمک الگوریتم جدید بررسی شده است. مقایسه ضریب عبـور محاسـبه شـده توسـطروش تفاضل محدود بر مبنـاي جابـه جـا یی در حـوزه زمـان وروش مرسوم تفاضل محدود در حوزه زمان کارآمدي الگـوریتمجدید را براي تحلیل کریستال فونونیک تأیید میکند. همچنـینمقایس ه هزینــه محاســباتی روش تفاضــل مح دود بــر مبنــايجابهجایی در حوزه زمان و روش مرسـوم تفاضـل محـدود در
مراجع
Position of the Additional Rod”, Physics Letters A, Vol. 362, pp. 494-499, 2007.
Wu, B., Wei, R., Zhao, H., and He, C., “Phononic Band Gaps in Two-Dimensional Hybrid Triangular Lattice”, Acta Mechanica Solida Sinica, Vol. 23, pp. 255-259, 2010.
Tanaka, Y., Tomoyasu, Y., and Tamura, S., “Band Structure of Acoustic Waves in Phononic Lattices: Two-Dimensional Composites with Large Acoustic Mismatch”, Physical Review B, Vol. 62, pp. 73877392, 2000.
Hsieh, P., Wu, T., and Sun, J., “Three-Dimensional Phononic Band Gap Calculations Using the FDTD Method and a PC Cluster System”, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, Vol. 53, pp. 148-158, 2006.
García-Pablos, D., Sigalas, M., Montero de Espinosa, F. R., Torres, M., Kafesaki, M., and García, N., “Theory and Experiments on Elastic Band Gaps”, Physical Review Letters, Vol. 84, pp. 4349-4352, 2000.
Khelif, A., Deymier, P. A., Djafari-Rouhani, B.,
Vasseur, J. O., and Dobrzynski, L., “TwoDimensional Phononic Crystal with Tunable Narrow Pass Band: Application to a Waveguide with Selective Frequency”, Journal of Applied Physics, Vol. 94, pp. 1308-1311, .3002
Sun, J. H, and Wu, T. T., “Analyses of Mode Coupling in Joined Parallel Phononic Crystal Waveguides”, Physical Review B, Vol. 71, pp. .5002 ,303471
Pennec, Y., Djafari-Rouhani, B., Larabi, H., Vasseur, J., and Hladky-Hennion, A. C, “Phononic Crystals and Manipulation of Sound”, Physica Status Solidi C, Vol. 6, pp. 2080-2085, .9002
Gao, H. F., Matsumoto, T., Takahashi, T., and Isakari, H., “Analysis of Band Structure for 2D Acoustic Phononic Structure by BEM and the Block SS Method”, CMES: Computer Modeling in
حوزه زمان نشان داد که هزینه محاسباتی روش تفاضل محـدودجابهجایی- مبنا در حوزه زمان 40 درصد کمتر است.

واژهنامه
inclusion
complete band gap
waveguide
plane wave expansion (PWE)
finite difference time domain
boundary element method
multiple-scattering method
wavelet method
explicit
constitute laws
discretize
transmission spectra
elastic stiffness tensor
central difference estimate
non interfacial grid points
transverse mode
bulk elastic waves
filling fraction
Brillouin zone
absorbing boundary condition
perfectly matched layer (PML)
gap
supercell

normalize

Kushwaha, M. S., Halevi, P., Dobrzynski, L., and Djafari-Rouhani, B., “Acoustic Band Structure of Periodic Elastic Composites”, Physical Review Letters, Vol. 71, pp. 2022-2025, 1993.
Martinez-Sala, R., Sancho, J., Sanchez, J. V., Gomez, V., Llinares, J., and Meseguer, F., “Sound Attenuation by Sculpture”, Nature, Vol. 378, pp. 241-241, 1995.
Montero de Espinosa, F. R., Jime´nez, E., and Torres,
M., “Ultrasonic Band Gap in a Periodic TwoDimensional Composite”, Physical Review Letters, Vol. 80, pp. 1208-1211, 1998.
Khelif, A., Choujaa, A., laihem, R., Wilm, M., Ballandras, S., and Laude, V., “Experimental Study of Band Gaps and Defect Modes in a Two-
Dimensional Ultrasonic Crystal”, IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 377-380, 2003.
Pennec, Y., Djafari-Rouhani, B., Vasseur, J. O., Khelif, A., and Deymier, P. A., “Tunable Filtering and Demultiplexing in Phononic Crystals with Hollow Cylinders”, Physical Review E, Vol. 69, pp. 046608, 2004.
Liu, W., Chen, J. W., and Su, X. Y., “Local
Resonance Phononic Band Gaps in Modified TwoDimensional Lattice Materials”, Acta Mechanica Sinica, Vol. 28, pp. 659-669, .2102
Kafesaki, M., Sigalas, M. M., and García, N., “Frequency Modulation in the Transmittivity of Wave Guides in Elastic-Wave Band-Gap Materials”, Physical Review Letters, Vol. 85, pp. 4044-4047, .0002
Khelif, A., Djafari-Rouhani, B., Vasseur, J. O., and Deymier, P. A., “Transmission and Dispersion Relations of Perfect and Defect-Containing Waveguide Structures in Phononic Band Gap Materials”, Physical Review B, Vol. 68, pp. 024302, .3002
Yao, Y., Hou, Z., and Liu, Y., “The TwoDimensional Phononic Band Gaps Tuned by the Phononic Crystal Slabs”, Photonics and Nanostructures Fundamentals and Applications, Vol. 6, pp. 32-37, 2008.
Chew, W. C., and Liu, Q. H., “Perfectly Matched Layers for Elastodynamics: A New Absorbing Boundary Condition”, Journal of Computational Acoustics, Vol. 4, pp. 341-359, 1996.
Sun, J. H., and Wu, T. T., “Guided Surface Acoustic Waves in Phononic Crystal Waveguides”, IEEE Ultrasonics Symposium, pp. 673-676, 2006.
Tanaka, Y., Yano, T., and Tamura, S., “Surface Guided Waves in Two-Dimensional Phononic Crystals”, Wave Motion, Vol. 44, pp. 501-512, 2007.

Engineering & Sciences, Vol. 90, No. 4, pp. 283-301, 2013.
Kafesaki, M.; and Economou, E. N., “MultipleScattering Theory for Three Dimensional Periodic Acoustic Composites”, Physical Review B, Vol. 60, pp. 11993, 1999.


پاسخ دهید