Hu
میرایی  ماتریس تابع انتقال سرعت روش عددي

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

Hv
میرایی جعلی روش عددي

 ماتریس یکه I
ماتریس متغیر حالت υ ماتریس سختی K
فرکانس طبیعی سازه n ماتریس جرم M
فرکانس عددي n خطاي کشیدگی دوره تناوب PE

عددي
۱- مقدمه
روشه اي ع ددي انتگ رالگي ري مس تقيم ب راي محاس بة پاسخهاي ديناميکي سازهها از دهـه ۷۰ مـيلادي توسـعه دادهشدهاند و معموًلًا در دو دسـته طبقـهبنـدي مـي شـوند. يکـي براساس حل مستقيم معـادلات تعـادل مرتبـه دوم و ديگـريتبديل معادله مرتبه دوم به مرتبه اول و انتقـال آن بـه فضـايحالت. روشهـاي مرتبـه دوم بـه دو نـوع صـريح و ضـمنيتقسيمبندي ميشوند که هرکدام نيز ميتوانند در قالـب تـکگامي و يا چنـد گـامي قـرار گيرنـد [۱]. پا يـداري مشـروط ، خطاي کشيدگي دوره تناوب، خطاي کـاهش دامنـه، خطـاي وجود فرکانسهاي جعلي و وابستگي اين روشها به انـدازه گام زماني از مشکلات اين روش ها است. لـيکن، روش هـايمرتبه دوم بهصورت گستردهاي مورد استفاده قرار گرفتهاند و در بين آنها تعـدادي داراي کـاربرد بيشـتر هسـتند . محققـينمختلف در گذشته تحقيقات جامعي را در زمينـ ة روشهـايمرتبه دوم انجام دادهاند. بته و ويلسون [۲]، وود [۳] و هيـوز [۴] تعدادي از روشهاي عددي را معرفي نمودند. دوكـانيش و ساباراج [۵] بررسـي دقيقـي از روشهـاي عـددي قبـل اززمان خود را ارائه دادند. از ميان روشهاي مرتبة دوم، روش شـتاب متوسـط نيومـارک ، عليـرغم دقـت مناسـب پايـداري نامشروط، داراي خطاي فرکانسهاي جعلي بـوده و توانـاييحذف اثر نامطلوب مدهاي بالا را ندارد. با ايـن وجـود، ايـنروش پرکاربردتر از بقيه روشها است. براي دستيابي بهدقتي بالاتر و فائق آمدن بر مشکل پايداري و دقـت در روشهـايمرتبه دوم، با کاهش مرتبه و تبديل معادلات به فضاي حالت، روشهاي عددي مرتبه اول بهوجود ميآيند. اين روشها نيز داراي مشکلات پايداري، دقت و خطـا ي معکـوس مـاتريس حالت هستند. اگر ماتريس حالت منفرد و يا بـدحالت باشـد، خطاي بزرگي در محاسبات وارد ميشود. محققـ ين مختلـفدر سـال اهـ ي اخيـر تحقيقـات جـامعي را د ر زمينـة تحليـل دينـاميکي در افضـ ي حالـت انجـام دادهانـد. در سـال ۱۹۹۴ توسط زانگ و ويليام روش مرتبه اولي معرفي شد کـه در آن با يک تغيير متغير، معادلة مرتبه دوم بهروش مرتبه اول تبديل ميشود [6]. روش آنها به HPD-L۱ معروف شد. ايـن روشبراساس معادلة تعادل ديناميکي تحت اثر بـار خطـي اسـتواربوده و در نقـاط انتگـرالگيـري جـواب دقيقـي را بـهدسـتميدهد. ليکن دقت اين روش بهدليل خطـاي ذاتـي مـاتريسمعکوس و معادلسـازي نيـرو، بـه ويـژه زمـاني کـه سيسـتمغيرهمگن است، بسيار کاهش مييابد. شـن و همكـاران [۷] روشHPD-F ۲ را براي معادلة تعادل غيرهمگن ارائه نمودند؛ ليکن دقت آن نيز با معادلسازي بار و خطاي معکوسسـازيماتريس حالت کاهش مـي يافـت. گوانژيـان و همکـاران [۸] نسخه جديدي از PIM۳ را با استفاده از روش بسـط ابعـادي ارائه کردند که معادلة غيرهمگن را به معادلـ ة همگـن تبـديلميکند. محاسبات ا يـن روش نيازمنـد فضـاي ز يـادي بـراي ذخيرهسازي بوده و با وجود اينکه نيازي به محاسبة معکوس ماتريس حالت ندارد، ليکن استفاده از آن غيرکاربردي اسـت. ونگ و ژو [۹] با بررسي جزئ يـات پا يـداري مـدل گوانژيـان نشان دادند که اين روش داراي پايداري مشروط است. ونگ و آوو [۱۰] روش PTSIM۴ را ارائــه نمودنــد کــه در آن از روش گوس براي حل معادلات استفاده شده است. دقت اين روش تنها به تعداد نقاط گوسي و اندازه گـام زمـاني وابسـته است؛ ليکن اين روش داراي پايداري مشروط است. ونـگ وآوو [۱۰] روش NICPIM ۵ را ارائه نمودند که بـا اسـتفاده ازروش تجزيه ماتريس، نياز به محاسـبة معکـوس مـاتريس رابرطرف ساخته و پايـداري آن را نامشـروط گـزارش کردنـد.ليکن، اين روش نيز در صورت منفـرد بـودن و يـا بـدحالتبودن ماتريس حالت، داراي خطاي بالايي است.

هدف روشهاي مرتبه اول پيشنهاد شده تا به امروز بهبود روش پايداري، دقت و حـذف اثـر معکـوس مـاتريس بـودهاست. در نهايت وو و چوانگ [۱۱] مـدل جديـدي از روشPIM را ارائه دادند کـه بـا اسـتفاده از اثـر بـازخورد دقـت وپايداري روش PIM را بهبود بخشـيد: لـيکن ايـن روش نيـزداراي خطاي معکوسسازي ماتريس حالت است.
با توجه به مشکلات ذکر شده فوق در تحقيقات پيشـين،در اين مقاله روش مرتبه اول براي معادلات نـاهمگن تحـتبارگذاري ديناميکي درنظر گرفته شده است. از آنجا کـه ايـنروش داراي دقت و پايداري مطلوب اسـت ، در ايـن تحقيـقسعي شده است تا خطاي محاسبة ماتريس معکوس برطـرفشود از اينرو با بهکارگيري روش محاسبة مـاتريس معکـوسبا استفاده از مقادير ويژه ماتريس6 (SVD) اين خطـا حـذفشده است. نتايج بيانگر آن است که دقت روش پيشنهاد شده بهمراتب بهتر از روشهـاي مرتبـه اول پيشـين و مرتبـه دومرايج نيومارک است.

٢- فرمولبندي روش بهکار رفته در تحقيق
در اين بخش به معرفي الگوريتم بهکار گرفته شده و توسـعهداده شده در مقاله پرداخته ميشود. اين بخش شامل چنـدينزيربخش اصلي است که شامل تئـوري روش انتگـرالگيـريدقيق مرتبة اول PIM، بررسـي پايـداري روش، فيلتـر کـردنپاسـخهـاي جعلـي و روابـط مـورد نيـاز بـرای دقـت روش هستند.

٢-١- تئوري روش انتگرالگير ي دقيق (PIM) اين روش برخلاف تمام روشهاي مرتبـه دوم قبـل از خـودبهاندازه گام زماني حساس نبوده و در مقايسه بـا آنهـا داراي دقت بالاتري اسـت . معادلـه تعـادل دينـاميکي مرتبـه دوم رابهصورت رابطه (۱) درنظر بگيريد:

M (t)+x C (t)+xK (t) =x F (۱)

که در آن معادله M مـاتريس جـرم،C مـاتريس ميرايـي،K ماتريس سختي و F بردار نيروهاي خارجي را نشان ميدهـدو X, ، X وX بهترتيب بيانگ ر جابهجايي، سرعت و شـتابدرجات آزادي سازه هستند. در روش PIM با انتقـال معادلـة مرتبه دوم (۱) به معادلات مرتبه اول در فضاي حالت، معادلة(۲) بهدست ميآيد:
111252-99074

X D υ== Aνcν+EcF ,
 0I
Ac = -M1K-M1C ,
 
Ec = M01 D,= I 0 , ν    xx (۲)

219303659842

کـه در آن υ متغيـر حالـت، Ac مـاتريس حالـت، D مـاتريس کوپلينگ ورودي- خروجي، Ec ماتريس ورودي ناميده ميشـودو کنترل کنندة F است. اگر Ec صفر باشد کنترلي روي F وجود نداشته و مستقل از زمان خواهد بـود [۱۲]. فـرم گسسـته شـدة معادله (۲) بهصورت معادله (۳) نوشته ميشود:

νt = eActν0 +eAc t0t eAc tEc F  s ds , νn1 = Tνn +E F0 n +E F1 n1
E0 = Ac1T+ 1 Ac2(I T- )Ec ,
Δt

(۳) E1 = -Ac1+Δ1t Ac2(T I- )Ec که در آن eAct ، ماتريس انتقال حالت ناميده مـي شـود و دقـتروش وابسته بهدقت محاسبة مـاتريس انتقـال حالـت اسـت . در معادله (۳) ماتريس T(Δt) بهصورت رابطه (۴) نوشته ميشود:
m
T( t) eAct eAc

mt  eAcm T( ) m (۴)

در اين مقاله بنا بر پيشنهاد مولار و لـئن [۱۳] m 2N و بنـابر پيشنهاد وو و چوانگ [۱۱] ۵ يا ۴=N درنظر گرفتـه شـدهاست. T( ) با استفاده از بسط سري تيلور بهصـورت رابطـه
(۵) محاسبه ميشود:
T( )  I Ta0 , Ta0Ac
 Ac 2  Ac 3 AcL (۵)
36499852323

……

2!3!L!
که در آن I ماتريس واحد است و بـه دليـل دقـت مناسـب چنـدجملة نخست سري تيلور از محاسبة جملات بالاتر صـرف نظـرشـده و بنـا بـر پيشـنهاد ونـگ و آوو، محاسـبات بـراي ۴ L= صورت ميگيرد [۱۰] و بهصورت رابطه (6) نوشته ميشود:
(6) T(t)  ITa02N براساس روابط بازگشتي ماتريس Tai بـه صـورت رابطـه (۷) بازنويسي ميشود:
ITa02  I  2Ta0 Ta0Ta0  I Ta1
2
ITa1  I  2Ta1 Ta1Ta1 I  Ta2

ITa(N )12  I 2 Ta(N )1 Ta(N )1Ta(N )1  I TaN
0
ITaN ΙTa(N )1 2 ITa(N )2 4….. ITa 2N
(۷)
مقدار Taiها بسيار کوچک هسـتند و بـراي اجتنـاب از گـردشدن و حذف مقادير در خلال محاسبات کامپيوتري، مقـاديرآنها محاسبه و با ماتريس يکه جمع میشـود . بـدين صـورت،دقت محاسباتي ماتريس T(Δt) افزايش مييابد [۱۱]. مطـابقرابطــة (۳) محاســبه پاســخ ســازه در روشPIM نيازمنــد محاسبة معکوس ماتريس حالت Ac است؛ بنابراين زمانيکـهماتريس حالت منفرد و يـا بـدحالت باشـد محاسـبات دارايخطا خواهد بود. در اين مقاله براي اجتنـاب از ايـن خطـا ازروش معکوس ماتريس SVD استفاده شده است.

٢-٢- پايداري روش PIM
در معادلات فضاي حالت، تابع تبـديل بيـان کننـدة مشخصـاتسيستم اسـت و در ايـن حالـت بـه صـورت کلـي تـابع تبـديلبهصورت لاپلاس خروجي به لاپلاس ورودي و در شرايط اوليه صفر بيان میشود؛ بنابراين با گرفتن لاپلاس از طرفين رابطه (۲) تابع تبديل به صورت رابطه (۸) به دست ميآيد:
493014-66789

s (s)Xν(s) Cν( )ν0(s) Acν(s)EcF(s)  (sIAc) (ν s) EcF(s)
X(s) C I(s Ac)1 Ec (s)F
X(s)  G(s) (s)F G(s) C(sIAc)1  C adj(sIAc)
2062734-45956

det sIAc
(۸)
(G(s بيانگر تابع تبديل است. باتوجه به رابطه ٨، تـابع تبـديل يـاG(s) همـواره بـهصـورت يـک تبـديل کسـري بـهصـورت G(s)  Y(s) / R(s) است کهY(s) معـرف لاپـلاس ورودي وR(s) ريشههاي

det

sIAc معرف لاپلاس خروجي است. ريشههاي R(s) معادلهي مشخصه سيستم حالت ناميده ميشود و اين ريشهها را قطبهاي تابع تبـد يل مـی نامنـد. نـوع پاسـخزماني و پايداري روش توسط قطـب هـاي تـابع تبـديل بيـانميشوند. گـاهي برخـي از قطـبهـا حـذف مـيشـوند کـهاصطلاحًاً به آن حذف صفر- قطب گوينـد. در ايـنصـورتبرخي از مقادير ويژه ماتريس Ac جزء قطبهاي تابع تبـديلنخواهد بود. در روش PIM مقادير ويژة ماتريس بـه صـورت زير است:

det sIAc 0
39624-323745

511302-323745

Ms-1K sMI-1C   0s2 2  s 2 0 , (۹)
1290828-63039

s  2 1i 12 , i  1

s مقادير ويژه ماتريس Ac و M مـاتريس جـرم،K مـاتريسسختي،  فرکانس سازه و  ميرايي سازه است. در حالـتکلي قطبها را بهصورت s   i نمايش ميدهند کـه بيانگر شيب ميرايي و  نيز فرکانس نوسان را نشان ميدهد. در مختصات قطبي با نزديک شدن بـه محـور مجـازي (j ) ميرايي کم و فرکانس ميرايـي افـزايش مـييابـد و در سـمتچپ با نزديک شدن به محور افقي شيب ميرايي افزايش پيدا ميکند و چنانچه نزديک شدن به محور افقي از سمت راست محور باشد شيب ناميرايي افزايش مييابد [۱۴]؛ ايـن مفهـومدر شکل (۱) نشان داده شده است.
با توجه به قرارگيري قطبهـا، مـيتـوان در مـورد شـرايطپايداري سازه اظهارنظر نمود. انواع پايداري که در فضاي حالت تعريف ميشود تحت عنوان پايداري BIBO، پايداري داخلـي وپايداري مرزي است. اگر حذف صفر- قطب اتفاق افتد سيسـتمپايداري داخلي نخواهد داشت [۱۴]. براي تعيين ايـن موضـوع، يعنی اتفاق و يـا عـدم اتفـاق حـذف صـفر- قطـب ، دو معيـاررؤيتپذيري7 و کنترلپذيري8 تعيين میشود. بـا انجـام آزمـونکنتـرلپـذيري و رؤيـتپـذيري بـراي روش PIM، ايـن روش کنترلپذير و رؤيتپذير بوده و نيز حذف صفر- قطب صـورت

شکل ۱- جانمايي قطبها در مختصات قطبي

نگرفته و بنابراين سيستم داراي پايداري داخلي اسـت. در روش PIM تمامي قطـب هـا سـمت چـپ محـور j حـادث شـده وقطبهاي مکرر نيز وجود ندارد، بنابراين سيسـتم داراي پايـداري BIBO و پايداري مرزي است. در نتيجه مقـادير ويـژة مـاتريسAc را ميتوان بهعنوان قطبهاي تابع تبديل درنظر گرفت. براي پايدار بودن يک روش بايد شعاع طيفي (Ac) کوچکتر از يک باشد. شعاع طيفي بيشترين مقدار مقادير ويژة مـاتريسAc اسـت . در روش PIM مقادير ويژه ماتريس Ac بهصورت رابطة (۱۰) است:
161904010234

219280310234

 1 2,  iet(cos tisin  t) ,
61703916785

 max(  1 , 2 ) (۱۰)

براي بررسي پايداري روش ذکر شـده، يـک سـازة يـک درجـهآزادي براي تحليل تحت ارتعاش آزاد درنظر گرفته شده اسـت.
1248918485498

در سيسـتم مـورد مطالعـهM=×(kg) و K=× (kN/m) است. توسط برنامه تهيه شـده در محـيطMATLAB تغييـراتشعاع طيفي روش PIM در برابرdtT که T پريود اصـلي سـازهاست، بهصورت شکل (۲) بهدست آمده است.
با توجه به شکل (۲) اين روش بهازاي 4N  پايدار اسـتو پيشنهاد 4 5N   توسط وو و چوانگ را تأييد ميکند [۱۱].
6941826704

2102358498956

شکل (۲) نشان ميدهد که براي 6 /05 10dtT   بهازاي تمـاممقادير N روش PIM بهصورت نامشروط پايدار است. ليکن اگر 6 /05 10dtT   باشد مقادير N تعيين کننـده بـوده و بـهازايN≥ روش PIM نامشروط است.
٢-٣- فيلتر کردن پاسخهاي جعلي فرکانسهاي مرتبه بالا در مسائل ديناميکي مودهاي اول بيشترين تـأثير را در پاسـخهـا داشته و پاسخ فرکانسهاي مرتبه بالاتر گاهي جعلي و نادرسـت بوده، دقت محاسبات را کاهش داده و گـاهي سـبب ناپايـداري عددي میشوند؛ بنابراين اين فرکانسها مطلـوب نبـوده و بهتـراست فيلتر شوند. در سيستمهاي خطي در صورت کنتـرل پـذيربودن، ميتوان با طراحي کردن کنترل کنندهاي مبتني بر بازخورد سيستم، پايداري داخلي سيستم را تضمين نمود که باعث کاهش حساسيت مدل و حذف اثر اغتشاشات ميشود. در سيستمهـايخطيمستقل از زمان9 (LTI) اين کنترل کننـده تـابعي خطـي ازυ(t) درنظر گرفته ميشود [۱۴].
(۱۱) F(t)Kυ(t) K در ايـن روابـط کنتـرل کننـدهاي شـامل ترکيبـات خطـي متغيرهاي حالت سيستم اسـت و مـاتريس بهـره حالـت ناميـدهميشود. علامت منفي تنها در اينجا اشـاره بـه مفهـوم بـازخوردمنفي داشته و بسته به تحققهاي مختلف K ميتوانـد مثبـت يـامنفي باشد. تنها بهدليـل پايـداري سيسـتم در بـازخورد منفـي درپايدارسـازي سيسـتم از علامـت منفـي اسـتفاده شـده اسـت. بـا جايگزيني رابطه (۱۱) در رابطة (۲)، رابطه (۱۲) بهدست ميآيد:

93730-49861

Xν (t)AcνD( (t)tν)kEcν(t)  (AckEc) (ν t) Ac (t)ν (۱۲)

اگر خاصيت پايداري داخلـي مـدنظر باشـد، کـافي اسـتK بهگونهاي انتخاب شود که مقادير ويژة Ac

همگي در صفحه سمت چپ محـورj قـرار گيرنـد. بـا محاسـبة بـازخوردسيستم و يا جايابي مطلوب قطـب هـا از اثـر اغتشاشـات بـرسيستم و اثر پاسخهاي جعلي فرکانسهاي مراتب بالا کاسـتهميشود. در روش PIM با محاسبة بازخورد سيستم مـاتريسميرايي تحت عنوان Ca به ماتريس ميرايي C اضافه میشود [۱۱].
طبق معادلة (۱۳) پارامتر Ca ترکيب خطي از ماتريس سـختي K و t است:
(۱۳) C     C Ca C 2 K t با توجه به بـازخورد سيسـتم، مقـدار شـعاع طيفـي بـهصـورت که در آن ωn فرکـانس طبيعـي سـازه بـوده و ضـريب ميرايـيسيستم بايد به مقدار  که بـا رابطـه (۱۵) تعريـف مـيشـود ، اصلاح شود:
  C2  M2 K tn 2


پاسخ دهید